观音图片-初级会计实务

第六讲：等差、等比数列的运用
1. 等差数列的定义与性质
定义：
a
n1
a
n
d
（
d
为常数），
a
n
a
1


n1

d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
2Axy

前n
项和
S
n


a
1
a
n

n
na
2
1

n

n1< br>
d

2
性质：

a
n

是等差数列
（1）若
mnpq
，则
a
m
a
n
a
p< br>a
q
；

（2）数列

a
2n1

,

a
2n

,

a
2n 1

仍为等差数列，
S
n
，S
2n
S
n
，S
3n
S
2n
……
仍为等差数列，
公差为n
2
d
；
（3）若三个成等差数列，可设为
ad，a，ad

（4）若
a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
a
m
S
2m1


b
m
T
2m1
（5）

a
n

为等差数列
S
n
an
2
bn
（
a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二次函数）
S
n
的最值可求二次函数
S
n
an
2
bn
的最值；或者求出

a
n

中的正、负分界项，

a
n< br>0
即：当
a
1
0，d0
，解不等式组

可得
S
n
达到最大值时的
n
值.

a
n1
0

a
n
0
当
a
1
0，d0
，由

可得
S
n
达到最小值时的
n< br>值.
a0

n1
（6） 项数为偶数
2n
的等差数列

a
n

，
有
S
2n
n(a
1
a
2n
)n(a
2
a
2n1
)n(a
n
a
n1
)(a
n
,a
n1
为中间两项)

S
偶
S< br>奇
nd
，
S
奇
S
偶

a
n
.
a
n1
，
有 （7）项数为奇数
2n1
的等差数列

a
n

S
2n1
(2n1)a
n
(a
n
为中间项)
，

S
奇
奇
S
偶
a
n
，
S
S
n
偶
n1
.
2. 等比数列的定义与性质
定义 ：
a
n1
a
q
（
q
为常数，
q0< br>），
a
n
a
1
q
n1
n
.
等比中项：
x、G、y
成等比数列
G
2
xy，或
Gxy
.


na
1
(q
前
n
项和：
S

1)
n


a< br>
1

1q
n


1q
(q 1)
（要注意！）
性质：

a
n

是等比数列
（1）若
mnpq
，则
a
m
·a
n
a
p
·a
q

（2）
S
n
，S
2n
S
n
，S
3n
S
2n
……
仍为等 比数列,公比为
q
n
.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n1
时，
a
1
S
1
；
n2
时，
a
n
S
n
S
n1
.

3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列

a
111
n

，
2
a
1

22
a
2
……
2
n
a
n
2n5
，求
a
n

解
n1
时，
1
2
a
1
215
，∴
a
1
14

n2
时，
1
2
a
11
1

2< br>2
a
2
……
2
n1
a
n1
2n15

①—②得：
12
n
a
n1

14(n1)
n
2
，∴
a
n
2
，∴
a
n



2
n1
(n2)

［练习］数列

a
5
n

满足
S
n
S
n1

3
a
n1
，a
1
4
，求
a
n

注意到
a
n1
n1
S
n1
S
n
，代入得
S
S
4
又
S
1
4
， ∴

S
n

是等比数列，
n
；
n2时，
a
n
S
n
S
n1
……3·4< br>n1

①
②
S
n
4
n

（2）叠乘法
a
n
如：数列

a
n

中，
a
1
3，
n1

，求a
n

a
n
n1
解
a
a
2
a
3
12n1
3
a
1
·……
n
·……
，∴
n

又
a
1
3
，∴a
n

a
1
a
2
a
n1
2 3n
n
.
a
1
n
（3）等差型递推公式
由a
n
a
n1
f(n)，a
1
a
0，求
a
n
，用迭加法

a
3
a
2
f(3)


n2
时，

两边相加得
a
n
a
1
f(2)f(3)……f(n)

…… ……

a
n
a
n1
f(n)

< br>∴
a
n
a
0
f(2)f(3)……f(n)

