手机令牌有什么用-鹰之歌

第一章 随机事件和概率
（1）排列组
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
合公式
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某 件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法
（2）加法和
可由n种方法 来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤
可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列（有序）
（3）一些常
对立事件（至少有一个）
见排列
顺序问题
如果一 个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止
（4）随机试
一个，但在进行一 次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试
验和随机事
验为随机试验。
件
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，
它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
（5）基本事
件、样本空
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
间和事件
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字
母
A，B，C，
„表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不 可能事件；
同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然
事件。
①关系：
（6）事件的
如果事件A的组成部分也是事件
B
的组成部 分，（
A
发生必有事件
B
发
关系与运算
生）：
如果同时有 ， ，则称事件
A
与事件
B
等价，或称
A等于
B
：
A=B
。
A、B
中至少有一个发生的事件：
A B
，或者
A
+
B
。

属于
A
而不属于
B
的部分所构成的事件，称为
A与B
的差，记为
A-B< br>，
也可表示为
A-AB
或者 ，它表示
A
发生而
B
不发生的事件。
A、B
同时发生：
A

B
，或者
AB
。A

B=Ø，则表示A与B不可能同时发生 ，
称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为

。它表示A不发生的
事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：

，
设

为样本空间，

为事件，对每一个事件

都有一个实数P(A)，若满足下
列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
（7）概率的
公理化定义 3° 对于两两互不相容的事件

，

，„有

常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件

的概率。
1° ，
2° 。
（8）古典概
设任一事件

，它是由 组成的，则有
型
2° P(Ω) =1
P(A)
= =

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时
（9）几何概
样 本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随
机试验为几何概型。对任一事件A，
型
。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
公式
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法P(A-B)=P(A)-P(AB)
公式

当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事
件B发生的条件概率，记为 。
（12）条件
概率 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(ΩB)=1 P( A)=1-P(BA)
乘法公式：
（13）乘法更一般地，对事件A
1
，A
2
，„A
n
，若P(A1
A
2
„A
n-1
)>0，则有
公式
„

„„

„

。
①两个事件的独立性
设事件

、

满足

，则称事件

、

是相互独立的。
若事件

、

相互独立，且

，则有

若事件

、

相互独立，则可得到

与

、

与

、

与

也都相互独立。
必然事件

和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
（14）独立
Ø与任何事件都互斥。
性
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
设事件

满足
1°

两两互不相容，

，
（15）全概
2°

，
公式
则有
。
（16）贝叶设事件

，

，„，

及

满足
斯公式

1° ，

，„，

两两互不相容，

>0，

1，2，„，

，
2° ，

，
则
，i=1，2，„n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（

，

，„，

），通常叫先验概率。 ，（

，

，„，

），通常称为后
验概率。贝叶斯公式反映了“ 因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”
的推断。
我们作了

次试验，且满足
u 每次试验只有两种可能结果，

发生或

不发生；
u 次试验是重复进行的，即

发生的概率每次均一样；
u 每次试验是独立的，即每次试验

发生与否与其他次试验

发生与
（17）伯努
否是互不影响的。
利概型
这种试验称为伯努利概型，或称为

重伯努利试验。
用

表示每次试验

发生的概率，则

发生的概率为

，用

表示

重伯努利试验
中

出现

次的概率，
，

。
第二章 随机变量及其分布
（1）离散设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,„)且取各个值的概率，
型随机变即事件(X=Xk)的概率为
量的分布
P(X=xk)=pk，k=1,2,„，
律
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列
的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） ， ， （2） 。
（2）连续设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
型随机变
量的分布
，
密度
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称
概率密度。

密度函数具有下面4个性质：
1° 。
2° 。
（3）离散
与连续型
随机变量
积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量
的关系
理论中所起的作用相类似。
（4）分布设 为随机变量， 是任意实数，则函数
函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（–
∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
4° ，即 是右连续的；
5° 。
对于离散型随机变量， ；
对于连续型随机变量， 。
（5）八大0-1分布
分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生
的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
， 其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是
二项分布的特例。
泊松分布 设随机变量 的分布律为
， ， ，

