快提-王凝之

平面向量公式
设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压
缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜ 0）上缩短为原来
的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB= b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记

作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=| a|•|b|•cos
〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的数量积的运算律
a•b=b•a（交换律）；
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向 量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积

定义：两个向 量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，
则a×b的模是：∣a× b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b
按这个 次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向
量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)(1+λ),
y=(y1+λy2)(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则ab的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
ab的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a•b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.



平面向量易错点
湖南 周友良 周芬
在平面向量的复习中，首先要 掌握其基本概念与运算．如果不能正确理解向量的基础知
识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识 ，就会造成一些表面看起来正确而实际上错
误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下，望同学们引起 注意．
一、对两向量夹角的定义理解不清而致错
例１ 在边长为1的正三角形ABC
中，求
ABBCBCCACAAB
的值．

错解：< br>ABBCBCCACAABABBCcos60BCCAcos60CAABcos60



1113

．
2222

分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合．向量
AB
与
BC
，
BC
与
CA
，
CA
与
AB
的夹角通过平移后发现都 不是60°，而是120°．这是由于对两向量夹角的定义理解不
透造成的．

正解：
ABBCBCCACAABABBCcos120BCCAcos120CAABco s120






1

1

1

3


．
222

2
注意：向量
a
与
b
的 夹角为锐角的充要条件是
ab>
且
a
与
b
不共线．这里，
a
与
b
不
共线不能忽略．
二、对向量的数量积理解不透彻而致错
例2 向量
a
、
b
都是 非零向量，且向量
a+3b
与
7ab
垂直，
a4b
与
7ab
垂
直，求
a
与
b
的夹角．
错解：由题意，得
(a+3b)(7ab)0
，①

(ab)(7ab)
，②



将①、②展开并相减，得
46ab=b
，③
∵
b
，故< br>a=
2
1
b
，④
2
22

将④代入②，得
ab
，
则
ab
，
1

b
ab1
设
a
与
b
夹角 为

，则
cos


2
2

．
ab2
b
∵
0≤

≤180
，∴

60
．


分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把< br>数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．由于向量的数量积不满足消去律，所以即使

b
，也不能随便约去．
正解：设向量
a
、
b
的夹角为

，由上面解法有
2ab=b
，代入①式、②式均可得
2
a
2
b
2
，则
ab
，
∴
cos




ab1

．
ab2
又∵
0≤

≤
，∴

60
．
三、混淆点的坐标与向量的坐标而致错
，2)
，
B(3，5)
，
C(5，2)
． 例3 判断
△ABC
的形状：
A(1

错解：∵
1(3)(2)5130
，
1(5) (2)290
，
(3)(5)52250
，

∴
△ABC
为钝角三角形．
分析：把点的坐标误认为向量的坐标， 得出错误的结论．事实上，由点的坐标可以确定
有关向量的坐标，再通过计算向量的数量积，精确判断出 三角形的形状．

4)
，
CB(2，3)
， 正解：
CA(6，

∵
CACB62(4)30
，∴
CA⊥CB
．
故
△ABC
为直角三角形．
总之，对平面向量基本概念的理解要正确、全面、到 位，除上面分析的几个易错点外，
还要注意向量垂直的概念是针对两非零向量而言的，明确向量平行与线 段平行的区别等问
题．复习时要从正反两方面透彻分析，达到从本质上把握的目的．