（4）等比型递推公式
a
n
ca
n1
d
（
c、d
为常数，
c0，c1，d0
）
a
2a
1
f(2)
可转化为等比数列，设
a
n
xc

a
n1
x

a
n
ca
n1


c1

x

令
(c1)x d
，∴
x
d

d
d

，c
为 公比的等比数列 ，∴

a
n


是首项为
a1

c1
c1
c1

∴
a
n

dd

n1
d

n1
d
 


a
1
·caac
，∴
n

1

c1

c1

c1
c1

（5）倒数法
如：
a
1
1，a
n 1

2a
n
，求
a
n

a
n< br>2
由已知得：
a2
111111

n

，∴


a
n1
2a
n
2a
na
n1
a
n
2

1

111
1
1
·

n1

， ∴

为等差 数列，
1
，公差为，∴
1

n1

an
22
2
a
1

a
n

∴< br>a
n

2
n1

(附：公式法、利 用
a
n


S
1
(n1)
S
n
S
n1
(n2)
、累加法、累乘法.构造等差或等比
a
n1
pa
n
q
或
a
n1
pa
n
f(n)
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：

a
n

是公差为
d
的等差数列，求

1

aa
k1
kk1
n
解：由
n
111

11






d0
< br>
a
k
·a
k1
a
k

a
k
d

d

a
k
a
k1

n

111

11

1

11


11

1






∴











……




aadaadaaaaaa
k1
kk1
k1
k1
2

3

n1



k

2

n


1
1

1 1






d

a
1
a
n1

［练习］求和：
1
111

……
12123123……n
1

a
n
…………，S
n
2
n1
（2）错位相减法
若

a
n

为等差数列，

b
n

为等比数列，求数列

a
n
b
n

（差比 数列）前
n
项和，可由
S
n
qS
n
，
求
S
n
，其中
q
为

b
n

的公比.
如：
S
n
12x3x
2
4x
3
……nx
n1


①
x·S
n
x2x
2
3x
3
4 x
4
……

n1

x
n1
nx
n

①—②

1x

S
n
 1xx
2
……x
n1
nx
n

②
x1
时，
S
n
1x

nx

n

1x

2
n

n1
，
x1
时，
S
n
123……n

1x
2
n
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

S
n
a
1
a
2
……a
n1
a
n


相加2S
n


a
1
a
n< br>


a
2
a
n1

…< br>
a
1
a
n

…
S
n
a
n
a
n1
……a
2
a
1

x
2
［练习］已知
f(x)
，则
2
1x
1

f(1)f(2)f

f(3)
< br>2


1

f

f(4)

3

2

1

f




4


1


x
2
x
2
1
x


1


由
f(x)f

1
2
222
x1x1x1x

1

1


x



∴原式
f(1)

f(2)


1


f




f(3)

2



1


f




f(4)

3


1

1

1
f


1113

2

4


2
求数列的前n项和
1. 倒序相加法：如果一个数列{a
n
}，与首末项等距的两项之和等于首末两项< br>之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，
这一求和方法称为倒序 相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索
其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类 知识的工具，例如：
等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。


2. 公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和S
n
可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的
应用范围，确定公式适用于 这个数列之后，再计算。

3. 裂项相消法：是将数列的一项拆 成两项或多项，使得前后项相抵消，留下
有限项，从而求出数列的前n项和。


4. 错位相减法：是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相
乘的形式。即若 在数列{a
n
·b
n
}中，{a
n
}成等差数列，{bn
}成等比数列，在和
式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和 。


5. 迭加法：主要应用于数列{a
n
}满足a
n +1
=a
n
+f(n)，其中f(n)是等差数列或等
比数列的条件下，可把 这个式子变成a
n+1
-a
n
=f(n)，代入各项，得到一系列
式 子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a
n
，从而求出S
n
。


6. 分组求和法：是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这< br>类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，
再将其合并。


7. 构造法：是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，
构造 出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项
和。)

8.