上海汽车博物馆-小学教师个人小结

第13讲 等差、等比数列的公式与方法

（一）知识归纳：
1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列
{a
n
}满足 a
n1
a
n
d(常数),则{a
n
}
称等差 数列；2°.
通项公式：
a
n
a
1
(n1)da< br>k
(nk)d;
3°.前n项和公式：
公式：
S
n
n(a
1
a
n
)
n(n1)
na1
d.

22
②等比数列：1°.定义若数列
{a
n
}满足
a
n1
，则
{a
n
}
称等比数列 ；2°.通
q
（常数）
a
n
项公式：
a
n
a
1
q
q=1时
S
n
na
1
.
n1
a
k
q
nk
a
1
a< br>n
q
a
1
(1q
n
)
(q1),当
;
3°.前n项和公式：
S
n

1q1q
2．简单性质：
①首尾项性质：设数列
{a
n
}:a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
,

1°.若< br>{a
n
}
是等差数列，则
a
1

a
n

a
2

a
n1

a
3
a
n2

;

2°.若
{a
n
}
是等比数列，则
a
1

a
n

a
2

a
n1

a
3

an2

.

②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数 列，则A称a、b的等差中项，且
A
ab
;

2
2°. 设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且
Gab.

③设p、q、r、s为正整数，且
pqrs,

1°. 若
{ a
n
}
是等差数列，则
a
p
a
q
a< br>r
a
s
;

2°. 若
{a
n
}
是等比数列，则
a
p
a
q
a
r
a< br>s
;

④顺次n项和性质：


1

1°.若
{a
n
}
是公差为d的等差数列，
则
列 ；

a,

a,

a
kk
k1kn 1k2n1
n2n3n
n2n3n
k
组成公差为n
2
d的等差数
2°. 若
{a
n
}
是公差为q的等比数列，
则

a,

a,

a
kk
k1kn1 k2n1
k
组成公差为q
n
的等比数
列.（注意：当q=－1， n为偶数时这个结论不成立）
⑤若
{a
n
}
是等比数列，
则顺次n项的乘积：
a
1
a
2
a
n
,a
n1
a
n2
a
2n
,a
2n1
a
2n2
a
3n
组成公比这
q
的等比
数列.
⑥若
{a
n
}
是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数 ，则
S
n
na
中
且S
奇
S
偶
a
中
(注:a
中
指中项,即a
中
a
n1,
而S奇、
2
n
2
S
偶
指所有奇数项、所有偶 数项的和）；
2°.若n为偶数，则
S
偶
S
奇

nd
.

2
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要 正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数
列的通项公式是项n的一次函数a
n=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的
没有常数项的二次函数S
n
=an
2
+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“S
n=a(1-q
n
)
的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2 ．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，
绝对不能用课外的 需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列 ，可设
三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a ,aq,aq
2
(或
a
，a,aq)”
q
③四数成等差数列 ，可设四数为“
a,am,a2m,a3m(或a3m,am,am,a3m);
”
④四数成等比数列，可设四数为“
a,aq,aq,aq(或
验还很多，应在学习 中总结经验.
[例1]解答下述问题：
（Ⅰ）已知

23
aa< br>3
,,aq,aq),
”等等；类似的经
3
q
q
111
,,
成等差数列，求证：
abc
2

bccaab
,,
成等差数列；
abc
bbb
（2）
a,,c
成等比数列.
222
（1）
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，
112ac 2
2acb(ac),
acbacb
bcabbcc
2
a
2
abb(ac)a
2
c
2
(1)< br>

acacac
2(ac)
2
2(ac)
.
b(ac)b

bccaab
,,成等差数列;
a bc
bbbb
2
b
(2)(a)(c)ac(ac)()< br>2
,
22242
bbb
a,,c成等比数列.
222

（Ⅱ）设数列
{a
n
}的前n项和为S
n
,且满 足a
2
1,2S
n
n(a
n
1),

（1）求证：
{a
n
}
是等差数列；
（2）若数列
{b
n
}满足:

b
1
3 b
2
5b
3
(2n1)b
n
2
n1
a
n
6

求证：{
b
n
}是等比数列.
[解析]（1）


2S
n
n(a
n
 1)

2S
n1
(n1)(a
n1
1)
①

②
②－①得
2a
n
(n1)a
n1
na
n
1(n1)a
n1
na
n
1 ,

令n1得a
1
1,

a
2
1 ,令n2得a
3
3,
猜想a
n
2n3,用数学归纳法证明 :

时,a
1
1213,a
2
1223 ,结论正确;
1）当
n1
2）
假设nk(k2)时结论正确,即a< br>k
2k3,


3


当
nk1
时
,

(k1)a
k1
ka
k
1k(2k3)12k
2
3k1(2k1)(k1)


k2,a
k1
2k12(k1)3,结论正确.