则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为
H(n,N,M)。
几何分布 ，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布 设随机变量

的值只落在[a，b]内，其密度函数

在[a，b]
上为常数 ，即

a≤x≤b
其他，
则称随机变量

在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为

a≤x≤b
0， x


1， x>b。


当a≤x
1
2
≤b时，X落在区间（

）内的概率为
。
指数分布 ,

0, ,

其中

，则称随机变量X服从参数为

的指数分布。
X的分布函数为
,


x<0。





记住积分公式：



正态分布 设随机变量

的密度函数为
， ，
其中

、

为常数，则称随机变量

服从参数为

、

的正态分
布或高斯（Gauss）分布，记为

。
具有如下性质：
1° 的图形是关于

对称的；
2° 当

时， 为最大值；
若

，则

的分布函数为
。。

参数

、

时的正态分布称为标准正态分布，记为

，其密度
函数记为
， ，
分布函数为

。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
如果 ~ ，则 ~ 。
。
（6）分位下分位表： ；
数
上分位表： 。
（7）函数离散型
分布
已知 的分布列为
，
的分布列（ 互不相等）如下：
，
若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
连续型 先利用X的概率 密度f
X
(x)写出Y的分布函数F
Y
(y)＝
P(g(X)≤y) ，再利用变上下限积分的求导公式求出f
Y
(y)。
第三章 二维随机变量及其分布
（1）联合离散型
分布
如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为
至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随
机量。
设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }
的概率为
p
ij,
,称

为 =（X，Y）的分布律 或称为X和Y的联合分
布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来
表示：

Y

y
1

X

x
1

p
11

y
2

p
12

p
22



„
„
„

„
y
j

p
1j

p
2j



„
„
„

„
x
2


p
21


x
i

p
i1

这里
p
ij
具有下面两个性质：
（1）
p
ij
≥0（i,j=1,2,„）；
（2）
连续型 对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使
对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的 矩形区
域D，即D={(X,Y)|a
则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，
Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1） f(x,y)≥0;
（2）
（2）二维
随机变量
的本质
（3）联合设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
分布函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联
合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的
一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
（1）
（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即
当x
2
>x
1时，有F（x
2
,y）≥F(x
1
,y);当y
2
>y
1
时，有F(x,y
2
) ≥F(x,y
1
);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4）
（5）对于
.

（4）离散
型与连续
型的关系
（5）边缘离散型
分布
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型 X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）条件离散型
分布
在已知
X=x
i
的条件下，Y取值的条件分布为

在已知
Y=y
j
的条件下，X取值的条件分布为

连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
；
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

（7）独立一般型
性
离散型
F(X,Y)=F
X
(x)F
Y
(y)

有零不独立
连续型 f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y)
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
＝0

随机变量的函数 若X
1
,X
2
,„X
m< br>,X
m+1
,„X
n
相互独立， h,g为连续
函数，则：
h（X
1
，X
2
,„X
m
）和g（X
m+ 1
,„X
n
）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独
立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
（8）二维设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
均匀分布

其中S
D
为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，
Y）～U（D） 。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y

1

D
1

O
1
x


图3.1

y

D
2


1
1



O
2
x



图3.2

y

D
3

d


c

O

a b x

图3.3

（9）二维设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
正态分布

其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，
记为（X，Y）～N（
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为
正态分布，
即X～N（
但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。
（10）函Z=X+Y
数分布
根据定义计算：
对于连续型，f
Z
(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从
正态分布。
，
Z=max,min(X
1
,X
2
,„X
n
) 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则
Z=max,min(X
1
,X
2
,„X
n
)的分布函数为：


分布 设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分
布，可以证明它们的平方和

的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记
为W～ ，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它
是随机变量分布中的一个重要参数。
分布满足可加性：设

则

t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，
记为T～t(n)。

F分布 设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函
数为

我们称随 机变量F服从第一个自由度为n
1
，第
二个自由度为n
2
的F分布， 记为F～f(n
1
, n
2
).

