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《等差数列的前n项和公式》教学设计

一、教学内容分析

《等差数列的前n项和公式》是高等教育出版社数学基础 模块下册第六章的重要内容
之一，本节课主要研究如何应用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式以及 该求和公
式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活
中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式
推导，可以让学生 进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。它反映了从特殊到一般的
数学思维形式，这对发展学生的思维 能力、培养学生的创新意识等方面有着重要的作用。

二、学情分析

任教的班级是一年级物流专业。

1、知识基础：在本节课之前学生已经掌握了等差数 列的通项公式，理解等差数列的
基本性质，小学时对高斯算法有所了解，这三者形成了学生思维的“最近 发展区”，为新
课学习提供了基础；

2、认知水平与能力：学生初步具有一定的逻辑 思维能力，但思维不够深刻、片面、
不严谨，对问题解决的一般性思维过程认识模糊．

3、班级学生特点：多数学生能积极主动参与数学学习，动手操作能力较强。但缺乏
自信，同时渴望表 现，渴望肯定。

三、设计思想

建 构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让
学生在具体的问题情境中经 历知识的生成与发展，让学生利用自己的原有认知结构中相
关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进 对新知识的建构．在教学过程中，根据教
学内容，从《张丘建算经》中等差数列的求和问题及泰姬陵陵寝 三角形图案中的圆宝石
谈起，结合小学高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的 求
法．以问题驱动任务完成为主线，通过设计一些从简单到复杂、从特殊到一般、从具体
到抽象 的问题，层层铺垫，步步深入，组织和启发学生通过观察、类比、联想、猜测、
实践操作获得公式的推导 思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生
生互动和师生互动等形式，让学生在问题解 决中学会思考、学会学习．

四、教学目标

1、知识目标： 掌握等差数列的前n项和公式，并能用公式解决简单的问题；

2、能力目标： 通过公式的探索、发现，体验从特殊到一般的研究方法，培养学生
观察猜想、类比分析、归纳总

结和逻辑推理的能力，渗透方程（组）思想.

3、情感目标： 通过 生动有趣的数学史故事，激发学生求知的欲望和探究的热情，渗
透数学文化，增强学生爱国主义情感。< br>
五、教学重点和难点

重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些简单问题；

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得；

关键点：首尾配对法引出倒序相加法.

六、教学过程设计

（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验

上节课 同学们已经学习了等差数列的概念、通项公式和性质。其实，早在我国北朝
时，张丘建在《张丘建算经》 中就给出了等差数列的一些问题，例如：今有女子不善织
布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末 一日织一尺，共织三十日，问共织几何
这个涉及等差数列求和问题，本节课学习《等差数列前n项和公式 》。

世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，
以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗

这个问题化为数学问题就是求1+2+3+……+100=

200多年前，被誉为“ 数学王子”的德国数学家高斯在10岁时，当老师提出这个问题
后，很快就说出了答案，这是小学时就知 道的一个故事，高斯的算法非常高明，请你想
想他是怎样算的

[学情预设]

方案一：1+2+3+4……+100=5050（逐个求和）。点评：方法可行，但是对于项数较多或数字较大的数列求和则不方便。

方案二：（1+100）+（2+99）+（3+9 8）……+（50+51）=101

50=5050 点评：方法
巧妙。高斯就是这种方法。

方案三：利用计算机“Excel”中的“∑ ”求得结果。点评：此法具有时代性，符合
专业特点。

【设计意图】情境学习理论认 为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境”相
联系．通过富于人文气息的历史素材和有趣的数学史 故事，激发学生求知的欲望和探究
的热情，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲 解作铺垫．同时，

方案三的提出使得教学具有针对性、时代性，体现职业教育课改理念。

（二）由易到难，在自主探究与合作中学习

问题1：第1层到第51层一共有多少颗宝石

该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现．

[学情预设] 学生可能出现以下求法

方法1：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26

方法2：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51

方法3：原式＝（1＋2＋……＋50＋51+52）—52

方法4：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51

学生若将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．

【设计意 图】这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对
的问题，借此渗透化归思想 ．

问题2：求1+2++n=

[学情预设] 学生通过激烈的讨 论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、
偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论 成为该环节的关键．

