等差数列前n项和的公式教案
软文技巧-中餐服务培训
《等差数列前n项和的公式》教案
陕西省丹同中学
教学目标
A、知识目标：
掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。
B、能力目标：
（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、
联想、
归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特
殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过
观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培
养学生类比思维能力。
（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，
提高学生分
析问题和解决问题的能力。
C、情感目标：（数学文化价值）
（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的
熏陶。
（2）通过公式的运用，树立学生大众教学的思想意识。
（3）通过生动具体的现实问题，令人着
迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树
立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验
，产生热爱数学的情感。
教学重点：等差数列前n项和的公式。
教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。
教学方法：启发、讨论、引导式。
1 7
教具：现代教育多媒体技术。
教学过程
一、创设情景，导入新课。
师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质
，今天要进一步
研究等差数列的前n项和公式。提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯神
速求和的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题：把从1到100
的自然
数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非
常吃惊，那么高斯
是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计
算，那你们就是二十世纪末的新高
斯。（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。
我们来看这样一道一例题。
例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言
解答。
生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。
生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成
S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10个
所以我们得到S=55，
即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似。
2 7
理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，
有50个101，所以
1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下
，上面的方法用到等差数列的哪一个性
质呢？
生3：数列{a
n
}是等
差数列，若m+n=p+q，则am+an=a
p
+a
q
.
二、教授新课（尝试推导）
师：如果已知等差数列的首项a
1
，项数为n，第n
项a
n
，根据等差数列的性质，如何来
导出它的前n项和Sn计算公式呢？根据上面的
例子同学们自己完成推导，并请一位学生板
演。
生4：Sn=a
1
+a
2
+......a
n-1
+a
n
也可写成
Sn=a
n
+a
n-1
+......a
2
+a
1
两式相加得2Sn=（a
1
+a
n
)+(a
2
+a
n-1
)+......(a
n
+a
1
)
n个
=n(a
1
+a
n
)
所以Sn=(I)
师：好！如果已知等差数列的首项为a
1
，公差为d，项数为n，则a
n
=a
1
+(n-1)d代入公
式(1)得
Sn=na
1
+
d(II)
上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式（I）是基本的
，我们
可以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的
首项a
1
，下底是第n项a
n
，高是项数n。引导学生总结：这些公式中出
现了几个量？（a
1
，d，
3 7
n，a
n，S
n），它们由哪几个关系联系？[an=a1+(n-1)d，Sn==na1+ d]；这些量中有几个可自由
变化？（三个）从而了解到：只要
知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式（I）
和（II）的一些应用。
三、公式的应用（通过实例演练，形成技能）。
1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例2、计算：
（1）1+2+3+......+n
（2）1+3+5+......+(2n-1)
（3）2+4+6+......+2n
（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
请同学们先完成（1）-（3），并请一位同学回答。
生5：直接利用等差数列求和公式（I），得
（1）1+2+3+......+n=
（2）1+3+5+......+(2n-1)=
（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)
师：第（4）小题数列共有几项？是否
为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，
那应如何解答？小组讨论后，让学生发言解答。
生6：（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等
差数列，所以
4 7
原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
2-n(n+1)=-n
=n
生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n个
师：很好！在解题时我
们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用
Sn公式时，要看清等差数列的项数，否
则会引起错解。
例3、（1）数列{a
n
}是公差d=-2的等差数列，如果a
1
+a
2
+a
3
=12，a
8
+a
9
+a
10
=75，求a1，
d，S10。
生8：（1）由
a
1
+a
2
+a
3
=12得3a
1
+3d
=12，即a
1
+d=4
又∵d=-2，∴a
1
=6
∴S12=12 a
1
+66×（-2）=-60
生9：（
2）由a
1
+a
2
+a
3
=12，a
1
+
d=4
a
8
+a
9
+a
10
=75
，a
1
+8d=25
解得a
1
=1，d=3
∴S10=10a
1
+=145
师：通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和
的公式。在Sn公式有5个变量。已知
三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二）
，请同学们根据例3自己
编题，作为本节的课外练习题，以便下节课交流。
师：（继续引导学生，将第（2）小题改编）
①数列{a
n
}等差数列，若a<
br>1
+a
2
+a
3
=12，a
8
+a
9
+a
10
=75，且Sn=145，求a
1
，d，n
5
7
②若此题不求a
1
，d而只求S10时，是否一定非来求得a
1
，d不可呢？引导学生运用等
差数列性质，用整体思想考虑求a
1
+a
10
的值。
2、用整体观点认识Sn公式。
例4，在等差数列{a
n
}， （1）已知a
2
+a
5
+a
12
+a
15
=36，求S16；（2）已知a
6
=20，
求S11。
（教师启发学生解）
师：来看第（1）小题，写出的计算公式S16=
发现了什么？
=8(a
1
+a
6
)与已知相比较，你
生10：根据等
差数列的性质，有a
1
+a
16
=a
2
+a
15<
br>=a
5
+a
12
=18，所以S16=8×18=144。
师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a
1
，a
16
和
d的，但由等
差数列的性质可求a
1
与a
n
的和，于是这个问题就得
到解决。这是整体思想在解数学问题的
体现。
师：由于时间关系，我们对等差数列前n项
和公式Sn的运用一一剖析，引导学生观察
当d≠0时，Sn是n的二次函数，那么从二次（或一次）的
函数的观点如何来认识Sn公式
后，这留给同学们课外继续思考。
最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命题：
已知数列{a
n
}的前n项和为
Sn，若对于所有自然数n，都有Sn=
是否为等差数列，并说明理由。
。数列{a
n
}
四、小结与作业。
师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。
生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。
6 7
2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对Sn公式的运用。
生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。
2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式（I）或（II），掌握知三求二的解题
通法。
3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性
质
，看能否用整体思想的方法求a1+an的值。
师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性
质，要纠正那种不明理由盲目套用公
式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的
性质，主动积极地去学
习。
本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。
数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。
作业：P49：13、14、15、17
7 7