第四章 随机变量的数字特征
（1）一
维随机
变量的
期望
数字特
期望就是平均值
征
离散型 连续型
设X是离散型随机变量，其分设X是连续型随机变量，其概率
布律为P( )＝p
k
，k=1,2,„,n， 密度为f(x)，

（要求绝对收敛）
函数的期望 Y=g(X)


方差
D(X)=E[X-E(X)]，
标准差
，
矩
2
（要求绝对收敛）
Y=g(X)






①对于正整数k，称随机变量①对于正整数k，称随机变量X< br>X的k次幂的数学期望为X的的k次幂的数学期望为X的k
k阶原点矩，记为v
k
,即 阶原点矩，记为v
k
,即
ν
k
=E(X
k
)= , k=1,2, „. ν
k
=E(X
k
)=
②对于正整数k，称随机变量 k=1,2, „.
X与E（X）差的k次幂的数学
期望为X的k阶中心矩，记
②对于正整数k，称 随机变量X
与E（X）差的k次幂的数学期
为 ，即
望为X的k阶中心矩，记为 ，
即
= ， k=1,2, „.
=
k=1,2, „.
切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ
2
，则
对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。
（2）期（1） E(C)=C
望的性
（2） E(CX)=CE(X)
质
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，

（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
（3）方（1） D(C)=0；E(C)=C
差的性
2
（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X)
质
（3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X)-E(X)
（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
（4）常
见分布
的期望
0-1分布
和方差
二项分布
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
正态分布

t分布
（5）二期望
维随机
变量的
数字特
函数的期望
征
方差
期望 方差








2n
(n>2)


＝



22
2
p

np







n
0


＝

协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的
协方差或相关矩，记为 ，即

与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为
与 。
相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称

为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。
| |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关：
完全相关
而当 时，称X与Y不相关。
以下五个命题是等价的：
① ；
②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差矩阵
混合矩

对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的
k+l
阶混合原点矩，记为 ；
k+l
阶混合中心矩记为：

（6）协(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);
方差的
(ii) cov(aX,bY)=abcov(X,Y);
性质
(iii) cov(X
1
+X
2
, Y)=cov(X
1
,Y)+cov(X
2
,Y);
(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（7）独（i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。
立和不
相关
（ii） 若（X，Y）～N（ ），

则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。
第五章 大数定律和中心极限定理
（1）大数定律 切比雪设随机变量X
1
，X
2
，„相互独立，均具有有限方差，且
夫大数被同一常数C所界：D（
X
i
）
定律 的正数ε，有

特殊情形：若X
1
，X
2
，„具有相同的数学 期望E（X
I
）
=μ，则上式成为

伯努利设μ是n次独立试验 中事件A发生的次数，p是事件A
大数定在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
律

伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件
A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛钦大设X
1
， X
2
，„，X
n
，„是相互独立同分布的随机变量序
数定律 列，且E（X
n
）=μ，则对于任意的正数ε有

（2）中心极限定列维 －设随机变量X
1
，X
2
，„相互独立，服从同一分布，且具
理 林德伯有相同的数学期望和方差： ，则随机变量
格定理

的分布函数F
n
(
x
)对任意的实数
x
，有

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗设随机变量 为具有参数n, p(0－拉普于任意实数x,有
拉斯定

