魔兽3冰封王座-得道者多助失道者寡助

2.2 等差数列概念、通项公式、性质
第1课时 等差数列的概念及通项公式
题型一 等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
跟踪训练1 数列{a
n
}的通项公式a
n
＝2n＋5(n∈N＋
)，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
题型二 等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．


跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．


题型三 等差数列通项公式的求法及应用
例3 在等差数列{a
n
}中，
(1)若a
5
＝15，a
17< br>＝39，试判断91是否为此数列中的项．
(2)若a
2
＝11，a
8
＝5，求a
10
.


跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？



等差数列的判定与证明
典例1 已知数列{a
n
}满 足a
n
＋
1
＝3a
n
＋3
n
，且a
1
＝1.

a
n

(1)证明：数列

3
n

是等差数列；


(2)求数列{a
n
}的通项公式．


典例2 已知数列{a
n
}：a
1
＝a
2
＝1，a
n
＝a
n
－
1
＋2(n≥3)．
(1)判断数列{a
n
}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{a
n
}的通项公式．



【课堂练习】
1．下列数列不是等差数列的是( )
A．1,1,1,1,1
1245
C.，，1，，
3333
B．4,7,10,13,16
D．－3，－2，－1,1,2
2．已知等差数列{a
n
}的通项公式a< br>n
＝3－2n(n∈N
＋
)，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．若数列{a
n
}满足3a
n
＋
1
＝3a
n
＋1，则数列{an
}是( )
1
A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列
3
1
C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列
3
5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )
A．92 B．47 C．46 D．45

1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)a
n＋
1
－a
n
＝d(d为常数，n∈N
＋
)⇔{a
n
}是等差数列；
(2)2a
n
＋
1
＝a
n< br>＋a
n
＋
2
(n∈N
＋
)⇔{a
n
}是等差数列；
(3)a
n
＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
＋
)⇔{a
n
}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a
1
和公 差d，就可以求出通项公式，反过来，在
a
1
，d，n，a
n
四个量 中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
【巩固提升】
一、选择题
1．设数列{a
n
}(n∈N
＋
)是公差为d的等差数列，若a
2< br>＝4，a
4
＝6，则d等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( )
A．52 B．62 C．－62 D．－52 < br>3．在数列{a
n
}中，a
1
＝2,2a
n
＋
1
－2a
n
＝1，则a
101
的值为( )

A．52 B．51 C．50 D．49
4．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29 C．39 D．52
5．已知在等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
8
＝22，a
6
＝7，则a5
等于( )
A．15 B．22 C7 D．29
6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项
C．第9项
B．第8项
D．第10项
a
7．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于( )
b
1112
A. B. C. D.
4233

1

8．在数列{a
n
}中，a
2
＝2，a
6
＝0，且数列

a＋1

是 等差数列，则a
4
等于( )

n

1111
A. B. C. D.
2346
二、填空题
9．若一个等差数列 的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为__________________．

10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面 3节的容积共4升，则第5
节的容积为________升．

11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．

12. 已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n
－
1
－a
n
＝a
n
a
n
－
1
(n≥2，n∈N
＋
)，则a
10
＝________.

三、解答题
13．已知{a
n
}为等差数列，且a
3< br>＝－6，a
6
＝0，求{a
n
}的通项公式．



6a
n
－4
14．已知数列{a
n
}满足an
＋
1
＝，且a
1
＝3(n∈N
＋
)． a
n
＋2

1

(1)证明：数列

a－2

是等差数列；

n

(2)求数列{a
n
}的通项公式．





15．已知数列{a
n
}满足：a
1
＝10，a
2
＝5，a
n
－a
n
＋
2
＝2(n∈N
＋
)，求数列{a
n
}的通项公式．

2.2.1答案
例1.由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．
跟踪训练1 .A
例2. ∵－1，
a
，
b
，
c
，7成等差数列，
∴
b
是－1与7的等差中项，
－1＋7
∴
b
＝＝3.
2
－1＋3
又
a
是－1与3的等差中项，∴
a
＝＝1.
2
3＋7
又
c
是3与7的等差中项，∴
c
＝＝5.
2
∴该数列为－1,1,3,5,7.
跟踪训练2 解 由
m
和 2
n
的等差中项为4，得
m
＋2
n
＝8.
又由2
m
和
n
的等差中项为5，得2
m
＋
n
＝1 0.
两式相加，得3
m
＋3
n
＝18，即
m
＋< br>n
＝6.
所以
m
和
n
的等差中项为
m＋
n
2
＝3.


a
1
＋4
d
＝15.
例3 解 (1 )因为


a
1
＋16
d
＝39，



a
1
＝7，
解得


d
＝2，



所以
a
n
＝7＋2(n
－1)＝2
n
＋5.
令2
n
＋5＝91，得
n
＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项．


a
1
＋
d
＝11，
(2)设{
a
n
}的公差为
d
，则


a
1
＋7
d
＝5，




a
1
＝12，
解得


d< br>＝－1.



