郑智化的歌-律政俏佳人影评

http:

彰显数学魅力！演绎网站传奇！

等差数列求和公式的变形及应用
等差数列的求和公式
S
n
na< br>1

S
n

d
2
n
2
n( n1)
2
d
，可以变形为二次函数的形式：
(a
1
< br>d
2
)n
，若设Ａ＝
d
2
，Ｂ＝
a
1
－
d
2
，则公式又可变形为
S
n
An
2
Bn
．利
用这些变形公式，就能迅速解决一些与等差数列有关的疑难问题．
例１ 等差数列｛
a
n
｝的前
n
项和为
S
n
100nn(nN
），则首项
a
1
与公差
d
为
多少？
解：根据等差数列求和公式
S
n


d
1


a
1
99

2
解得



d2

a
d
100
1

2

d
2
n
2
2

(a
1

d
2
)n
得
例２ 等差数列 ｛
a
n
｝的前
p
项和为
q
，前
q
项和为
p
（
p
≠
q
），求前
p
＋
q
项之
和．
解：设
S
n
An
2

Ap
Bn
则



Aq
22< br>2
2
BPq
Bqp

二式作差得
A(pq)B(pq)qp

∵
p
≠
q
∴
A(pq)B1

∴
S
pq
A(pq)B(pq)(pq)

例３ 设｛
a
n
｝为等差数列，
S
n
为数列｛a
n
｝的前
n
项和，已知
S
7
＝７,
S
15
＝75，

S
n

T
n
为 数列

的前
n
项和，求
T
n
．
n
2
解：设
S
n
＝Ａ
n
＋Ｂ
n，由已知得
1

A

49A7B7

2



225A15B75
5

B

2

1
2
5
2
S
n
n
1
2
5
2
S
n!
n1
S
n< br>n
1
2
2

S
7


S< br>15
∴
S
n
＝
n
－
2
n

n
， 由于


学数学 用专页
第 1 页 共 2 页
版权所有 少智报·数学专页

http:

故


彰显数学魅力！演绎网站传奇！

11
2
9

S< br>n


为等差数列，易知首项为－２，公比为，∴
T
n
nn
．
244

n

例４ 等差数列｛
a
n
｝的前
n
项和为
S
n
，已知
a
3
12,S
12
0,S
13
0

（１） 求公差
d
的取值范围．
（２） 指出
S
1
,S
2
,S
n
中哪个最大，并说明理由．
解：（１）设
S
n
＝Ａ
n
2
＋Ｂ
n

∵
a
3
S
3
S
2
5AB12
， ∴ Ｂ＝12－5Ａ

S
n
＝Ａ
n
2
＋
(125A)x

由题意得
S
12
144A12(125A)0A

S
13
169A13(125A)0A
∴

∴

12
7
24
7
A
3
2
3
2
12
7


3
2
即

12
7

d
2


d3

24
7
d3
（２）∵
S
n
＝Ａ
n
2
＋
(125A)n
且

又
f(x)Ax
2
(125A)x
对称，对称轴 < br>125A
2A

5
2

6
A
( 6,
13
2
)

x
∴当
n
＝６
q
时，
S
6
最 大．
学数学 用专页
第 2 页 共 2 页
版权所有 少智报·数学专页