由1）、2）知，
当nN

时,a
n
2n3,

a
n1
a
n
(2n1)(2n3)2,即{a
n
}是公差为2的等差数列;
(2)设T
n
2
n1a
n
62
n1
(2n3)6,
当n2时(2n 1)b
n
T
n
T
n1
2
n1
( 2n3)2
n
(2n5)
(2n1)2
n
,b
n
2
n
(n2),
而b
1
4(1)62, 也适合,
当nN

时b
n
2
n
,

b
n1
2,即{b
n
}是公比为2的等比数列.
bn

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、 根
据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.
[例2]解答下述问题：
（Ⅰ） 等差数列的前n项和为
S
n
,若S
P

求
S
PQ
(用P,Q表示).

[解析]选择公式
S
n
a n
2
bn
做比较好，但也可以考虑用性质完成.
QP
,S
Q
(PQ),

PQ

Q< br>2
aPbP

P

2
[解法一]设
S< br>n
anbn,


P
aQ
2
bQ


Q
①


②

Q
2
P
2
①－②得：
(PQ)[a(PQ)b],
PQ,

PQ

PQ,a(PQ)b
PQ,
PQ
(PQ)
.
PQ
4
2

S
PQ
(PQ)[a(PQ)b]

[解法二]不妨设
PQ,
QP
S
P
S
Q
a
Q1
a
Q2


a
P
< br>PQ

(PQ)(a
Q1
a
P
)
2< br>(PQ)
.
PQ
2

PQ
(PQ)(a
1
a
PQ
)
PQ
S
PQ
,
PQ2PQ

S
PQ

（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数， 且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
1282
，求项数n.
[解 析]设公比为
q,

n1
2
a
1
a
3< br>a
5

a
n
1024
42

a
2
a
4

a
n1
1282
a
1
q42(1)

35
2
5
2
而a
1
a
2
a
3
a
n
102412822
(a
1
q

n1
n
2
35
2a
1
q
n
35
2
123
(n1 )2
35
2
)2,将(1)代入得(2)2,

5n35,得n7.
22
（Ⅲ）等差数列{a
n
}中，公差d≠0，在此数列 中依次取出部分项组成的数列：
a
k
1
,a
k
2
, ,a
k
n
恰为等比数列,其中k
1
1,k
2
 5,k
3
17,

求数列
{k
n
}的前n项和.

[解析]
a1
,a
5
,a
17
成等比数列,a
5
a< br>1
a
17
,

2
(a
1
4d )
2
a
1
(a
1
16d)d(a
1
2d)0

d0,a
1
2d,
数列{a
k< br>n
}的公比q
a
5
a
1
4d
3,< br>a
1
a
1
①
②

a
k
n
a
1
3
n1
2d3
n1
而a
k
n
a
1
(k
n
1)d2d(k
n< br>1)d
由
①，②
得k
n
23
n1
1,
3
n
1
{k
n
}的前n项和S
n
2n3
n
n1.
31

5

[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题
的基本功.
[例3]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将 此等差数列的第二项
减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，
设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有
22


(ad)(ad32)a

d32d32a0


22


(a4)(ad)(ad)


8a 16d
826
3d
2
32d640,d8或d,得a10 或,

39
226338
原三数为2,10,50或,,.
999
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，
求此四 数.
[解析]设此四数为
a15,a5,a5,a15(a15)
, < br>(a15
2
)(a5)
2
(a5)
2
 (a15)
2
(2m)
2
(mN

)
4a
2
5004m
2
(ma)(ma)125,

1251125525,
ma与ma均为正整数,且mama,

ma1

ma2




ma12 5

ma25
解得
a62或a12(不合),
所求四数 为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求 若干个数成等
差、等比数列的问题中是主要方法.











6

《训练题》

一、选择题：
11
m
2
n
2
22
的值为
1．三个数
,1,成等差数列,又m,1,n成等比数列,
则
mn
mn
A．－1或3 B．－3或1 C．1或3 D．－3或－1

（ ）
2． 在等比数列
{a
n
}中,a
7
a
11
6,a< br>4
a
14
5,则
A．
a
20
=
a
10
1

5
（ ）
23
或

32
B．

23
或

32
C．
5或
D．
或
1
3
1

2
（ ） 3．等比数列
{a
n
}前n项乘积记为Mn
,若M
10
20,M
20
10,则M
30


A．1000 B．40 C．
25

4
D．
1

8
4．已知等差数列5，8，11，„与3，7，11，„都有100项，则它们相同项的个数 （ ）
A．25 B．26 C．33 D．34
5．已知一个等差数列的前5项 的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则
此数列的项数为 （ ）
A．12项 B．13项 C．14项 D．15项
6．若两个等差数列
{a
n
},{b
n
}的前n项和分别为A
n
和B
n,且满足
A
n
7n1
(nN

)

