感恩石-游白水

等差数列前n项和
教学案例：
一、教学设计思想
本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。
本堂课的教学设计对教材部分内容进 行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的
教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为 中心，以老师为引导，以小组的合作
为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合 作中促进学生的个性发
展。
在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望 ，树立学生求真的勇气
和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获 得成功。
二、学生情况与教材分析
1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定 义，基本上掌握了通项公式，会
运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识 就可引入新课；
2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还
是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做
到了 直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，
揭示研究对象的性 质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。
3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与 学生熟悉的背景相联系。本课
要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学 知识，学会发现
问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。
三、教学目标
1、知识目标
（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；
（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
2、能力目标
经历公式的推导过 程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会
观察、归纳、反思和逻辑推理的能力 。

3、情感目标
通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望， 树立学生求真的勇气和自信心，
增强学生学好数学心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成 功。
四、教学重点、难点
1、等差数列前n项和公式是重点。
2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
教学过程：

1、引入新课
（1）复习
师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式 ，知道了“公差d=，通项公式
an=”（见黑板）
生：（回答黑板上的问题）
（2）故事引入
师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和 公式。古算书
《张邱建算经》中卷有一道题：
今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次 一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百
人，问共与几钱？
师生共同读题
师：题目当中我们可以得到哪些信息？要解决的问题是什么？
生1：第一人给1钱，第二人 给2钱，第三人给3钱，以后每个人都比前一个人多给一钱，
共有100人，问共给了多少钱？
师：很好，问题已经呈现出来了，你能用数学符号语言表示吗？
生2：用
a
n
表示第n个人所得的钱数，则由题意得：
a
1
1,a
2
2,a
3
3,
…，
a
1 00
100

只要求出1+2+3+…+100=？
师：你能求出这个式子的值吗？
生2：（犹豫片刻） 1+100=101，2+99=101，3+98=101…50+51=101，

所求的和为101×
100
=5050 .
2
师：对于这个算法，著名的数学家高斯10岁时曾很快就想出来了.
高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，






第2项与倒数第2项的和：2+99=101，
第3项与倒数第3项的和：3+98=101，
……
第50项与倒数第50项的和：50+51=101，
于是所求的和是101×
100
=5050
2
上面的问题可以看成是求等差数列1，2，3，…，n, …的前100项的和.
在上面解决问题的过程中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意
的第k项与倒数第 k项的和都等于首项与末项的和，从中你有何启发？我们如何去求一般
等差数列的前n项和？
设计意图：
通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行
解释与 应用得过程，其作用就在于提升学生的经验，使之连续地向形式的、抽象的数
学知识的转变.构筑在学生 已有生活经验与生命体验基础之上的数学课程大大激发了学
生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更 活泼，更能引发学生的兴趣.新教材中增
添了一些数学史的知识，从课改的一些举措上我感到在数学教学 过程中，应适时掀起
数学史的教学盖头。向同学们介绍了《张邱建算经》和高斯及他的算法，讲课的过程
中适当插入数学史，为数学教学输入了新鲜血液.培养学生的数学文化，营造浓郁的“人
文”氛 围.
师：设等差数列

a
n

的前n项和为
S< br>n
，则
S
n
a
1
a
2

…
a
n
?

生3：（直接给出公式）由刚才问题的结果可知< br>S
n

n(a
1
a
n
)

2
师：非常好，由具体的推广到一般，这也是研究数学的一种思想方法由特殊到一般，但是这
种方法是猜想、推测，是不完全归纳.数学公式的得出需要严谨的推理过程和相关的理
论依据.你能否推 导这个公式？
生4：
S
n
(a
1
a
n
)(a
2
a
n1
)
…+？（遇到困惑，最后一组怎样表示 ？是剩一项还是两
项？）
师：我们再回顾一下刚才解决的问题，共有100项，两两分组正好分为50组，

如果1+2+3+…+101=？n项时又应如何分组？最后一组应怎样表示？
生4（继续回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=102…50+52=102，5 1=
共有50组多出第51项
102(1101)


22
nn1
组，n为奇数时分成组还多一项
22
∴当 n为偶数时，
S
n
(a
1
a
n
)(a
2
a
n1
)
…
(a
n
a
n< br>)

n分奇偶性讨论，n为偶数时正好分成
22
1
n(a< br>1
a
n
)

2
当n为奇数时，
S
n
(a
1
a
n
)(a
2
a
n1
)
…
(a
n1
a
n1
)a
n 1

=
22
2
2
1

(a< br>1
a
n
)(a
2
a
n1
)
…
(a
n1
a
n1
)
22
2
(a
1
a
n
)

