苟且偷安-走读

向量的运算:加法
教学目标：
1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。
2 .通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表
述两个运 算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解
决问题的能力；
3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
重点：如何作两个向量的和向量
难点：对向量加法定义的理解.
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
【复习】：1.向量的概念
2.平行向量、相等向量的概念。
【情景设置】：利用向量的表示，从景点
O
到景点
A
的位移为
OA
，从景点
A
到景点
B的位移为


AB
，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB



●这里，向量
OA
,
OB
,
OC
三者之间有什么关系？
二、研探新知
1.向量的加法
向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。 表示：
AB
BC
=
AC
．
规定：零向量与任一向量
a
，都有
a00aa
．
< br>

【
注意
】
：两个向量的和仍旧是向量（简称和向 量）
作法：在平面内任意取一点
O
，作
OA
=
a
，
AB
=
a
，则
OB
=
OA
+
A B
=
a
+
b




2.向量的加法法则
（1）共线向量的加法
同向向量 反向向量


O


O




a

A
b

B
a

b
a

b

A

B

a

b

B O

A
OB
a
+
b

OB
a
+
b

（2）不共线向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加 法的三角形法则（“首尾相
接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：
AB
BC
=
AC
．


平行四边 形法则：以同一点
A
为起点的两个已知向量
a
，
b
为邻边作 平行四边形
ABCD
，则以
A
为起点的对角线
AC
就是a
与
b
的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
如 图，已知向量
a
、
b
在平面内任取一点
A
，作
AB
=
a
，
BC
b
，则向量
AC
叫做
a
与
b
的和，



记作< br>a
+
b
，即
a
+
b
AB
BC AC

C C


a

a
+
b

b

A
b

B
D
a

三角形法则
b
a
+
b

a
A
B
平行四边形法则

【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量 共线时同样适用，当向量不共
线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
特殊情况：
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量
a< br>与
b
不共线时，
a
+
b
的方向不同向，且|
a
+
b
|

|
a
|+|
b
|;
（3）当
a
与
b
同向时，则
a
+
b
、
a
、
b
同向，且|
a
+
b
|=|a
|+|
b
|,当
a
与
b
反向时，若
|
a
|

|
b
|,则
a
+
b的方向与
a
相同，且|
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|；若|
a
|

|
b
|,则< br>a
+
b
的方向与
b
相
同，且|
a
+
b
|=|
b
|-|
a
|.
（4）“向量平移”： 使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到
n
个向量连加
3.向量加法的运算律
（1）向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

（2）向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+(
b
+
c
)

证明：如图：使
AB
a
,
BC
b
,
CD
c
则
(
a
+
b
)+
c
=
AC
+
CD
AD
，
a
+ (
b
+
c
)=
ABBDAD

,∴(
a
+
b
)+
c
=
a
+(< br>b
+
c
)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行




例如 ：
(ab)(cd)(bd)(ac)
；
abcde[d (ac)](be)
．
数学应用：
例1：如图，O为正六边形的中心，作出下列向量：
（1）
OAOC
； （2）
BCFE
； （3）
OAFE


E




F



练习：
A

D

O

C

B

1． 如图，已知向量
a,b
，作出
ab

（1） （2）
a



a


b


b


2． 如图，在三角形ABC中，作出下列向量：
（1）
CACB
； （2）
CAAB
（3）
CABA






3． 在平行四边形
ABCD
中，
（1）
ABAD
，（2）
ACCDDO

（3）
ABADCD
，（
4）
ACBADA

4． 化简：
ABMBBOBCOM


5． 已知正三角形ABC中，下列等式成立的有
（1）
|ABBC||BCCA|
（2）
|ACCB||BCBA|


（3）
|ABAC||CBCA|
（4）
|ABBCAC||CBBACA|

例2．在长江南岸某渡口处， 江水以
12.5kmh
的速度向东流，渡般的速度为
25kmh
，渡般要垂< br>直地渡过长江，其航向应如何确定？


B

C




A


例3 已知矩形
ABCD
中，宽为
2
，长为
23
，
AB
a
，BC
=
b
，
AC
=
c
，试作出向量
a bc
，
并求出其模的大小。





练习：（1） 一架飞机向北飞行
200
千米后，改变航向向东飞行
200< br>千米，则飞行的路程为
_____ ；两次位移的和的方向为北偏东
45
，大小为__________千米．


（2）如图，一艘船从
A
点出发以
23kmh
的速度向垂 直于对岸的方向行驶，同时水的流速为



2kmh
，求船实际航行的速度的大小与方向。