B
n
4n27
（ ） 则
a
11
的值是

b
11
7

4

A．B．
3

2
C．
4

3
D．
78

71
二、填空题：
7．在等比数列
{a
n
}中,a
5
a
4
108,a
2
a
1
4,则a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
的值为 .
8．若a、b、c成 等比数列，a
、
x
、
b成等差数列，b
、
y
、c成等差数列，则
ac

.
xy
9．数 列
{a
n
}
是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项恰是另一等比数 列
{b
n
}
的第6，

7

8，10项，则
{b
n
}
的公比是 .
10．在等差数列
{a
n
}中,a
p
q,a
q
p,则a
pq

.
在各项为正的等比数列
{a
n
}中,a
mn
p,a
m n
q,则a
m

.
三、解答题：
11．设等差数列
{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S6
36,S
n6
144(n6),S
n
324,求a
n
的值.
12．设等比数列的各项为正数，前n项的和为2，这n项后面的 2n项的和为12，求上述3n
项后面的3n项之和.
13．已知等差数列
{an
},a
1
0,且S
6
S
4
,

（Ⅰ）当n为何值时，S
n
最小？
（Ⅱ）当n为何值时，
S
n
0?S
n
0?S
n
0?

（Ⅲ）
若a
7
a
8
72,问{a
n
}中有多少项满足9 a
n
260.

14．有五个整数成等比数列，且第一个数为正数，若这五 个整数的和为205，而它们的倒数
之和为
205
，求此五数.
25615．数列
{a
n
}的前n项和为S
n
,对任意的正整数n,a
n
0,


若S
n1
S
n< br>ka
n1
(|k|1),问数列{a
n
}是否为等比数列?说明 理由.

















8

《答案与解析》

一、1．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C
二、7.242 8.2, 9.

2
10.0,
pq

3
11．


①

a
1
a
2


a
6
36
②

a
n
a
n1


a
n5
S
n
S
n6
180
,
①+②
得6(a
1
a
n
)216


a1
a
2


a
6
36


,两式相减得612d144d2,


a
13
a
14


a
18
180
代入(1)得a
1
1,a
n
a
18
35.
a
1< br>(q
n
1)
12．（1）
当q1时,S
n
a (q
n
1),

q1
n


a(q 1)2
①


3n


a(q1)14②
,
①
得q
n
2,代入
①
得a2,

②
S
6n
a(q
6n
1)126,S
6n
S
3n
112;

（2）当q=1时，有na
1
=2及2na
1
=12，矛盾；
综上，所求前3n项后面的3n项的和为112.
（另解）设公比为
q,且W
1


k1
n
a
k
,W
2

kn1

ak,,W
2n
6

k5n1

ak,

6n
W
1
,W
2
,

,W
6
成公比为q
n
的等比数列,

W
1
2

W
1
2
n




q2,
n2n

W
2
W
3< br>12

W
1
(qq)12
所求和sW
4< br>W
5
W
6
W
1
(q
3n
q
4n
q
5n
)112.
13．（Ⅰ）
S
6S
4
a
1


9
d0d0,

2
S
n




d
2
d
n5nd[(n5)
2
25],当n5时S
n
最小;

22
9

d
n(n10),当n10时S
n
0;当n10时S
n
0;当1n10时S
n
0.

2
d
（Ⅲ）
a
7
a
8
72,S
14
772,而S
14
144,得d18,

2
（Ⅱ）
S
n
a
n
18n99,918n992605n19,共有15项满足条件.
14．设五数为

aa
2
,,a,aq,aq,

2
q
q
 首项为正数,且第一,三,五项同号,a0且aN

,

11
2
a(qq)205

q
2
q

由条件得


1
(q
2
q
1

1)
205

q
q
2
256

a①
2
得a256,a0,a16,
②
①

②

111891
2
1221
q(q)(q ),
2
q16qq16
q
11317
令qx,得16x2
16x2210x或x,
q44
13
(1)若x,则 4q
2
13q40,方程无有理解,不合;

4
171
(2)若x,则4q
2
17q40q或q4,
44
1
q时,得所求五数为256,64,16,4,1;
4
q4时,得所求五 数为1,4,16,64,256.
代入
①
得q
2

15．
S
n1
S
n
ka
n1
①
,而S
n1
S
n
a
n1
②
,
①+②
得2S
n1

(k1)a
n1
,2a
n1
2S
n1
2S
n
(k1) a
n1
(k1)a
n

(k1)a
n1
(k1)a
n
,

k10,
a
n1
k 1
,而S
2
S
1
ka
2

a
n
k1
a
2
2k12
,若{a
n}为等比数列,则k1,矛盾,
a
1
k1k1k1



10

故
故{a
n
}不是等比 数列.(另)

2
a
n1
S
n1
aS
2
,
3

3
a
1
a
3
a
1
a
2
a
2
①
a
n
S
n
a
2
S
2

若 {a
n
}为等比,则a
2
a
1
a
3
②
,由
①，②
得a
1
a
2
0,矛盾.






11