南瓜饼的家常做法-这样爱了歌词

第4课时 等差数列的通项公式
【学习目标】
1.加深对等差数列通项公式的认识，能解决一些简单的问题；
2.利用通项公式求等差数列的各项、项数、公差、首项；
3.培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力.
【课前预习】
1.判断下列数列是否为等差数列:
(1) -1，-1，-1，-1，-1
1
1
1
，，
2
3
4
(3) 1，0，1，0，1，0
(4) 2，4，6，8，10，12
(5) 7，12，17，22，27
解：(1)是；(2)不是；(3)不是；(4)是；(5)是.

2. 若数列a
1
, a
2
,…, a
n-1
, a
n
是等差数列,则数列a
n
, a
n-1
,…, a
2
, a
1
是等差数列吗?为什么?
解：数列a
n
, a
n-1
,…, a
2
, a
1
是等差数列,它的首项为a
n
,公差为数列a
1
, a
2
,…, a
n-1
, a
n
的公
差的相反数.

3. 已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:
(1) ( ),6,13,( );
(2) 1，
(2) 1,
3
,( ),( );
(3) 21,( ),( ),3.
解：(1)-1,20； (2)2
3
-1,3
3
-2； (3)15,9.

4. 已知a是
提示：a=2.

13
与a+的等差中项,则a=
________
.
22
【创设情境】
观察数列{a
n
}:4,7,10,13,16 ,…,如何写出它的第100项a
100
呢?

问题1 说出该数列的通项公式.
(结合前面所学知识,引导学生进行归纳)

问题2 这个数列是等差数列吗?为什么?如果是等差数列,它的公差是多少?
(引导学生看到连续两项的差是定值,即a
2
-a
1
=3, a
3
-a
2
=3, a
4
-a
3
=3,…)

问题3 对于这个数列,我们已经知道了它是等差数列,那么现在不用归纳的方法,你能求出
它的通项公式吗?
1

(让学生观察a
2
-a
1
=3, a
3
-a
2
=3, a
4
-a
3
=3,… ,引导学生进行叠加,进而求出该数列的通项公
式)
问题4 设数列{a
n
}是一个首项为a
1
,公差为d的等差数列,你能求出它的通项公式吗?
(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)

通过讨论,结合前面的具体问题,给出等差数列通项公式的推导过程以及通项公式.
证明:因为数列{a
n
}是等差数列,所以当n≥2时,有
a
2
- a
1
=d,
a
3
- a
2
=d,
……
a
n
- a
n-1
=d.
将上面n-1个等式的两边分别相加,得a
n
- a
1
=(n-1)d,所以a
n
= a
1
+(n-1)d.
当n=1时,上面的等式也成立.

理解概念
1. 强化推导方法中“叠加法”的使用,同时,指出这一推导思想也是以后求等差数列通项公
式的重要思想.
2. 等差数列通项公式a
n
中的n是取值于从1开始的正整数,而在等差数列通项 公式的证明
过程中,n是取大于或等于2的正整数,所以要独立验证n=1时的情形.

巩固概念
问题5 利用推导的公式,写出“问题情境”中问题的通项公式.
(首项a
1
=4,公差d=3,所以a
n
= a
1
+(n-1)d=4+(n-1)×3=3n+1)

问题6 求等差 数列8,5,2,…的第20项；-25,-30是不是这个数列的项?如果是,是第几项；
如果不是, 请说明理由.
(首项a
1
=8,公差d=-3,则a
n
= a1
+(n-1)d=8+(n-1)×(-3)=-3n+11,所以a
20
=- 3×20+11=-49.
令-3n+11=-25,解得n=12,所以-25是这个数列的第12项 .令-3n+11=-30,解得n=
N
*
,所以-30不是这个数列中的项)
41
,而n∈
3
【合作探究】
1.在等差数列{a
n
}中,已知a
3
=10, a
9
=28,求a
12
.

处理建议：分析确定一个等差 数列的两个基本量是a
1
,d,则条件可以用来建立二元方程.
答案：a
12
=4+(12-1)×3=37.

题后反思：① 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算
是等差数列的基本运算方 式;② 知道了等差数列的首项和公差可以求数列的任意一项;③
知道等差数列的任意两项,可以确定该数列的任意一项.

变式1：从上面的求解过程可以看到: a
3
比a
1
多2个d, a
9
比a
1
多8个d,则a
9
比a
3
多6个
d,即a
9
=a
3
+6d.能不能不需要求出a
1
,也能求出a
12
呢?

2

处理建议：引导学生从项与项的关系进行思考.
解：由a
9
=a
3
+6d,得d=3,所以a
12
=a
3
+9d=37 (或a
12
=a
9
+3d=37).

