李克勤的歌-笔阵图

一、数列通项公式的求法
（1）已知数列的前
n
项和
Sn
,求通项
a
n
；
（2）数学归纳法：先猜后证;
（3）叠加法(迭加法)：
a
n
(a
n
a
n1
)(a
n1
a
n2
)L(a
2
a
1
)a
1
；
叠乘法(迭乘法)：
a
n
aaaa
a

n

n1

n2

3

2
.
a
1
a
n1
a
n2
a
n3
a
2
a
1
【叠加法主要应用于数列
{a
n
}
满足
a
n1
a
n
f(n )
，其中
f(n)
是等差数列或等比数列的条件下，可
把这个式子变成
a
n1
a
n
f(n)
，代入各项，得到一系列式子，把所有 的式子加到一起，经过整理，
可求出
a
n
，从而求出
s
n< br>】
n
（4）构造法(待定系数法):形如
a
n
ka
n1
b
、
a
n
ka
n1
b
（
k,b
为常数）的递推数列；
【用构造法求数列的通项或前
n
项和 ：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列
的通项的特征，构造出我们熟知的基本数 列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前
n
项和.】
（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①
a
1
=a,a
n+1
a
n
f(n)型，其中
f(n)
是可以和数列，用累加法求通项公式，即
a
n
f(n1)f(n2……f(2)f(1)a
1

类型1：
a
n1
a
n
f(n)

思 路（叠加法）
a
n
a
n1
f(n1)
，依次类推有 ：
a
n1
a
n2
f(n2)
、
a
n2
a
n3
f(n3)
、…、
a
2
 a
1
f(1)
，将各式叠加并整理得
a
n
a
1


f(n)
，即
a
n
a
1


f(n)

i1i1
n1n1
例题1：已知a
1
1
，
a
n
a
n1
n，求
a
n

解：∵
a
n
a
n1
n
∴
a< br>n
a
n1
n
，依次类推有：
a
n1
a
n2
n1、a
n2
a
n3
n2、…a
2
a
1
2

∴将各式叠加并整理得
a
n
a
1

类型2：
a
n1
pa
n< br>f(n)

n
思路（转化法）
a
n
pa
n1
f(n1)
，递推式两边同时除以
p
得

n，
a
n
a
1


n

n 
i2i2i1
nnn
n(n1)

2
a
n
a
n
a
n1
f(n1)
b
n
，，我们令
p
n
p
n
p
n1
p
n
那么问题就可以转化为类型一进行求解了.
n1
例题： 已知
a
12
，
a
n1
4a
n
2
，求
a
n

解：∵
a
n1
4a
n
2
n1
aa
n1

1

∴
a
n
4a
n1
2
，则
n

n1


，
n
44

2

n
na

1

∵令
n
，则
b
bb< br>n
nn1

，依此类推有
b
n1
b
n2
n
4

2

n

1



2

n1
1

、
b
n2
b
n3




2

n2
1

、…、
b
2
b
1



2

2

nnnn< br>nnn

1

11111

∴各式叠 加得
b
n
b
1



，即
b
n
b
1





< br>


1


2
i2

2

2

i2

2

i2

2

i1

2

n
n


1

n

∴
a
n
4b
n
4

1


4
n
 2
n




2



nn
②
a
1
=a,a
n+1
a
n
f( n)
型，其中
f(n)
是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即
a
n
f(n1)f(n2)……f(2)f(1)a
1

类型3：
a
n1
f(n)a
n

思路（叠乘法 ）：
a
n
aa
a
f(n1)
，依次类推有：
n 1
f(n2)
、
n2
f(n3)
、…、
2f(1)
，
a
n1
a
n2
a
n3< br>a
1
a
n
f(1)f(2)f(3)
…
f (n2)f(n1)
，即
a
n
f(1)f(2)f(3)…
a
1
将各式叠乘并整理得
f(n2)f(n1)a
1

例题：已知
a
1
1
，
a
n

解：∵
a
n

∴
n1
a
n1
，求
a
n
.
n1
n1
a
n1

n1
a
n
aa
n1n2
a
n2
n 32
a
1

，依次类推有：
n1

、、…、
3

、
2


a
n1
n1a
n2
na
n3
n1a
2
4a
1
3< br>∵
a
1
1

∴将各式叠乘并整理得
a
n< br>n1n2n3
21
n1n2n3

…

，即
a
n

…
a
1
n1nn1
43n1nn1
212


43n(n1)
③< br>a
1
=a,a
n+1
pa
n
q
型（其中
p、q
是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即
a
n1
qqq
p(a
n
)
，设
b
n
 a
n