2
=
n(a
1
a
n
)

2
师：好通过分 类讨论我们得出了等差数列

a
n

的前n项和
S
n
公式，从所得的结果看无论n
是奇数还是偶数
S
n
的公式一样.那 么我们是否可以避开讨论n的奇偶性去推导呢？怎样
出现首末两项的和？
师：下面我们从一 个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨（学生观察幻灯片上以等差数
列逐层排列的一堆钢管。）
师：如何求？
（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）
生：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，
所以为

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和sn等于多少？
生：

师：所以我们还可以如何求等差数列通项公式？
生5：
S
n
a< br>1
a
2

…
a
n

S
n
a
n
a
n1

…
a
1

将上面两式左右两边分别相加得
2S
n
(a
1
a
n
)(a
2
a
n1
)
…
(a
n
a
1
)

=
n(a
1
a
n
)

∴
S
n< br>
n(a
1
a
n
)

2
师：此种 方法简洁明了，且避开讨论n的奇偶性，我们将这种方法称为“逆序相加法”，在
以后解决数列问题是也 经常运用“逆序相加法”，主要运用了等差数列下标等距性质.
（有学生举手）
生6：我用另外一种方法得出的结果不一样
S
n
a
1
 a
2

…
a
n
a
1
da
1
2d
…
a
1
(n1)d

=na
1


123
…
(n1)
d

=
na
1

n(n1)
d

2
师：这个结果对否？为何会有两个公式？它们之间有联系吗？

大家 一起发现
S
n

n(a
1
a
n
)
n

a
1
a
1
(n1)d

n( n1)
na
1
d

222
n(a
1
a
n
)
n(n1)
na
1
d

22
∴等差数列

a
n

前n项和公式：
S
n

师(总结) ：我们得到了两个计算等差数列前n项和的公式.由公式可知，只要知道< br>a
1
,n,a
n
,d

这四个量中的三个就可以求出等差数列前n项和
S
n
.
设计意图：
新课标指出“学生的学习过程就是在教师指导下的再创造的过程”在教学的过
程中，教师要指导 学法，把教与学的过程很好地统一起来，想方法鼓励学生积极参与，
大胆设疑、质疑、释疑、辨错、修正 ，突出过程教学.教师同通过问题情境或学习情境
以诱发他们进行探索与问题的解决活动.
应用举例
例1
等差数列―10,―6,―2, 2…前多少项的和是54?
0,d6(10)4
解：设题中的等差数列为

a
n
< br>，前n项和为
S
n
，则
a
1
1
由题意得
10

，
S
n
54

n(n1)
454

2
∴
n
2
6n270

解得
n
1
9,n
2
3
（舍）
∴前9项的和为54.
师(总结)：已知量
a
1
,d,S
n
，求n，合理选用公式.
思想方法：方程思想.
设计意图：
学以致用,直接运用公式加深对公式的认识和理解.主要通过方程的思想进行基
本量的运算.注 意解题格式和规范.
例2
求集合
M

mm7n,nN

,m100

中元素的个数，并求这些元素的和.
解：由
7 n100,
得
n
1002
,
即
n14,

77
由于满足不等式的正整数n共有14个，所以集合M中的元素共有14个，
将他们从小到大列出，得7，7×2，7×3，…，7×14，
这个数列是等差数列，记 为

a
n

，其中
a
1
7,a
14
98

∴
S
14

14(798)
735

2
答：集合M中的元素共有14个元素，它们的和等于735.
变式1：
Mmm7n,nN

,n100

分析：∵n<100,∴M中有99个元素，分别为7，7×2，7×3，…，7×99，
变式2：在1到100中被7除余1的正整数共有多少个？它们的和是多少？
分析：设m是满足条件的数，则m=7n+1,且m<100,
nN

或m=7n-6,且m<100,
nN



设计意图：
高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方法，这要
求我们转变教学观念，丰富 教学形式，改进学生的学习方式，加大课堂教学的研究性、
开放性和自主性，在开展探究活动中培养学生 的基本技能，将变式训练与引导学生感
悟反思放到同样的高度，进而培养学生的数学能力.
练习
课本P118 ex 1 （板演），2,3,4
小结：
（1）了解 等差数列

a
n

的前n项和公式的推导思想（逆序相加法、分组配 对法）.
（2）掌握等差数列前n项和的两个公式并能灵活运用解决相关问题.
（3）研究问题的方法：由特殊到一般.
（4）方程思想：基本量的运算.
课后作业：
P118 1（2）（4），2，4，5