带地名的成语-红楼梦蒋玉菡

第二章 数列
2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与通项公式

A级 基础巩固
一、选择题
1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N
*
)的项数是( )
A．n
C．n＋4
B．3n＋11
D．n＋3
解析 ：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4
项，前面还有5，8，11三项，故这个 数列的项数为n＋3.
答案：D
2．若{a
n
}是等差数列，则由下列关 系确定的数列{b
n
}也一定是等
差数列的是( )
2
A．b
n
＝a
n
B．b
n
＝a
n
＋n
2

D．b
n
＝na
n
C．b
n
＝a
n
＋a
n
＋
1

解析：{a
n
}是等差数列，设a
n
＋
1
－a
n
＝d，则数列b
n
＝a
n
＋a
n
＋
1满足：
b
n
＋
1
－b
n
＝(a
n< br>＋
1
＋a
n
＋
2
)－(a
n
＋a< br>n
＋
1
)＝a
n
＋
2
－a
n
＝2d.
答案：C
a
n
3．数列{a
n
}中，an
＋
1
＝，a＝2，则a
4
为( )
1＋3a
n
1

A.
8
7
B.
8
5
C.
16
5
D.
2
19

解析：因为
1
1＋3a
n
a
＝
n
＋
1
a
n
，
所以
1
a
＝
1
a
n
＋3，
n< br>＋
1
所以
1
a
＋
－
1
＝3， n1
a
n
所以
1
a
n
＝
1
2
＋3(n－1)，
1119
a
4
＝
2
＋3(4－1)＝
2
，
所以a＝
2
4
19
.
答案：D
4．已知等差数 列{a
n
}前9项的和为27，a
10
＝8，则a
100
＝ (
A．100 B．99 C．98 D．97
解析：由已知，


9a
1
＋36d＝27，

a
＋9d＝8，
所以
1
a
1
＝－1，d＝1，a
100
＝a
1
＋99d＝－1＋99＝98，故选C.
答案：C
5．若lg 2，lg(2
x
－1)，lg(2
x
＋3)成等差数列，则x的值等于(
A．0 B．log
2
5 C．32 D．0或32
解析：依题意得2lg(2
x
－1)＝lg 2＋lg(2
x
＋3)，
所以(2
x
－1)
2
＝2(2
x
＋3)，
)
)

所以(2
x
)
2
－4·2
x
－5＝0，
所以(2
x
－5)(2
x
＋1)＝0，
所以2
x
＝5或2
x
＝－1(舍)，
所以x＝log
2
5.
答案：B
二、填空题
6．已 知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax
2
＋2bx＋c(a≠0)
的图象与 x轴的交点有________个．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又因为Δ ＝4b
2
－4ac＝(a＋c)
2
－4ac＝(a－c)
2
≥0
所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．
答案：1或2
7．若关于x 的方程x
2
－x＋m＝0和x
2
－x＋n＝0(m，n∈R，且
1< br>m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________．
4
解析 ：设x
2
－x＋m＝0，x
2
－x＋n＝0的根分别为x
1
，x
2
，x
3
，
x
4
，则x
1
＋ x
2
＝x
3
＋x
4
＝1.设数列的首项为x
1，则根据等差数列的性
1
质，数列的第4项为x
2
，由题意知x
1
＝，
4
31
－
44
13
所以x
2＝，数列的公差d＝＝，
4
4－1
6
115517
所以数列的 中间两项分别为＋＝，＋＝
.
461212612

35735
所以x
1
·x
2
＝m＝
.x
3·x
4
＝n＝
×
＝
.
161212144
33531
所以m＋n＝＋＝
.
1614472
31
答案：
72
8．数列{a
n
}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b
n
}是首项
为－2，公差为4的等差数 列．若a
n
＝b
n
，则n的值为________．
解析：a
n
＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
b
n
＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令a
n
＝b
n
，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.
答案：5
三、解答题
9．在等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
5
＝－1，a
8
＝2，求a
1
与d；
(2)已知a
1
＋a
6
＝12，a
4
＝7，求a< br>9
.
解：(1)因为a
5
＝－1，a
8
＝2， < br>
a
1
＋4d＝－1，

a
1
＝－5，所以

解得



a
1
＋7d＝2，

d＝1.
(2)设数列{a
n
}的公差为d.由已知得，

a
1
＋a
1
＋5d＝12，

a
1< br>＝1，
解得




a
1
＋3d＝ 7，

d＝2.
所以a
n
＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
所以a
9
＝2×9－1＝17.

10 ．若等差数列{a
n
}的公差d≠0且a
1
，a
2
是关于x 的方程x
2
－
a
3
x＋a
4
＝0的两根，求数列{ a
n
}的通项公式．

a
1
＋a
2
＝a
3
，
解：由题意知



a
1
a
2
＝a
4
，

2a
1
＋d＝a
1
＋2d，
所以



a
1
（a
1
＋d）＝a
1
＋3d.

a
1
＝2，
解得



d＝2，
所以a
n
＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n.
B级 能力提升
1．已知x≠y，且两个数列x，a
1
，a
2
，…，a< br>m
，y与x，b
1
，b
2
，…，
a
2
－a
1
b
n
，y各自都成等差数列，则等于( )
b
2
－b
1
m＋1n＋1
mn
A. B. C. D.
nm
n＋1m＋1
解析：设这两个等差数列公差分别是d
1< br>，d
2
，则a
2
－a
1
＝d
1
，b
2
－b
1
＝d
2
，第一个数列共(m＋2)项，所以d1
＝；
m＋1
a
2
－a
1
d
1第二个数列共(n＋2)项，所以d
2
＝，这样可求出＝＝
n＋1b
2< br>－b
1
d
2
y－x
.
m＋1
n＋1
y－x

答案：D
2．在数列{a
n
}中，a
1
＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(a
n
，
a
n
－
1
)都在直线x－y－3＝0上，则a
n
＝________．
解析：由题意得a
n
－a
n－
1
＝3，所以数列{a
n
}是首项为3，
公差为3的等差数列 ，所以a
n
＝3 n，a
n
＝3n
2
.
答案：3n
2

3．已知函数f(x)＝
x∈N
*
)确定．

1

(1)求证：

x

是等差数列；

n

3x
，数列{x
n
}的通项由x
n
＝f(x
n
－
1
)(n≥2且
x＋3
1
( 2)当x
1
＝时，求x
2 015
.
2
3x
(1 )证明：因为f(x)＝
，数列{x
n
}的通项，
x＋3
x
n
＝f(x
n
－1)，
所以x
n
＝，
x
n
－
1
＋3
111
所以＝＋，
x
n
x
n
－1
3
111
所以－＝， x
n
x
n
－1
3

1

所以

x

是等差数列．

n

3x
n
－1
11
(2)解：x
1
＝时，＝2，
2x
1

n＋5
11
所以＝2＋
(n－1)＝
，
x
n
33
3
所以x
n
＝，
n＋5
3
所以x
2 015
＝
.
2 020