我表妹-踮起脚尖

数列求和的基本方法和技巧
一、总论：数列求和7种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
分段求和法（合并法求和）
利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减
法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定
的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)< br>na
1
d

22
(q1)

n a
1

n
2、等比数列求和公式：
S
n


a
1
(1q)
a
1
a
n
q

(q1)

1q

1q
n
11
2
3、
S
n


kn(n1)
4、
S
n


kn(n1)(2n1)

2
6
k1
k1
n
5、
S
n

1
3
k[n(n1)]
2
< br>
2
k1
1
23n
，求
xxxx 
的前n项和.
log
2
3
11
log
3
xlog
3
2x

log
2
32
n
[
例
1] 已知
log
3
x
解：由
log
3
x

23n
由等比数列求和公式得
S
n
xxxx

（利用常用公式）

11
(1)
n
x(1x
n
)
2
2
＝1－
1
＝＝
1
1x
2
n
1
2

资料来源QQ群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料

[
例
2] 设S
n
＝1+2+3+…+n，n∈N
*
,求
f(n)
S
n
的最大值.
(n32)S
n1
解：由等差数列求和公式得
S
n

∴
f(n)
11
n(n1)
，
S
n
(n1)(n2)

（利用常用公式）

22
S
n
n
＝
2

(n32)S
n1
n34n64
＝
1
n34
64
n
＝
(n
1
8n

)
2
50
1

50
∴ 当

n
8
1
，即n＝8时，
f(n)
ma x


50
8
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比 数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a
n
· b
n
}的前n
项和，其中{ a
n
}、{ b
n
}分别是等差数列和等比数列.
23n1
[
例
3] 求和：
S< br>n
13x5x7x(2n1)x
………………………①
解：由题可知，{
(2n1)x
n1
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等 比数列{
x
n1
}的通项之积
234n
设
xS
n
1x3x5x7x(2n1)x
………………………. ②
（设制错位）

234n1n
①－②得
(1x)S
n
12x2x2x2x2x(2n1)x

（错位相减
）
1x
n1
(2n1)x
n
再利用等比数列的求和公式得：
(1x)S
n
12x
1x
(2n1)x
n1
(2n1)x
n
(1x)
∴
S
n


(1x)
2
[
例
4] 求数列
2462n
,2
,
3
,,
n
,
前n项的和.
2
222
2n1
解：由题可知，{
n
}的通项是等差数列{2n}的 通项与等比数列{
n
}的通项之积
2
2

2462n

2

3

n
………………… ………………①
2
222
12462n
S
n

2

3

4

n1
………………………… ……②
（设制错位）

2
2222
122 2222n
①－②得
(1)S
n

2

3
4

n

n1

（错位相减
）
22
22222
12n

2
n1

n1

22
n2
∴
S
n
4
n1

2
设
S
n

三、反序相加法求和
这是推导等差数 列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原
数列相加，就可以得 到n个
(a
1
a
n
)
.
012nn
[
例
5] 求证：
C
n
3C
n
5C
n
(2n1)C
n
(n1)2

012n
证明： 设
S
n
C
n
3C
n
5C
n
(2n1)C
n
………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
nn110
S
n
( 2n1)C
n
(2n1)C
n
3C
n
C
n

（反序）

mnm
又由
C
n
C
n
可得
01n1n

S
n
(2n1)C
n(2n1)C
n
3C
n
C
n
………… ..…….. ②
01n1nn
①+②得
2S
n
( 2n2)(C
n
C
n
C
n
C
n< br>)2(n1)2

（反序相加）

n
∴
S
n
(n1)2
资料来源QQ群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”
回复任意内容获取资料

[
例
6] 求
sin1sin2sin3sin88sin89
的值
解：设< br>Ssin1sin2sin3sin88sin89
…………. ①
将①式右边反序得

Ssin89sin88sin3sin2sin1
…………..②
（反序）

又因为
sinxcos(90x),sinxcosx1

①+②得
（反序相加）

22
22222
22222
22222
2S(sin
2
1

cos2
1

)(sin
2
2

cos
2
2

)(sin
2
89

cos< br>2
89

)
＝89
∴ S＝44.5

题1 已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，



两式相加得：

所以

.
练习、求值：


四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其 合并即可.
[
例
7] 求数列的前n项和：
11,
111
4,
2
7,,
n1
3n2
，…
aaa
111
解：设
S
n
(11)(4)(
2
7)(
n1
3n2)

a
aa
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
(1
111

2

n1
)(1473n 2)

（分组）

a
a a
(3n1)n(3n1)n
当a＝1时，
S
n
n
＝
（分组求和）

22

1
n
(3n1)n
aa
1n
(3n1)n
a

当
a1
时，
S
n

＝

1
a12
2
1
a
1
[
例
8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
32
解：设
a
k
k(k1)(2k1)2k3kk

∴
S
n


k(k1)(2k1)
＝

(2k
k1
k1
n
n
3
3k
2
k)

将其每一项拆开再重新组合得
S
n
＝
2

k1
3
n
k3

k

k

（分组）

32
k1k1
33222
nn
＝< br>2(12n)3(12n)(12n)

n
2
(n1)
2
n(n1)(2n1)n(n1)

＝
（分组求和）

222
n(n1)
2
(n2)
＝
2

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后
重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解
（裂项）
如：
sin1


tan(n 1)tann
（1）
a
n
f(n1)f(n)
（2）

cosncos(n1)
(2n)
2
111
111
1()


（3）
a
n

（4）
a
n

(2n1)(2n1)22n12n1
n(n 1)nn1
（5）
a
n

1111
[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
n212(n1)n11 11

n

n
,则S1

n
n (n1)
2
n(n1)
2n2
n1
(n1)2
n
(n1)2
n
(6)
a
n

（7）
a
n

1111
()