启发：让学生利用班级收集起来的矿泉水瓶，摆出等差数列求和模型。引 导学生理
解高斯首尾配对法是“首尾配”，也可说是“尾首配”。鼓励学生操作，尝试完成“首
尾配”；（多媒体演示）在建筑中堆放的钢材形成的三角形图案

左侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．

通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：

∵1 + 2 + 3 +…（n－1） + n

n +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1

________________________________ ___________

(n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1)

∴
123n
n(n1)

2
【设计意图 】在动手操作过程中，借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记
忆深处的东西，为倒序相加法的 出现提供了一个直接的模型。实现“做中学、做中教”
的课改理念。该方法在生活中也有应用，体现教学 贴近学生、贴近生活、贴近专业“三
贴近”原则，进一步体会倒序相加法的合理性。

2S
n
(a
1
a
n
)(a
1
a< br>n
)(a
1
a
n
)
问题3： 在公差为 d
n个
的等差数列{a
n
}中，定义前n项和S
n
=a1
+a
2
+…+a
n
，如何求S
n

让学生
观察
问题2的结果
猜测
求和公式，鼓励学生类比问题2的解决方法完成 对公
式的推导。由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：

方案一：

∵Sn=a
1
+ (a
1
+d) + (a
1
+2d) +…+[a
1
+(n－1)d]

Sn=a
n
+ (a
n
－d) +（a
n
－2d）+…+[a
n
－(n－1)d]

∴


得：S
n


n(a
1
a
n
)
2

(公式1)


方案二：



Sn
a
1
a
2


a
n1a
n


(a
1
a
n
)(a
2
a
n1
)

(a
n
a
1
)

n(a
1
a
n
)
得：S
n

2
（公式2）


2S
n

组织学生讨 论：在公式1中若将a
n
=a
1
+（n－1）d代入又可得出哪个表达式
即：

【设计意图】在 等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生
经历“提出问题—分析问题—解决问题 ”的过程.

【归纳小结】等差数列前
n
项和公式:








S
n
 na
1

n(n1)
d
2
n(a
1
a
n
)
2
S
n

S
n
na
1

S
n
a
n
a
n1


a
2
a
1
n(n1)
d
2
师生共 同剖析公式结构特点，明确知三求Sn,并引导学生由公式的结构特征类比联想

到梯形面积公式.

【设计意图】利用图形的直观性，深化对公式的记忆与理解。

（三）设置典例，促进学生对公式的应用

例1、在等差数列｛an｝中，

（1）已知：a
1
=1，a
10
=10，求S
10
; （2）已知：a
1
=3，d = -2，求S
10

例2、已知等差数列｛a
n
｝中，d=2，a
n
=1，S
n
= -8，求n.

小结：
在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元 素,结合通项公式就
可求出另两个元素.

【设计意图】“顺”用公式，让学生熟悉公式的要素与结构，加深对公式的基本量意
义的认识； “变”用公式可以培养学生思维的高度灵活性,渗透方程思想;小结及时给学
生学法指导.

（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握

1、教材P
10
练习；

2、下面，大家试着给同桌出一个等差数列，然后用公式求出它的前n项和。

典型展 示：（1）1+2+3+……+n=（2）1+3+5+……+（2n-1）=（3）2+4+6+……+2n=

【设计意图】拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不
同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育
理念。

3、《张丘建算经》中关于等差数列求和问题：“今有女子不善 织布，每天所织的布以
同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何”。


(51)30
）

90
（术曰：并初、末织布数 ，半之，余以乘织讫日数，即得。
2
【设计意图】体会付出就有回报。

（五）回顾反思，深化知识

组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小 组之间互相补充完成课堂
小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．

1.等差数列前n项和公式：

2.在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中 三个元素,结合通项公式就可求
出另两个元素.；

3.公式的推证用的是倒序相加法

【设计意图】归纳总结，完成知识的建构；

（六）布置作业:

1、必做题：教材P
11
习题A组5、6题；

【设计意图】巩固知识，发现和弥补课堂学习中的不足，培养学生自觉学习的
习惯.

2、
课后思考：
《张丘建算经》中关于等差数列求和又一问题：“今有女子善织布，
逐 日所织的布以同数


S
n

n(a
1
 a
n
)
2
a
n
a
1
(n1)dS
n
na
1

n(n1)
d
2