美国人名-端午节的来历20字

二阶等差数列及其通项公式
李清振
青岛城市管理职业学校
一、引子：
在《数列》知识的学习中有一种求数列通项公式类型的题目。
如，试求出下列数列的通项公式：
1
2
3
45
⑴ 、、、、，…
2
3
4
56
1
1
1
1
⑵ - 1、、

、
、

，…
2
3
4
5
1
111
⑶ 、、、，…
1 2
233445
上述数列，都易于通过观察、分析，而总结推断出其通项公式，
分别为
1
1
n
a

，
a

( 1)
，
a

.
n(n1)
n
n1
n
n
n
n
再如等差数列、等比数列，教材中已分别介绍过其通项公式。
但有数列，如：
⑷ 1，2，4，7，11，16，22，…
⑸ 1，3，6，10，15，21，28，…
⑹ 1，3，7，13，21，31，43，…
通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，
但若想轻易写出通项公式却有难处。 < /p>

本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通
项公式，并给出一个 相关定义。
二、 预备知识：
1、 等差数列的定义：如果一个数列
a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
，…，
从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即
a
2
- a
1
= a
3
- a
2
=… = a
n
- a
n-1
= d，则称此数列为等差数列，常数d
叫等差数列的公差。
2、 等差数列的通项公式：a
n
=a
1
+ ( n - 1 ) d，
公 差： d = a
2
- a
1.

三、 二阶等差数列的定义及其通项公式：
a) 定义：如果一个数列
a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
，…， （★）
从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数
列，即 a
2
- a
1
，a
3
- a
2
，a
4
- a
3
，…， a
n
- a
n-1
，…成为一个等差数
列，则称数列（★）为二阶等差数列。
相应地，d =（a
3
- a
2
） - （a
2
- a
1
）= a
3
+ a
1
- 2a
2
称为二阶等差数列的二阶公差。
显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。
其二阶公差分别为1、1、2.
说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数
列称为一阶等差数列.

⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系：
二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯
定是二阶等差数列。
b) 二阶等差数列的通项公式：
设数列a
1
，a
2
，a
3，…，a
n
，…是一个二阶等差数列，为了书
写的方便，我们记数列
a
2
- a
1
，a
3
- a
2
，a
4
- a
3
，…，a
n
- a
n-1
，…
为 b
1
, b
2
, b
3
, …，b
n-1
, …， (☆)
即记b
n
= a
n+1
- a
n
， (n≥1，n∈Z)
则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。
显然，对于数列(☆)，d = b
2
- b
1
= a
1
+ a
3
- 2a
2
，
根据等差数列的通项公式,则有
b
n
= a
n+1
- a
n
= b
1
+ (n-1) d，（n≥1,n∈Z）
由此得，a
n +1
= a
n
+ b
1
+ (n-1) d
依此规律，则有
a
2
= a
1
+ b
1
，

a
3
= a
2
+ b
1
+d，
a
4
= a
3
+ b
1
+2d，
…………………
a
n
= a
n-1
+ b
1
+ (n-2 ) d，
由上面各式左右分别相加，可得

(n1)(n2)
a
n
= a
1
+（n-1）b
1
+（●）
d
，
2
此即为二阶等差数列的通项公式，
其中，b
1
= a
2
- a
1,
［注：b
n
= a
n+1
- a
n
， (n≥1，n∈Z)］
c) 例证：
对于数列⑷，知a
1
=1，b
1
=1，d=1，则由公式（●） 可得，a
n
=1+
(n1)(n2)
n
（n-1）×1+=2
代入验证，正确。
同理可求知⑸、⑹的通项公式：
2
n
1
，
2
n
n
2
⑸、a
n
=
2

⑹、an = n
2
-n+1
由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。
读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式：
⑺、2、2、5、11、20、32、47，…