(AnB)(AnC)CB AnBAnC
1
nn1
n1n
（8）
a
n


[
例
9] 求数列
1
12
,
1
23
1
,,
1
nn1
,
的前n 项和.
解：设
a
n

nn1
1

 n1n

（裂项）

1
nn1
则
S
n

1
2312


（裂项求和）

＝
(21)(32)(n1n)

＝
n11

[
例
10] 在数列{a
n
}中，
a
n

解： ∵
an

2
12n
，又
b
n

，求数列{ b
n
}的前n项的和.

a
n
a
n 1
n1n1n1
12nn


n1n1n12
211
∴
b
n
8()

（裂项）

nn1
nn1

22
∴ 数列{b
n
}的前n项和
11
22
1
＝
8(1)
＝
n1

S
n
8[(1 )()()(
11
33
8n

n1
1
4
11
)]

（裂项求和）

nn1
111cos1


[
例
11] 求证：
2
cos0cos1cos 1cos2cos88cos89sin1
解：设
S
111

 
cos0

cos1

cos1

cos 2

cos88

cos89

sin1


tan(n1)tann
∵
（裂项）


cosncos(n1)
111


（裂项求和）

cos0

cos1

cos1< br>
cos2

cos88

cos89

1
{(tan1

tan0

)(tan2

 tan1

)(tan3

tan2

)[tan8 9

tan88

]}
＝

sin1
∴
S
cos1

11

(tan89tan0)
＝
cot1
＝
2
＝
sin1
sin1

sin1

∴ 原等式成立

答案：


六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的 性质，因此，在求数列的和时，可将这
些项放在一起先求和，然后再求S
n
.
[
例
12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S
n
＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵
cosncos(180n)

（找特殊性质项）

∴S
n
＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90°
（合并求和）

＝ 0
[
例
13] 数列{a
n
}：
a
1
1 ,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1a
n
，求S
2002
.
解：设S
2002
＝
a
1
a
2
a
3
a
200 2

由
a
1
1,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1
a
n
可得

a
4
1,a
5
3,a
6
2,

a
7
1,a
8
3,a
9
2,a
10
1,a
11
3,a
12
2,

……
a
6k1
1,a
6k2
3,a
6k3
 2,a
6k4
1,a
6k5
3,a
6k6
 2

∵
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4
a
6k5
a
6k6
0

（找特殊性质项）

∴ S2002
＝
a
1
a
2
a
3
 a
2002

（合并求和）

＝
(a
1a
2
a
3
a
6
)(a
7
a
8
a
12
)(a
6k1
a< br>6k2
a
6k6
)

(a
1993
a
1994
a
1998
)a
199 9
a
2000
a
2001
a
2002
＝
a
1999
a
2000
a
2001
a
2002

＝
a
6k1
a
6k2
 a
6k3
a
6k4

＝5
[
例
14] 在各项均为正数的等比数列中，若
a
5
a< br>6
9,求log
3
a
1
log
3
a2
log
3
a
10
的值.
解：设
S
n
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10

由等比数列的性质 mnpqa
m
a
n
a
p
a
q

（找特殊性质项）

和对数的运算性质
log
a
Mlog
a
Nloga
MN
得
S
n
(log
3
a
1
log
3
a
10
)(log
3
a
2
log
3
a
9
)(log
3
a5
log
3
a
6
)

（合并求和）

＝
(log
3
a
1
a
10
)(log
3
a
2
a
9
) (log
3
a
5
a
6
)

＝
log
3
9log
3
9log
3
9

＝10




七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后 再利用数列的通项揭示的规律来
求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[
例
15] 求
1111111111
之和.



n个1
解：由于
111



1
k个1
11
9999(10
k
1)

（找通项及特征）


99
k个1
n个1
∴
1111111111




＝< br>1
1
111
(101)(10
2
1)(10
3
1)(10
n
1)

（分组求和）

9999
1
1
1
(10102
10
3
10
n
)(1

1

1

1)


99
n个1
＝

110(10
n
1)n

＝

91019
＝
1
(10
n1
109n)
资料来源Q Q群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复
81
任意内容获取资料

8
,求

(n1)(a
n
a
n1
)的值. [
例
16] 已知数列{a
n
}：
a
n
(n1)(n3)
n1
解：∵
(n1)(a
na
n1
)8(n1)[
11
]

（找通项及特征）

(n1)(n3)(n2)(n4)
＝
8[
11
]

（设制分组）

(n2)(n4)(n3)(n4)
＝
4(

1111
)8()

（裂项）

n2n4n3n4

1111
)8

()

（分组、裂项求和）
∴

(n 1)(a
n
a
n1
)4

(
n4n4
n1n1
n2
n1
n3
＝
4(
＝

1
3
11
)8

44
13

3
提高练习：

1．已知数列

a
n

中，
S
n
是其前
n
项和 ，并且
S
n1
4a
n
2(n1,2,L),a
1< br>1
，
⑴设数列
b
n
a
n1
2a< br>n
(n1,2,)
，求证：数列

b
n
是等比数列；
⑵设数列
c
n

a
n
,(n 1,2,)
，求证：数列

c
n

是等差数列；
2
n







2
2．设二次方程
a
n
x-
a
n
+1
x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用
a
n
表示a
n1
；

*
3．数列

a
n

中，
a
1
8,a< br>4
2
且满足
a
n2
2a
n1
a< br>n

nN

⑴求数列

a
n

的通项公式；
⑵设
S
n
|a
1
||a
2
||a
n
|
，求
S
n
；