国外歌曲-作文我最熟悉的人

3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
3.2.2 概率的一般加法公式(选学)
学 习 目 标
1.理解古典概型及其概率计算公式，会
判断古典概型．(难点) 1.通过古典概型及其特征的学习，体现
核 心 素 养
2．会用列举法求古典概型的概率．(重了数学抽象的数学核心素养．
点) 2．通过古典概型概率的求解，培养数
3．应用古典概型的概率计算公式求复学运算的数学核心素养.
杂事件的概率．(难点)

1

1．古典概型
(1)古典概型的概念：
同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：
①有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同
的基本事件；
②等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．
(2)概率的古典定义：
在基本事件总数为n的古典概型中，
1
①每个基本事件发生的概率为
n
；
②如果随机事件A包含的基本 事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得
事件A包含的基本事件数
m
P(A)＝< br>n
，所以在古典概型中P(A)＝，这一定义称为概
试验的基本事件总数
率的古 典定义．
思考：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？
[提示] 不是．因为有无数个基本事件．
2．概率的一般加法公式(选学)
(1)事件A与B的交(或积)：
由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的 交(或积)，记作
D＝A∩B(或D＝AB)．
2

(2)设A，B 是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，这就
是概率的一般加法公式 ．

1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基 本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相
等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总 数为n，随机事件A若
k
包含k个基本事件，则P(A)＝
n
.
A．②④
C．①④
B．①③④
D．③④
B [根据古典概型的特征与计算公式进行判断，①③④正确，②不正确．]
2．随机掷两枚 质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为
p
1
，点数之和大于5的概 率记为p
2
，点数之和为偶数的概率记为p
3
，则( )
A．p
1
2
3

C．p
1
3
2

B．p
2
1
3

D．p
3
1
2

C [本题考查简单的概率运算．在表格中表示出两枚骰子向上的点数的所有
可能情况如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
3
5
6
7
8
6
7
8
9

4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
102618
则p
1
＝
36
，p
2
＝
36
，p
3
＝
36
.故p
1
3
2
.]
3．从甲、 乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事
件所含的基本事件有________个 ．
2 [(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．]
4．已知A，B是两个事件，且P(A∪B )＝0.2，P(A)＝P(B)＝0.3，则P(AB)
＝________.
0.4 [ 由概率的一般加法公式P(AB)＝－P(A∪B)＋P(A)＋P(B)＝0.3＋0.3－
0.2＝ 0.4.]

基本事件的列举问题

【例1】 有两个正四面体的玩具， 其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面
做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结 果，其中x表示第1个正四
面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出下列事 件
4

所包含的全部基本事件：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“朝下点数之和大于3”；
(3)事件“朝下点数相等”；
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．
[思路探究] 根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的
结果，列举出来即可．
[解] (1)这个试验的基本事件为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，( 2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,1) ，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：
(1,3)，(1,4)，( 2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4, 2)，(4,3)，
(4,4)．
(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：(1 ,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以 下10个基本事件：(1,1)，
(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，( 3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)．

1．根据基本事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，
5

就得到基本事件．
2．求基本事件个数常用列举法、列表法、树状图法来解决 ，并且注意以下
几个方面：(1)用列举法时要注意不重不漏；(2)用列表法时注意顺序问题；(3) 用
树状图法时若是有顺序问题，只作一个树状图然后乘以元素个数．


1．连续抛掷三枚质地均匀的硬币，观察落地后这三枚硬币出现正面还是反
面．
(1)写出这个试验的基本事件；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)“恰有两枚硬币正面向上”这一事件包含了哪几个基本事件？
[解] (1)这个试验的基本事件为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，
6

正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)基本事件总数是8.
(3)事件“恰有两枚硬币正面向上”包含以下3个基本事件：( 正，正，反)，
(正，反，正)，(反，正，正)．
古典概型的判断及其概率计算

[探究问题]
1．基本事件有何特征？
[提示] 基本事件是试验的最基本的结果 ，在一次试验中，基本事件不可能
同时发生，故基本事件都是互斥的，其他试验的结果都可以用基本事件 来表示．
2．若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古
典概型吗？为什么？
[提示] 不一定符合，因为一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具
备古典概型的两个 特点：有限性与等可能性．上述试验还必须满足每个基本事件
出现的可能性相等才符合古典概型．
3．古典概型的概率计算的基本步骤有哪些？
[提示] 首先，阅读题目，收集题目中的各种 信息；其次，判断基本事件是
否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出试验的基本事件的 总
数n及事件A包含的基本事件数m；最后，利用公式
P(A)＝
事件A包含的基本 事件数
试验的基本事件总数
m
＝
n
，求出事件A的概率．
7

【例2】 (1)下列试验是古典概型的为________．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
(2)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为 a，b的2个黑球和编号为c，d，
e的3个红球，从中任意摸出2个球．
写出所有不同的结果，判断是否为古典概型并求至少摸到1个黑球的概率．
[思路探究] ( 1)紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判
断．(2)写试验的不同结果时可用树状图， 判断古典概型时要紧扣其定义与特征，
写出至少摸到1个黑球的基本事件，用古典概型概率公式可得概率 ．
(1)①②④ [①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是
古典概型， 因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．]
(2)解：用树状图表示所有的结果为：

所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10
种，且在一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等，是古典概型问题．
记“至少摸出1个黑球”为事件A，
8

则事件A包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，
共7个基本事件，
7
所以P(A)＝
10
＝0.7，
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.