，则
b
n1
pb
n
.利用②的 方法求出
b
n
进而求出
a
n

1p1p1p
类型4：
a
n1
pa
n
q
（其中
p 、q
是常数）
当
p1
时，数列
{a
n
}
是等差数列；当
p0,q0
时，数列
{a
n
}
是等比 数列；
当
p0
且
p1,q0
时，可以将递推关系转化为a
n1


qq

q

,则数列
p

a
n
a

是以

n
p1

p1

p1

a
1

q
为首项，
p
为公比的等比数列.
p1

思路（构造法）：设
a
n1


p

a< br>n



，即


p1

q
得


q
，数列

a
n



是以
a
1


为
p1首项、
p
为公比的等比数列，则
a
n


q q

n1
q

n1
q
，即


a
1
paap

1

n
p 1

p1

p1

1p

例题： 已知数列

a
n

满足
a
n
2a
n1
3
且
a
1
1
，求数列

a< br>n

的通项公式
解：设
a
n1

2

a
n



，即

 3

∵
a
1
1

∴数列

a< br>n
3

是以
a
1
34
为首项、
2
为公比的等比数列
n1n1n1
∴
a
n
3 422
，即
a
n
23

n
1
 
④
a
1
=a,a
n+1
pa
n
q< br>型,其中
p、q
是常数且
q0,q1
，
n
n1
a
q
a
n
p
a
n
1p1
bb b
,设，则
nn1n
qq
n
qq
n
qq< br>即化为③.
n
类型5：
a
n+1
pa
n
rq
< br>p





q

a
n 1

a
n


qp

n1
思 路（构造法）：
a
n
pa
n1
rq
，设
n< br>




n1



，则

，从而解得


nn1

1qrq
r
qq







pq

那么


a
n
a
1
rp
r


是以为首项，为公比的等比数列


n
qpqq
pq

q
n1
例题：已知< br>a
1
1
，
a
n
a
n1
2
，求
a
n
。
解：∵设
a
n

a
n1





2
n1
2< br>n

1







2

1

2



，则
，解得，

nn1
1









1

22
< br>3

n1
a
n
11

1

1111

a
1



n

 
是以为首项，为公比的等比数列，即



n
n< br>2
236
236

2


23
< br>⑤
a
n+1

2
n
1
a
n

3
a
n
型，其中
p、q
是常数且
a
n
0
，可以采用等式两边取倒数.
pa
n
q
ca
n
(c0)

pa< br>n
d
类型6：
a
n1


思路（转 化法）：对递推式两边取倒数得
问题就可以进行求解了.
例题：已知
a
1< br>4
，
a
n1

pad
11d1p1

n

，令
b
n

，这样，，那么
a< br>n1
ca
n
a
n1
ca
n
ca
n
2a
n
，求
a
n

2a
n
1
2a1
1111

n
1
， 即
an1
2a
n
a
n1
2a
n
解：∵对递推式 左右两边取倒数得
∴令
1
11
b
n
则
b
n1
b
n
1
.设
b
n1



b
n



，即

 2

a
n
22
2
n2
7
1717
数列

b
n
2

是以
2< br>为首项、为公比的等比数列，则
b
n
2
n1
，即b
n

，
n1
2
2
442
2
n1
a
n

n2

27
类型7：
a
n1

aa
n
b
(c0、adbc0)< br>
ca
n
d
axb
2
即
cx(d a)xb0
.当特征方程有两个
cxd



1< br>

1
相等实根
x
1
x
2

时，数列

即

为等差数列，我们可设


ad

a
n




a
n


2c

11
；当特征方程有两个不等实根
x
1
、
x
2
时，


（
< br>为待定系数，可利用
a
1
、
a
2
求得）
a dad
a
n1
a
n

2c2c
思路（特征根 法）：递推式对应的特征方程为
x
数列


a
n
x
1

a
n
x
1

a
1x
1

n1
a
1
x
1
是以为首 项的等比数列，我们可设






（

为待定系数，
a
1
x
2
a
n
x2

a
1
x
2


a
n< br>x
2

可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列

a
n

通项的讨论方法与上同理，此处
暂不作讨论.
例题：已知
a
1

4a
n1
3
1
，
a
n

（
n2
），求
a
n
< br>a
n1
2
2
解：∵当
n2
时，递推式对应的特 征方程为
x
4x3
2
即
x2x30
，解得
x
1
1
、
x
2
3

