（1）证明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，



两式相加得：
所以

.
练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适 当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[
例
7] 求数列的前n项和：
11,
111
4,2
7,,
n1
3n2
，…
a
aa111
解：设
S
n
(11)(4)(
2
7 )(
n1
3n2)

a
aa
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
(1
111

2

n1
)(1473n 2)

（分组）

a
a a
(3n1)n(3n1)n
当a＝1时，
S
n
n
＝
（分组求和）

221
1
n
(3n1)n
aa
1n
(3n1)n
a

当
a1
时，
S
n

＝

1
a12
2
1
a
[
例
8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
32
解：设
a
k
k(k1)(2k1)2k3kk


4

∴
S
n


k(k1)(2k1)
＝
< br>(2k
k1k1
nn
3
3k
2
k)

将其每一项拆开再重新组合得
S
n
＝
2

k 1
3
n
k3

k

k

（分组）

32
k1k1
33222
nn
＝< br>2(12n)3(12n)(12n)

n
2
(n1)
2
n(n1)(2n1)n(n1)

＝
（分组求和）

222
n(n1)
2
(n2)
＝
2

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解
（裂项）
如：
sin1


tan(n 1)tann
（1）
a
n
f(n1)f(n)
（2）

cosncos(n1)
(2n)
2
111
111
1()


（3）
a
n

（4）
a
n

(2n1)(2n1)22n12n1
n(n 1)nn1
（5）
a
n

1111
[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
n212(n1)n11 11

n

n
,则S1

n
n (n1)
2
n(n1)
2n2
n1
(n1)2
n
(n1)2
n
(6)
a
n

（7）
a
n

1111
()

(AnB)(AnC)CB AnBAnC
1
nn1
n1n
（8）
a
n


[
例
9] 求数列
1< br>12
,
1
23
1
,,
1
nn 1
,
的前n项和.
解：设
a
n

nn1
n1n

（裂项）


5

则
S
n

1
12

1
23

1
n n1

（裂项求和）

＝
(21)(32)(n1n)

＝
n11

[
例
10] 在数列{a
n
}中，
a
n

解： ∵
an

2
12n
，又
b
n

，求数列{ b
n
}的前n项的和.

a
n
a
n 1
n1n1n1
12nn


n1n1n12
211
∴
b
n
8()

（裂项）

nn1
nn1

22
∴ 数列{b
n
}的前n项和
1111
2233
18n
＝
8(1

)
＝
n1
n1

S
n
8[(1)()()(
1
4
11
)]

（裂项求和）

nn1111cos1


[
例
11] 求证： 
2

cos0cos1cos1cos2cos88cos89si n1
解：设
S
111



cos0cos1cos1cos2cos88cos89
sin1

tan(n 1)

tann


（裂项）
∵

cosncos(n1)
111

（裂项求和）


cos0

cos1

cos1

cos2

cos88

cos89

1

＝
{(tan1tan0) (tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]}


sin1
∴
S
cos1

11

＝
(tan89tan0)
＝
cot1
＝
2



sin1
sin1sin1
∴ 原等式成立

答案：


六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列， 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这
些项放在一起先求和，然后 再求S
n
.

6

[
例
12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S
n
＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵
cosncos(180n)

（找特殊性质项）

∴S
n
＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90°
（合并求和）


＝ 0
[
例
13] 数列{a
n
}：
a
1
1 ,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1a
n
，求S
2002
.
解：设S
2002
＝
a
1
a
2
a
3
a
200 2

由
a
1
1,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1
a
n
可得
a
4
1,a
5
3,a
6
2,

a
7
1,a
8
3,a
9
2,a
10
1,a
11
3,a
12
2,

……
a
6k1
1,a
6k2
3,a
6k3
 2,a
6k4
1,a
6k5
3,a
6k6
 2

∵
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4
a
6k5
a
6k6
0

（找特殊性质项）
∴ S
200 2
＝
a
1
a
2
a
3
a2002

（合并求和）
＝
(a
1
a
2
a3
a
6
)(a
7
a
8
a
12
)(a
6k1
a
6k2
a
6k6
)

(a
1993
a
199 4
a
1998
)a
1999
a
2000a
2001
a
2002

＝
a
1999< br>a
2000
a
2001
a
2002

＝
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a6k4

＝5
[
例
14] 在各项均为正数的等比数列中 ，若
a
5
a
6
9,求log
3
a
1log
3
a
2
log
3
a
10< br>的值.
解：设
S
n
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10
由等比数列的性质
mnpqa
m
a
n
a
p
a
q

（找特殊性质项）

和对数的运算性质
log
a
Mlo g
a
Nlog
a
MN
得
S
n
 (log
3
a
1
log
3
a
10
)( log
3
a
2
log
3
a
9
) (log
3
a
5
log
3
a
6
)
（合并求和）

＝
(log
3
a1
a
10
)(log
3
a
2
a
9
)(log
3
a
5
a
6
)


7

＝
log
39log
3
9log
3
9

＝10




七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特 征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来
求数列的前n项和，是一个 重要的方法.

[
例
15] 求
1111111 11



1
之和.
n个1
解：由于111



1
1
9
999





9
1
(10
k1)

（找通项及特征）
k个1
k个1
9
∴
111111111



1
n个1
＝
1
9
(10
1
1)
1
9
(10
2
1)
1
9
(10
3
1) 
1
9
(10
n
1)

（分组求和）
＝
1
9
(10
1
10
2< br>10
3
10
n
)
1
9
(1< br>


1

1



 



1)

n个1
＝
110(10
n
1)
9

101

n
9

＝
1
81
(10
n1
109n)

[
例
16] 已知数列{a
8

n
}：
a
n

(n1)(n3)
,求

(n1)(a
n
a
n1
)
的值.
n1
解：∵
(n 1)(a
1
n
a
n1
)8(n1)[
(n1)( n3)

1
(n2)(n4)
]

（找通项及特征）
＝
8[
1
(n2)(n4)

1
(n3)(n4)
]

（设制分组）
＝
4(
1
n2

111
n4
)8(
n3

n4
)

（裂项）


∴
(n1)(aa
1

n

n1
)4
1
)8
n1

(
n1
n2n4

(
1

1
)

（分组、裂项求和）

n1
n3n4
＝4(
11
3

4
)8
1
4


8

＝
13
3


提高练习：

1．已知数列

a
n

中，
S
n
是其前
n
项和 ，并且
S
n1
4a
n
2(n1,2,),a
11
，
⑴设数列
b
n

a
n1

2a
n
(n

1,2,

)
，求证：数 列

b
n

是等比数列；
⑵设数列
c
a
n
n

2
n
,(
n
1,2,
 
)
，求证：数列

c
n

是等差数列；







2．设二次方程
a
2
n
x-
a
n
+1
x
+1=0(n∈N )有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用
a
n
表示a
n1
；








3．数列

a中，
a
*
n

1
8,a
4
2且满足
a
n2
2a
n1
a
n

nN

⑴求数列

a
n

的通项公式；
⑵设
S
n
|a
1
||a
2
||a
n
|
，求
S
n
；


9