搞笑铃声-跟我一起唱

【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为 奇数的各项的和为125，
求其第6项．
解 依题意，得
10(101)
d=140

10a
1
＋
2

< br>

a
1
＋a
3
＋a
5
＋a
7
＋a
9
=5a
1
＋20d=125
解得a
1< br>=113，d=－22．
∴ 其通项公式为
a
n
=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135
∴a
6
=－22×6＋135＝3
【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它
们相同项的和．
解 由已知，第一个数列的通项为a
n
＝3n－1；第二个数列的通项为b
N
=5N－3
若a
m
＝b
N
，则有3n－1＝5N－3
即 n＝N＋
2(N1)

3
若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．
又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以
N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66
∴ 两数列相同项的和为
2＋17＋32＋…＋197=1393
【例3】 选择题：实数a，b，5a，7，3b ，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋
7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为
[ ]
A．1，3，5 B．1，3，7
C．1，3，99 D．1，3，9
解 C由题设2b=a＋5ab=3a

又∵ 14＝5a＋3b，
∴ a＝1，b＝3
∴首项为1，公差为2
n(n1)
d
2

n(n1)
∴ 2500=n＋·2 ∴n＝50
2
又S
n
=na
1
＋< br>∴a
50
=c=1＋(50－1)·2=99

∴ a＝1，b＝3，c＝99
【例4】 在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差 数列，若
这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．
解 依题意2＝1＋(2n＋2－1)d
①
(n1)n
d ②
2

(n1)n
后半部分的和S ′·(－d)③
n+1
＝(n＋1)·2＋
2
前半部分的和S
n+1
＝(n＋1)＋
nd
)
S
n1
2

9< br>由已知，有
nd
S′13
n1
(n1)(2)
2nd
1
9
2

化简，得
nd
13
2
2
5
解之，得 nd= ④
11
(n1)(1
由①，有(2n＋1)d=1 ⑤
由④，⑤，解得d=
∴ 共插入10个数．
1
，n=5

11
【例5】 已知等差数列{a
n
}中，S
3
=21， S
6
=24，求数列｛|a
n
|｝的前n项和T
n
．
n(n1)
解 设公差为d，由公式S
n
＝na
1
＋d
2

3a
1
＋3d=21
得


ba
1
＋ 15d=24
解方程组得：d＝－2，a
1
＝9
∴a
n
＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11
由a
n
＝－2n＋11＞0 得n＜
11
=5.5，故数列{a
n
}的前5项为正，

2
其余各项为负．数列{a
n
}的前n项和为：
n(n1)S
n
＝9n＋(－2)=－n
2
＋10n

2

∴当n≤5时，T
n
＝－n
2
＋10n
当n＞6时，T
n
＝S
5
＋|S
n
－S
5
|＝S
5
－(S
n
－S
5
)＝2S
5－S
n

∴T
n
＝2(－25＋50)－(－n
2＋10n)＝n
2
－10n＋50
2


T
n
=－n＋10n
即

2


n－10n＋50
n≤5
n＞6
n∈N*

说明 根据数列{a
n
}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a
n
|｝的前n项和．
【例6】 在等 差数列{a
n
}中，已知a
6
＋a
9
＋a
12＋a
15
＝34，求前20项之和．
解法一 由a
6
＋a
9
＋a
12
＋a
15
＝34
得4a
1
＋38d＝34
又S
20
＝20a
1< br>＋
＝20a
1
＋190d
20×19
d

2
＝5(4a
1
＋38d)=5×34=170
解法二 S20
=
(a
1
+a
20
)×20
=10(a< br>1
＋a
20
)

2
由等差数列的性质可得：
a
6
＋a
15
=a
9
＋a
12
＝a1
＋a
20
∴a
1
＋a
20
=17
S
20
＝170
【例7】 已知等差数列{a
n
}的公 差是正数，且a
3
·a
7
=－12，a
4
＋a
6< br>=－4，求它
的前20项的和S
20
的值．
解法一 设等差数列{a
n
}的公差为d，则d＞0，由已知可得

(a
1
＋2d)(a
1
＋bd)＝－12


a
1
＋3d＋a
1
＋5d=－4
①
②

由②，有a
1
＝－2－4d，代入①，有d
2
=4
再由d＞0，得d＝2 ∴a
1
=－10

最后由等差数列的前n项和公式，可求得S
20
＝180
解法二 由等差数列的性质可得：
a
4
＋a
6
＝a
3
＋a
7
即a
3
＋a
7
＝－4
又a
3
·a
7
=－12，由韦达定理可知：
a
3
，a
7
是方程x
2
＋4x－12＝0的二根
解方程可得x
1
=－6，x
2
＝2
∵ d＞0 ∴{a
n
}是递增数列
∴a
3
＝－6，a
7
=2
a
7
a
3
d==2，a
1
＝－10，S
20
＝180