理
（3）二项定理 若当 ，则

超几何分布的极限分布为二项分布。

（4）泊松定理 若当 ，则

其中k=0，1，2，„，n，„。
二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章样本及抽样分布
（1）数理统总体
计的基本概
念
个体
样本
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指
标的全体称为总体（或母 体）。我们总是把总体看成一
个具有分布的随机变量（或随机向量）。
总体中的每一个单元称为样品（或个体）。
我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本 中所
含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况
下，总是把样本看成是n个相互独立 的且与总体有相同
分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛
指任一次抽取的结果时 ， 表示n个随机变量（样本）；
在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本
值）。我们称之为样本的两重性。
样本函数和设 为总体的一个样本，称
统计量
（ ）
为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任
何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。
常见统计量样本均值
及其性质
样本方差
样本标准差
样本k阶原点矩

样本k阶中心矩

， ，
， ,
其中 ，为二阶中心矩。
（2）正态总正态分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

体下的四大
分布

t分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

其中 表示自由度为n-1的 分布。
F分布 设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体
的一个样本，则样本函数

其中

表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。
（3）正态总与 独立。
体下分布的
性质
第七章 参数估计
（1）点矩估计 设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它
估计 的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的
n个样本值，其样本的k阶原点矩为

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的
样本矩”的原则建立方程，即有

由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的
矩估计量。

若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。
极大似当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未
然估计 知参数。又设 为总体的一个样本，称

为样本的似然函数，简记为
L
n
.

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称

为样本的似然函数。
若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然
估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。


若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估
计。
（2）估无偏性 设 为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估
计量的计量。
评选标
E（ ）=E（X）， E（S
2
）=D（X）
准
有效性 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。
一致性 设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有

则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。

若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。 < br>只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函
数都是相应总体的一致估计量 。
（3）区置信区
间估计 间和置
信度
设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，
找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参
数 ，即

那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水
平）。
单正态
总体的
设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信
区间 。具体步骤如下：

期望和
方差的
区间估
计

（i）选择样本函数；
（ii）由置信度 ，查表找分位数；
（iii）导出置信区间 。
已知方差，估计均值 （i）选择样本函数

(ii) 查表找分位数

（iii）导出置信区间

未知方差，估计均值 （i）选择样本函数

(ii)查表找分位数

（iii）导出置信区间

方差的区间估计 （i）选择样本函数

（ii）查表找分位数

（iii）导出 的置信区间

第八章 假设检验
基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本
上是不会发生的，即小概率原理。
为了检验一个假设
H
0
是否成立。我们先假定
H
0
是成立的。如果根
据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定
H< br>0
是不正确的，我们拒绝接受
H
0
；如果由此没有导出不合理的现象， 则
不能拒绝接受
H
0
，我们称
H
0
是相容的。与< br>H
0
相对的假设称为备择假设，
用
H
1
表示。
这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平α，通

常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。
基本步骤 假设检验的基本步骤如下：
(i) 提出零假设
H
0
；
(ii) 选择统计量
K
；
(iii) 对于检验水平α查表找分位数λ；
(iv) 由样本值 计算统计量之值
K
；
将 进行比较，作出判断：当 时否定
H
0
，否则认为
H
0
相容。
两类错误 第一类错误 当
H
0
为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规
定的检验 法则，应当否定
H
0
。这时，我们把客观上

H
0
成立判为
H
0
为不成立（即否定了真实的假设），称
这种错误为“以真当假 ”的错误或第一类错误，记
为犯此类错误的概率，即
P{否定
H
0
|
H
0
为真}= ；
此处的α恰好为检验水平。
当
H
1
为真时，而样本值却落入了相容 域，按照我们规
定的检验法则，应当接受
H
0
。这时，我们把客观上
H
0
。不成立判为
H
0
成立（即接受了不真实的假设），
称 这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记
为犯此类错误的概率，即
P{接受
H
0
|
H
1
为真}= 。
两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，
当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，
则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。
第二类错误
在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概
率，即给定显著性水 平α。α大小的选取应根据实
际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以
真当假”时， 则应把α取得很小，如0.01，甚至
0.001。反之，则应把α取得大些。

单正态总体均值和方差的假设检验
对应样本
条件 零假设

已知


统计量
函数分布

否定域
N
（0，1）

未知


未知