切换不了输入法-暑假生活手抄报

说课稿：等差数列的前n项和
一、教材分析
本节课主 要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应
用．是继等差数列通项公式之后的 又一重要概念，与前面学习的函数有着密切的联系；通过
对公式的推导，可以让学生进一步掌握从特殊到 一般的研究问题的方法，也为以后推导等比
数列求和公式奠定了基础；同时等差数列在现实生活中比较常 见，因此等差数列求和在实际
生活中有着广泛的应用.
二、学情分析
学生已经学习 了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序
相加法的教学提供了基础；同时 学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高
斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的 距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是
学生学习的障碍．
三、教学目标
知识目标：掌握等差数列的前n项和公式，能熟练的应用等差数列的前n项和公式求和；
能力 目标：在知识发生、发展以及形成过程中遵循从特殊到一般的认知规律，培养学生
的类比思维能力，通过 对公式从不同角度不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学
生分析问题解决问题的能力
情感目标：通过生动具体的现实问题，以及令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，
产生热爱数学的 情感。
四、教学重点、难点
教学重点：等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题
教学难点：获得等差数列前n项和公式的推导思路
五、教学方法
利用计算机和实物投影辅助教学，采用启发探究相结合的教学模式
六、教学过程
学 生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知
识的形成与发展过程 ，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
（一）创设情境——引入问题
首先讲述世 界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪
莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其 爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫
人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令 人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，
共有100层（见下图），
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+„+100。
紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。
200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋„+100＝？
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，
1

10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋„„＋（50＋51）＝101×50＝5050
【设计说明】 了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。
（二）层层铺垫——发现方法
学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，
但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段，
为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。
探究1：图案中，第1层到第2 1层一共有多少颗宝石？这是求奇数项和的问题，学生们会
提出以下方法
方法1：原式＝（1＋2＋„＋10＋12„＋21）＋11
方法2：原式＝0＋1＋2＋„„＋20＋21
方法3：原式＝（1＋2＋3＋„„＋20）＋21
以上方法实际上是用了“化归思想”，将 奇数项问题转化为偶数项求解，老师对学生的解法
给予肯定表扬，并进一步提出新的问题
探究 2：是不是求前若干个自然数之和需要看其项数的奇偶呢？即求1+2+3+„+n需讨论n
的奇偶呢？ 学生们很自然就想到要用分类讨论来解决此类问题，老师要肯定学生的想法，指
出此方法的缺点是繁琐， 进而促使学生探索更简捷的做法。
【设计说明】借此渗透分类讨论意识以及化归思想，并激发学生探索的兴趣
用多媒体做一个实 验：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形，让学生观察效果很容
易获得结果：
S21

21(121)
，并尝试将直观问题抽象成数学问题。
2










【设计说明】在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，< br>从而渗透了数形结合的数学思想。 但是如何将直观问题抽象化，此处也是教学的一个难点。
老师启发学生一起去发现两个三角形体现的求和思想，板书给出
S
21
12112021

S
21
21201121



2S
21
21(121)



S
21

21(121)

2
通过这个过程让学生理解“倒置”与“倒序”，“补”与“相加”的对应关系。
和学生一起完成 ：求1到n的正整数之和，并板书
S
n
123< br>
n
S
n
n(n1)(n2)

1


2

2S
n
(1n)(1n)

(1n)
< br>
S
n


n个
n(n 1)

2
然后让学生反思求和过程，体会其中的数列具有怎样的关键特点？并指出这种 方法就是“倒
序相加法” 有些学生会发现特点一：在于前n个自然数具有一种“对称性”。即：与首末 两
项等距离的两数之和都等于首末两数之和。即“首尾配对”。这个性质在等差数列中具有普
遍 性吗？带着学生去验证等差数列具有：
a
1
a
n
a
2< br>a
n1


a
n
a
1
< br>特点二：即“从前往后看，每一项都比前一项多d”“从后往前看，每一前项比后一项少d”。
即 “递进递减”
【设计说明】从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学 生
体验“倒序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进。
从反思中进一步体会等差数列具有“首尾配对”“递进递减”的两个特点，为后面顺利完成
等差求和的推 导奠定基础。本节课的难点得以突破。
（三）归纳整理——思想升华
完成上述推导以后，我 再顺势引导学生能否将问题一般化？分别叫学生到黑板上推导，老师
个别指导
方法一：
S
n
a
1
a
2
a
3


a
n
S
n
a
n
a
n1
 a
n2


a
1

2S
n
n(a
1
a
n
)

S
n

n(a
1
a
n
)
n(n 1)
d


公式2
S
n
na
1

2
2
方法二：
S
n
a
1
(a
1
d)



a
1
(n1)d

S
n
a
n< br>(a
n
d)



a
n
( n1)d

2S
n
n(a
1
a
n
)

公式1

S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)
d


公式2
S
n
na
1

2
2
【设计说明】在教师 的引导下，让学生主动思考主动参与体会知识结论的形成过程，对等差
数列有了更深刻的理解
（四）巩固练习——全面认识
例1、 等差数列

a
n

中，已知
d20,n37,S
n
629
，求
a1
和
a
n

【设计说明】本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。
可以使用公式2，先求出 首项，再使用通项公式求尾项。也可以使用公式1和通项公式，联
立方程组求解。事实上，在求和公式、 通项公式中共有首项、公差、项数、末项、前n项和
五个元素，如果已知其中三个，联列方程组，就可求 其余二个。
例2、 在等差数列

a
n

中，（1）已 知
a
2
a
5
a
12
a
15
36
，求
S
16

（2）已知
a
6
16
，求
S
11

【设计说明】每道小题通过所给条件是无法将首项和公差全部求出来的，本例是引导学生认
识求 和公式中的整体思想，由（2）给出等差数列中
S
2n1
(2n1)a
n
.

3

（五）梳理知识——形成系统
引导学生回顾公式、推导方法鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法
两方面总 结。
（1）回顾从特殊到一般的研究方法；
（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想；
（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用
（4）前n项和公式的函数意义
（六）布置作业 分层练习
课本118页 习题3.3 第２、３、４。
选做题 已知函数f（x）=
1
，则
f(5)f(4)f(6)
的值等于多少？
x
2+2思考题：若数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
A n
2
Bn
（
A、BR
），则数列
{a
n
}
是等差数列。
【
设计意图
】
出选做题的目的是注意分层教学和 因材施教，让学有余力的学生有思考的空
间。

（七）教学反思
本节课是通 过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．本节
课的难点在于如何获得推导公式 的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中
采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问 题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特
殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问 题．在教学过程中，通过教师的
层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生 “倒序相加法”思
路的获得就水到渠成了．
（八）板书设计
1.
高斯求和


探究1

探究2
§3.3等差数列的前n项和
2
.等差数列的前n项和的
3.
例题
推导



4.小结




4