x2

a1

a
1
x
1
2

数 列

n
1
为首项的等比数列 是以

ax2a3
12

n


∵设
a
n< br>1
1


1



n1，由
a
1

得
a
2
2
则
 3

，
a
n
3
2

1
, n1
n

a
n
1
31

2


1

3
n1
，从而
a
n

n1
，
a
n


n



3
，即
a
n
3
31

3 1
,n2

3
n1
1

二、数列求和的几 种常见方法
数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良 好素
材，是历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数
列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨.
1、公式求和法
通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数 列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式
求和，或者利用前
n
个正整数和的计算公 式等直接求和.运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的
应用范围，确定公式适用于这个数列之后， 再计算.特别地，注意数列是等比数列时需要讨论
q1
和
q1
的情况.
⑴等差数列求和公式：
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)
na
1
d

22(q1)

na
1

n
⑵等比数列求和公式：
S
n


a
1
(1q)
a
1
a
n
q

(q1)

1q

1 q
另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前
n
项和公式.正整数和公式有：
n

k
k1
n
n(n1)
；
2

k
2

k1
n(n1)(2n1)
6
；
k
k1
n
3
[
n(n1)
2

]
2
2

例1、已知数列

f

n

的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
n2n.
若
a
1
f

1

,
a
n1
f

a
n

nN
,求数

列

a
n

的前
n
项和
T
n
.


分析：根据数列的项和前
n
项和的关系入手求出
f

n

,
再根据
a
n1
f

a
n

（
n
N
)求出数列

a
n

的
通项公式后，确定数列的特点，根据 公式解决.
f

n

2n1

nN

，
a
1
f

1

3 ,
a
n1
2a
n
1

nN

，即
a
n1
12(a
n
1)
∴数列

a
n
1

是首项为4、公比为2的等比数列 .
n1n1n1
解：∵当
n2
时，
f

n

S
n
S
n1
2n1.
当
n 1
时，
f

1

S
1
3,
适合上式
2,a
n
21
nN
；
T
n< br>222n2n4.
∴
a
n
1

a
1
1

2
【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或 可转化为等差、等比数列的数列的求和，一些综合
性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列 或等比数列的求和问题.

23n1n2


变式训练1： 已知
log< br>3
x
1
23n
，求
xxxx的前
n
项和.
log
2
3

*
变式训练2： 设
s
n
12…n(nN)
,求
f(n)
S
n
的最大 值.
(n32)S
n1
2、倒序相加法
如果一个数列
{a< br>n
}
，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，可采用把正着写
与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法.我们在学知识时，
不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等
S< br>n
a
1
a
2
……a
n1
an

差数列前
n
项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”.

则
S
n
a
n
a
n1
……a2
a
1


2S
n


a
1
a
n



a
2
a
n1

…

a
1
a
n

…

例2、已知函数
F

x


3x 2

1

1

2

2008


x

.
求
F

F
 
F

.

2x1

2

2

分析：由所求的和式的特点，易想到探究：和为1的两个自变量函数值的和是 否为常数.从而确定可否
用倒序相加法求和.
【解析】∵
F

x< br>
F

1x


3x23

1x

2
3.

2x12

1x
1

2008

F


2009

2008

2007

1
F
L
F

.
①
SF

②

2009

2009

2009

+ ②得
∴设
SF

∴

1

2009

2

F


2009
①


1



2008

20 08



2

2007



1


2S

F

F




F

F


 

F

F


2










320086024
,所以
S3012.

