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向量公式汇总
平面向量
1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向
线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）
上伸长为 原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜ 0）
上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且
λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作O A=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b
的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不
共线，则a •b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a（交换律）；
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向 量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义：两个向 量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、
b不共线，则a×b的模是：∣a× b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直
于a和b，且a、b和a×b按这个 次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

6.定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一
个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)(1+λ),
y=(y1+λy2)(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则ab的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
ab的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a•b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
空间向量
令
a
=(a
1
,a
2
,a
3
),
b(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
ab(a
1
b
1
,a
2
b
2
, a
3
b
3
)


a(

a< br>1
,

a
2
,

a
3
)(

R)

aba
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3

共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
a∥
ba
1


b
1
,a
2


b
2
,a
3


b
3
(

R)

a
1
a
2
a
3< br>

b
1
b
2
b
3
如果三个向量 ：那么对空间任一向量
P
，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，
．．．．
a,b,c
不共面
．．．
使
pxaybzc
.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组
x、y、z使
OPxOAyOBzOC
(这里隐含x+y+z≠1).
向量垂直
aba
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
0
。
空间两个向量的夹角公式




ab
cosa,b



|a||b|
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
2
a
1
2
a< br>2
2
a
3
b
1
22
b
22
b
3

（a＝
(a
1
,a
2,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b< br>3
)
）。
空间两点的距离公式：
d(x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2(z
2
z
1
)
2
.
利用法向量求点到面的距离：
如图，设n是平面

的法向量，AB是平面< br>
的一条射线，其中
A

，则点B到平面

|AB n|
的距离为
|n|
.
.异面直线间的距离
uuuruur
r
|CDn|
r
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向量为
n
，
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点，
d
为
d
|n|
l
1
,l
2
间的距离).
B
到平面

的距离
uuuruur
|ABn|
r
r

d
（
n
为平面

的法向量，
AB
是经过面

的一条斜 线，
A

）.
|n|
直线
AB
与平面所成角
uuurur
r
ABm
u
rur
(
m
为 平面

的法向量).

arcsin
uuu
|AB|| m|
利用法向量求二面角的平面角：
urrurr
urr
mnmnrr
或

arc
cos
urr
（
m
，
n
为平面

，

的法向量）

arccos
u
|m||n||m||n|