1．判断随机试验是否为古典概型，关键是 抓住古典概型的两个特征——有
限性和等可能性，二者缺一不可．
2．解决古典概型问题的基 本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，
可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事 件的和；二是先求对立事
件的概率，再求所求事件的概率．

9

2．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事< br>件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：
(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白
球．
[解] 所有的基本事件个数n＝8个．全集I＝{(红，红，红)，(红，红，白)，
(红， 白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，
白，白)}．
(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”．
∵A中含有基本事件个数为m＝6，
m6
∴P(A)＝
n
＝
8
＝0.75.
(2)记事件B为“三次颜色全相同”．
∵B中含有基本事件个数为m＝2，
m2
∴P(B)＝
n
＝
8
＝0.25.
(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．
∵C中含有基本事件个数为m＝4，
10

4
∴P(C)＝
8
＝0.5.
3． 若从甲、乙、丙、丁中任取2人参加某项活动，在列举基本事件时，有
人列举为(甲，乙)、(甲，丙) 、(甲，丁)、(乙，丙)、(乙，丁)、(丙，丁)共6个，
还有人列举为(甲，乙)、(乙，甲)、 (甲，丙)、(丙，甲)、(甲，丁)、(丁，甲)、(乙，
丙)、(丙，乙)、(乙，丁)、(丁，乙 )、(丙，丁)、(丁，丙)共12个．既然基本事
件总数都不相同，他们求某一事件的概率一定不相同 ，对吗？
[解] 不对，如要求A事件：甲入选的概率时．第一种情况下A包含3个基
316 1
本事件，P(A)＝
6
＝
2
；第二种情况下，A包含6个基本事件 ，P(A)＝
12
＝
2
，概
率相同．求概率时，其大小与模型的选择 无关，但对于此问题，我们倾向于选择
第一种情况．
概率的一般加法公式(选学)

【例3】 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙
跑第四棒的概率．
[思路探究] 由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的，故此试验是古典概
型，可以利用概率的一般加法公式求解．
1
[解] 设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝
4< br>，
1
P(B)＝
4
.记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x， y)，共有12种等可能结
果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2 ,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能：(1,4)，
1
故P(A∩B)＝
12
.
11

1所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝
4115
＋
4
－
12
＝
12
.

概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为：
1在公式PA∪B＝PA＋PB中，事件A、B是互斥事件；
2在公式 PA∪B＝PA＋PB－PA∩B中，事件A、B可以是互斥事件，
也可以不是互斥事 件.可借助Venn图直观理解.

12

4．在对20 0家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，
50%的公司在进行短期销售预测，而 30%的公司在从事这两项研究．假设从这
200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效 果”，记事件B为“该
公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)．
[解] P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，
又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.

1．本节课的重点是了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事
件，会用列举法求古 典概型的概率．难点是理解古典概型及其概率计算公式，会
判断古典概型．
13

2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)基本事件的两种探求方法．
(2)求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点．
(3)利用事件的关系结合古典概型求概率．
3．本节课的易错点有两个：
(1)列举基本事件时易漏掉或重复，如讲1；
(2)判断一个事件是否是古典概型易出错．

1．思考辨析
(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古
典概型．( )
(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．( )
(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )
(4)一个 古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是
1
n
.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同 学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学
相邻的概率是( )
1111
A.
6
B.
4
C.
3
D．
2

[答案] D
14

3．100张卡片上分别写有1、2、3、…、100，计算下列事件的概率．
(1)任取其中1张，这张卡片上写的是偶数的概率为________；
(2)任取其中1张，这张卡片上写的数是5的倍数的概率为________；
(3)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数且是5的倍数的概率为
________；
(4)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数或是5的倍数的概率为
________．
1113
(1)
2
(2)
5
(3)
10
(4)
5
[从100张卡片中任取一张，共有100种取法．
1
(1)其中偶数有50个，故取得偶数的概率为
2
.
21
(2)其中是5的倍数的有20个，故是5的倍数的概率是
10
＝
5
. < br>1
(3)既是偶数又是5的倍数的有10个，故既是偶数又是5的倍数的概率为
10.
(4)记事件A为“取出偶数”，事件B为“取出的数是5的倍数”，则P(A∪B)
1113
＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝
.]
25105
4 ．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下
列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
[解] 设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小
球中 任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4) ，(2,5)，
(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5, 6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法共有6种，为
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
62
∴取 出的两个球全是白球的概率为P(A)＝
15
＝
5
.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取
15