题后反思：① 通 过等差数列的任意两项的关系,可以获得更具一般性的等差数列的通项公式:

a
n< br>a
1
(n1)d
由

(m,n∈N
*
,m≠n)得a
n
-a
m
=(n-m)d,所以a
n
=a< br>m
+(n-m)d.

a
m
a
1
(m1)d
② 将a
n
=a
m
+(n-m)d变形为d=
a
n
a
m,这和我们学过的什么知识很相似?(让学生先思考,不
nm
要急于让学生回答)

变式2：在等差数列{a
n
}中,已知a
p
=q,aq
=p(p≠q),求a
p+q
.


a
p
a
1
(p1)dq
解:法一:

两式相减得(p- q)d=q-p,因为p≠q,所以d=-1.则
aa(q1)dp

1
q
a
p
=a
1
+(p-1)(-1)=q,所以a< br>1
=p+q-1,所以a
p+q
=a
1
+(p+q-1)d= (p+q-1)+(p+q-1)(-1)=0.

2.已知等差数列{a
n
}的通项公式为a
n
=3n+1,请你作出它的图象.

处理建议:此数 列的通项公式a
n
=3n+1是从“问题情境”得到,可先由学生讨
论,尝试进行作图 ;然后教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生
所作图象,纠正可能出现的错误.
解:如图:

题后反思:等差数列{a
n
}的通项公式a
n
=a
1
+(n-1)d=dn+(a
1
-d)是关于n的一
次式,但等差数列只是其对应一次函数的一系列孤立的函数值；一次函数的
定义域是实数集R,图象是 一条直线,等差数列的图象只是直线上均匀分布
的一些点.
变式：已知数列{a
n< br>}的通项公式a
n
=kn+b,其中k,b是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?
处理建议：先由学生回忆,讨论判定数列{a
n}是不是等差数列的方法,投影学生的处理过程,
纠正可能出现的错误.
解：当n≥2时, a
n
-a
n-1
=(kn+b)-[k(n-1 )+b]=kn+b-(kn-k+b)=k,它为常数,所以数列{a
n
}是等
差数 列.它的首项为a
1
=k+b,公差为k.
题后反思：① 若k=0,则数列{a
n
}是公差为0的等差数列,即为常数列b,b,b,…；② 若k≠
0,则数列{a
n
}是关于n的一次式,一次项的系数k即为公差d.

3.在等差数列{a
n
}中,若a
1
+a
9=32, a
4
=13,求a
6
, a
5
.

处理建议：可先由学生讨论,利用基本量解方程组,进而进行求解,投影学生的处理过程,纠正
可能出现的错误.本题的关键是引导学生观察所给项的下标,通过它们与a
1
,d的关系,找出 项
的和之间的关系式.
解 因为a
1
+ a
9
= a
4
+ a
6
=2 a
1
+8d= a
1
+ a
9
=32, a
4
=13,所以a
6
=19.而a
5
= a
1
+4d=
1
(a
4
+ a
6
)=16.
2
3

题后反思：① 在处理等差数列的计算时,有时候可以用整体的思想来解题.② 在等差数列
{a
n
} 中,首项为a
1
,公差为d,若m、n、p、q、s∈N
*
,且m+n=p+ q=2s,则有a
m
+a
n
=a
p
+a
q
=2a
s
.
证明:请学生给出.也可理解成: a
s
是a
m
与a
n
(或a
p
与a
q
)的等差中项.

变式:已知等差数列{a
n
}中, a
3
+a
4
+ a
5
+a
6
+a
7
=450,求a
2
+a
8
.
解:由a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=450,得5 a
5
=450,所以a
5
=90.所以a
2
+ a
8
=2 a
5
=180.

【随堂小练】
1. -30是不是等差数列0,-
解:由题意得a
n
=-
11,-11,…的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
2
111170
1111
n+.令-n+=-30,解得n=,而n∈N
*
,所以-30不是这个数 列的
2211
22
项.

2. 在等差数列{a
n
}中,已知a
5
=10, a
12
=31 ,则首项a
1
=________,公差d=________.
提示: a
1
=-2,d=3.

3. 在等差数列{a
n
}中,若a
5
=a, a
10
=b,则a
15
=________.
提示: a
15
=2b-a.

4. 某货运公司的一种计费标准是:1km以内收 费5元,以后每千米加收2.5元.如果运输某批
物资80km,那么需支付多少元运费?
解:需支付运费5+(80-1)×2.5=202.5(元).

【学后反思】
1. 要会推导等差数列的通项公式: a
n
=a
1
+(n-1) d,掌握其基本应用,并掌握更具一般性的通
项公式形式: a
n
=a
m
+(n-m)d.
2. 理解等差数列与一次函数的关系.
3. 掌握等差数列的重要性质:在等差数列{a
n
}中, 若m、n、p、q、s∈N
*< br>,且m+n=p+q=2s,
则有a
m
+a
n
=a
p
+a
q
=2a
s
.

【完成作业】

4