73
【例8】 等差数列{a
n
}、{ b
n
}的前n项和分别为S
n
和T
n
，若
S
n
a
100
2n
，则等于

T
n
3n1b
100
[ ]
A．1
199
C．
299

2
B．
3

200
D．
301
n(a1
a
n
)n(b
1
b
n
)
，T< br>n

22

S
n
a
1
a
n
a
1
a
n
2n
∴∴
T
n
b
1
b
n
b
1
b
n
3n1
解法一 ∵S
n

∵2a
100
＝a
1
＋a199
，2b
100
＝b
1
＋b
199
∴
a
100
a
1
a
199
2×199199
=== 选C．

b
100
b
1
b
1 99
3×199+1299
【例9】 解答下列各题：
(1)已知：等差数列{a
n
}中a
2
＝3，a
6
＝－17，求a
9
；
(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各

项之和为1350，求这几个数；
(3)已知：等差数列{a
n
}中，a
4
＋a
6
＋a
15
＋a
17
＝50，求S
20
；
(4)已知：等差数列{a
n
}中，a
n
=33－3n，求S
n
的最大值．
分析与解答
(1)a
6
=a
2
＋(6－2)d d＝
173
=－5

4
a
9
=a
6< br>＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32
(2)a
1
=19，an+2
=89，S
n+2
＝1350
(a
1
+an+2
)(n+2)
2
2×1350
∴n＋2==25 n=23

19+89
35
a
n+2
=a
25=a
1
＋24d d=
12
∵S
n+2
=
故 这几个数为首项是21
11135
，末项是86，公差为的23个数．

12 1212
(3)∵a
4
＋a
6
＋a
15
＋a
17
=50
又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21
∴a
4
＋a
17
=a
6
＋a
15
=25
S
2 0
=
(a
1
+a
20
)×20
10×(a
4
a
17
)250

2
(4)∵a
n
=33－3n ∴a
1
＝30
S
n
=
(a
1
+a
n
)·n
(633n )n363
n
2
n
2222

321
2< br>3×21
2
(n)
228
∵n∈N，∴当n=10或n=11 时，S
n
取最大值165．
【例10】 求证：前n项和为4n
2
＋3n的数列是等差数列．
证 设这个数列的第n项为a
n
，前n项和为S
n
．

当 n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n-1

∴a
n
＝(4n
2
＋3n)－[4(n－1)
2
＋3(n－1)]
=8n－1
当n=1时，a
1
=S
1
=4＋3=7
由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a
n
=8n－1
又a
n+1
－a
n
＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8
∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．
【例11】 在项数为2n的等差数列中， 各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，
末项与首项之差为27，则n之值是多少？
解 ∵S
偶项
－S
奇项
=nd
∴nd=90－75=15
又由a
2n
－a
1
＝27，即(2n－1)d=27

nd＝15


(2n－1)d＝27
∴n=5

【例12】 在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＝25，S
9
＝S
17
，问数列前多少项和 最大，
并求出最大值．
解法一 建立S
n
关于n的函数，运用函数思想，求最大值．
根据题意：S
17=17a
1
＋
17×169×8
d，S
9
＝9a
1
＋d

22
∵a
1
=25，S
17
＝S
9
解得d＝－2
∴S
n
＝25n＋
n(n1)
(－2)=－n2
＋26n=－(n－13)
2
＋169

2
∴当n=13时，S
n
最大，最大值S
13
＝169
解法二 因为a
1
=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{a
n
}是递减等

a
n
≥0
差数列，若使前n项和最大，只需解

，可解出 n．


a
n+1
≤0
∵a
1
＝25，S
9
＝S
17

∴9×25＋
9×817×1 6
d=17×25＋d，解得d=－2

22
∴a
n
=25＋(n－1)(－2)=－2n＋27

－2n＋27≥0

n≤13.5
∴



∴n =13


－2(n＋1)＋27≥0

n≥12.5
即前 13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S
13
=169．
解法三 利用S
9
=S
17
寻找相邻项的关系．
由题意S
9
=S
17
得a
10
＋a
11
＋a
12
＋ …＋a
17
=0
而a
10
＋a
17
=a
11
＋a
16
=a
12
＋a
15
=a
13
＋a
14

∴a
13
＋a
14
＝0，a< br>13
=－a
14
∴a
13
≥0，a
14
≤0
∴S
13
=169最大．
解法四 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．
∵{a
n
}是等差数列
∴可设S
n
＝An
2
＋Bn
二次函数y=Ax
2
＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示

∵S
9
＝S
17
，
∴ 对称轴x=
9+17
=13

2
∴取n=13时，S
13
＝169最大