【能力提升】倒 序相加法来源于课本，是等差数列前项和公司推导时所运用的方法，它是一种重要的
求和方法.当求一个 数列的有限项和时，若是“与首末两端等距离”的两项和都相等，即可用此法.
x
2
例3：已知
f(x)
，则
f(1)f(2)
1x
2
2

1

f

f(3)

2


1

f

f(4)

3

1

f




4


1


2
xx
2
1
x


1


解：∵由
f(x)f

1
2
222

x

1x

1

1x1x
1


x


∴原式
f(1)

f(2)f




f(3)f




f(4) f






1


2


2

1



3


2

1



4



11
1113

22
变式训练1： 求
sin1sin2sin3sin88sin89
的值


222

变式训练2：如已知函数f(x)对任意x ∈R都有
f(x)f(1x)
11
，
S
n
f(0) f()

2n
23n2n1
*
（
nN
） ，求
S
n

f()f()
+…
f()f()
f(1)
，
nnnn


变式训练3：已知
x
2
f(x)
1x
2
，那么
111
f(1)f(2)f(2008)f ()f()f()
_____
232008

3、裂项相消法 < br>裂项相消法是将数列的各项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的
前
n
项和. 一般地，我们把数列的通项分成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从 而求
得其和.适用于类似


c


（其中

a
n

是各项不为
0
的等差数列，
c
为常数）的数列，以及部分无

a
n
a
n1

1 111
()
n(nk)knnk
理数列和含阶乘的数列等.用裂项法求和，需 要掌握一些常见的裂项方法：
11

11





(2n1)(2n1)2

2n12n1

； ；
1
nn1
n1n
；
例4：

a< br>n

是公差为
d
的等差数列，求
1

aa
k1
kk1
n
解：∵
∴
111
11






d0


a
k
·a
k1
a
k

a
k
d

d

a
k
a
k1
n
1

11



111

11

1


11


11
1







… …

















daa
a< br>k1

d


a
1
a
2


a
2
a
3

aa
k1
a< br>k
a
k1
k1
d

a
k
n1

1
n1



n
n
例5、 数列
23

a
n

n
满足
552
a
1
1,a
2
,a
n2
a
n1
a
n

333

nN


，求
2

2

2

2

3

3

3

3
T
n


.

a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
4
a
n
a
n1

2



3

的特点拆项解 决. 分析：根据给出的递推式求出数列

a
n

，再根据
a
n
a
n1
n

解：∵由已知条件，得
a< br>n2
a
n1

2

a
n1
a
n

，


a
n1
a
n

是以
a
2
a
1

2
为首项，
2
为公比
3
33

2

的等比数列，故< br>a
n1
a
n


,

3

2

2

2

∴
a< br>n
a
1


a
2
a
1



a
3
a
2


L


a
n
a
n1

1
< br>
L


3

3

3


2


∴


3


a
n
a
n1
n
n
2n1


2

n

3

1

< br>.




3



n< br>

2




1

11

3



nn1
nn1

3


2



2



2

2


11
3

1


3

1





3
33

3

 


23n


2
2

2

2


1

111111
∴
3

3

3

3



3

.

T
n

L

L

2nn1n1
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
4
a
n
a
n1
3

1
2
2

2

2


3


2


1

1


3
1


1


333

3


【能力提升】用裂项相消法求和的关键是先将形 式复杂的式子转化为两个式子的差的形式因此需要掌
握一些常见的裂项技巧.
变式训练1：在 数列
{a
n
}
中，
a
n

的和.
2
12n
，又
b
n

，求数列

bn

的前
n
项

a
n
a
n1
n1n1n1
111


L
12123123
L
n
1111

变式 训练3：求和：.
213243n1n
变式训练:2：求和：
s1< br>4、错位相减法
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式 .即若在（差比
数列）
{a
n
b
n
}
中，
{a
n
}
成等差数列，
{b
n
}
成等比数列，在 和式的两边同乘以公比，再与原式错位相
减整理后即可以求出前
n
项和.
2 3n1
例题：
S
n
12x3x4x……nx
①
②
x·S
n
x2x
2
3x
34x
4
……

n1

x
n1
nx
n

2n1n
①—②

1x
S
n
1xx……xnx

当
x1
时，< br>S
n
1x

nx


n
n
1x

2
1x
，当
x1
时，
S
n
123……n
n

n1

< br>2
【能力提升】错位相减法适用于数列

a
n
b
n< br>
，其中

a
n

是等差数列，

b
n

是等比数列.若等比数列

b
n

中公比
q
未知，则需要对公比
q
分
q1和q1
两种情况 进行分类讨论.
例6、已知数列

a
n

是首项为
a
1

11
,
公比为
q
的等比数列，设
b
n
23log
1
a
n

nN


，数
44
4

列

c
n< br>
满足
c
n
a
n
b
n
.
求数列

c
n

的前
n
项和
S
n
.

分析：根据等比数列的性质可以知道数列

b
n
为等差数列，这样数列

c
n

就是一个等差数列与 一个等
比数列对应项的乘积构成的数列，因而可考虑用错位相减法来解决.
n
1


解：∵由题意知，
a
n


nN
，又
b
n
3log
1
a
n
2
，故
b
n
3n2
nN
.

4
4


1


∴
c
n


3n2



nN


4

n

1

1

1< br>
1

∴
S
n
14

7


L


3n5



4

4

4

4

2 34
23n1

1



3n2
< br>



4

nn1
n
1
1

1

1

1

1

∴
S
n
1

4
7


L


3n5

< br>


3n2



4
< br>4

4

4

4

4

23nn1n1

31


1

1

1111

∵两式相减,得
S
n
3






< br>

3n2





3n 2



.

44

2
< br>4



4

4



4

4


23n2

1

S
n



nN


.
33

4

23n1
变式训练1、求
Sn
12x3x4x……nx

n

n
变式训练2、若数列
{a
n
}
的通项
a
n
(2n1)3
，求此数列的前
n
项和
S
n
.
变式训练3、 求数列
2462n
,
2
,
3
, ,
n
,
前
n
项的和.
2
222
5、（分组）拆项求和法（裂项重组法）
所谓裂项重组法就是针对 一些特殊的数列，既不是等差数列，也不是等比数列的数列，我们可以
通过拆分、合并、分组，将所求和 转化为等差、等比数列求和
n
例7、已知数列

a
n
< br>的通项公式为
a
n
23n1,
求数列

an

的前
n
项和.
分析：该数列的通项是由一个等比数列
2
等比数列与一个等差数列进行分组求和. < br>
与一个等差数列

3n1

组成的，所以可将其转化为 一个
n
12n
【解析】
S
n
a
1
a< br>2
a
n
222523n1

 
212
n
n

2

3n1


=

222



2 5

3n1


.
=
122
1 2n

=
2
n1
31
n
2
n2 .

22
【能力提升】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几 项的和，而这些项分别
构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方法求和.
例8、数列

a
n

的前
n
项和是
S
n
nN

，若数列

a

的各项按如下规则 排列：

n

使
S
k
10,Sk1
10
，则
a
k

. ,,,,,,,,,,,,
若存在自然数
k

kN


，
23344455556
分析：数列的构成规律是分母为2的一项，分母为3的 两项，分母为4的三项，···，故这个数列的和
可以并项求解.
解：
S
1

1112331231234
,S
3
,S6
3,S
10
35

2232245
1 23451512345621
S
15
5,
而
3,
这样
S
21
10
,而
6272
15 12345151515555
S
20
10,
故a
k

，故填
.

77
272722
【能力提升】当一个数列连续的几项之间具有明显的规律性，特别是一些正负相间或者是周期性的数
列等 ，可以考虑用并项求和的方法.
变式训练1：求和：
2536+47+……+n(n+3)



1+2+2+…+2
变式训练2：求数列
1,1+2,1+2+2，…，



变式训练3：求数列
{n(n1)(2n1)}
的前
n
项和.



22n1
…
的前
n
项和 一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数
列有 关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.高考数学试题中所涉及的数列求和
问题往 往具有一定的技巧性，需要考生具有很强的分析问题、解决问题的能力才能解决，但是基本的
求和方法就 是上面介绍的这些.希望广大考生熟练掌握，灵活适用.
三、数列的综合应用
⑴求解等差、 等比数列的综合问题的基本途径是：应用等差数列和等比数列的基本量（首项、公差、
或公比、通项、前
n
项和）表示数列中的项，适时地应用它们的基本性质求解.此外，应该熟悉等差数
列 与等比数列的递推公式.
⑵数列与函数、数列与不等式的综合问题主要是：由函数的解析式得到的数列 递推公式，转化为等差
数列或等比数列进行求解.
⑶数列的应用问题：一般地，涉及递增率通 常用到等比数列；涉及依次增加或减少要用到等差数列；

复利和分期付款问题，用等比数 列解决.