∴
a
n
＝12＋(
n
－1)×(－1)＝13－
n
，
所以
a
10
＝13－10＝3.
跟踪训练3 解 (1)由
a
1
＝8，
a
2
＝5，得
d
＝
a
2
－
a
1
＝5－8＝－3，
由
n
＝20，得< br>a
20
＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由
a
1
＝－5，
d
＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为
a
n
＝－5＋(
n
－1)×(－4)＝－4
n
－1.
由题意，令－401＝－4
n
－1，得
n
＝100，
即－401是这个数列的第100项．
典例1 (1)证明 由
a
n＋1
＝3
a
n
＋3，两边同时除以3
nn
＋1
，
a
n
＋1
a
n
1
a
n
＋1< br>a
n
1
得
n
＋1
＝
n
＋，即
n
＋1
－
n
＝.
333333

a
n

a
1
11
由等差数列的定义知，数列

n

是以＝为首项，为公差的等差数列．
333

3

a
n
11
n
(2)解 由(1)知
n
＝＋(
n
－1)×＝，
3333
故
a
n
＝
n
·3，
n
∈N
＋
.
n
-1

典例2 解 (1)当
n
≥3时，
a
n
＝
a
n
－1
＋2，即
a
n
－< br>a
n
－1
＝2，
而
a
2
－
a1
＝0不满足
a
n
－
a
n
－1
＝2(
n
≥3)，
∴{
a
n
}不是等差数列．
(2)当
n
≥2时，
a
n
是等差数列，公差为2.
当
n
≥2时，
a
n
＝1＋2(
n
－2)＝2n
－3，
又
a
1
＝1不适合上式，

< br>1，
n
＝1，
∴{
a
n
}的通项公式为
a< br>n
＝



2
n
－3，
n
≥2.


课堂练习
DCBBC
巩固提升
1—8 DAACABCA
9.
a
n
＝＋1
4
67
10.
66
n

8

11.

，3



3

1
12.
10
13. 解 设数列{
a
n
}的公差为
d
，


a
1
＋2
d
＝－6，
由已知得



a
1
＋5
d
＝0，


a
1
＝－10，
解得



d
＝ 2，




所以数列{
a
n
}的通项公 式为
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
＝－10＋(
n
－1)×2＝2
n
－12.
14． (1)证明 由
11
a
n
＋2
＝＝
a
n
＋1
－26
a
n
－46
a
n
－4－2
a
n
＋2
－2
a
n
＋2
＝
得
a
n
＋2
a
n
－2＋411
＝＝＋，
4a
n
－84
a
n
－2
a
n
－24
111
－＝，
n
∈N
＋
，
a
n
＋1
－2
a
n
－24
1


是等差数列．

a
n
－2


故数列

(2) 解 由(1)知
111
n
＋3
＝＋(
n
－1)×＝， a
n
－2
a
1
－244
2
n
＋10< br>所以
a
n
＝，
n
∈N
＋
.
n
＋3
15.解 由
a
n
－
a
n
＋2
＝2知，{
a
n
}的奇数项，偶数项
分别构成公差为－2的等差数列．
当
n
＝2
k
－1时，2
k
＝
n
＋1，
a
2
k
－1
＝a
1
＋(
k
－1)·(－2)＝12－2
k
，
∴
a
n
＝12－(
n
＋1)＝11－
n
(
n
为奇数)．

当
n
＝2
k
时，
a
2
k
＝
a
2
＋(
k
－1)·(－2)＝ 5－2
k
＋2＝7－2
k
.
∴
a
n
＝7－
n
(
n
为偶数)．


7－
n
，
n
为偶数，
∴
a
n
＝


11－
n
，
n
为奇数.









2.2第2课时 等差数列的性质
题型一 a
n
＝a
m
＋(n－m)d的应用
例1 在等差数列{a
n
}中，已知a
2
＝5，a
8
＝17，求数列的公差及通项公式．


跟踪训练1 {b
n
}为等差数列，若b
3
＝ －2，b
10
＝12，则b
8
＝________.


题型二 等差数列性质的应用
例2 已知等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
4
＋a
7
＝15，a
2
a
4
a
6
＝45，求此数列的通项公式．


引申探究
1 ．在例2中，不难验证a
1
＋a
4
＋a
7
＝a
2< br>＋a
4
＋a
6
，那么，在等差数列{a
n
}中，若m ＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，
s∈N
＋
，是否有a
m
＋a
n
＋a
p
＝a
q
＋a
r
＋a
s
？

2．在等差数列{a
n
}中，已知a
3
＋a
8
＝10，则3a
5
＋a
7
＝________.


跟踪训练2 在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
4
＋a
7
＝39，a
2
＋a
5
＋a
8
＝33，求a
3
＋a
6
＋a
9
的值．




题型三 等差数列的设法与求解
例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．

跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．





数列问题如何选择运算方法
典例 等差数列{a
n
} 中，a
3
＋a
7
＋2a
15
＝40，求a
10.




【课堂练习】
1．在等差数列{an
}中，已知a
3
＝10，a
8
＝－20，则公差d等于( )
A．3 B．－6 C．4 D．－3 < br>2．在等差数列{a
n
}中，已知a
4
＝2，a
8
＝ 14，则a
15
等于( )
A．32 B．－32 C．35 D．－35
3．等差数列{a
n
}中，a
4
＋a
5
＝15，a
7
＝12，则a
2
等于( )
A．3
3
C．
2
B．－3
3
D．－
2
4．设公差为－2的等差数列{a
n
}，如果a
1
＋a
4
＋a
7
＋…＋a
97
＝50，那么a
3
＋a6
＋a
9
＋…＋a
99
等于( )
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82
5．在等差数列{a
n
}中，已知a
2
＋2a
8
＋a
14
＝120，则2 a
9
－a
10
＝________.


1．在 等差数列{a
n
}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是 等差数列．
2．在等差数列{a
n
}中，首项a
1
与公差d是两个 最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，
则均可根据a
1
，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
【巩固提升】
一、选择题
1．已知数列{a
n
}为等差数列，a
3
＝6 ，a
9
＝18，则公差d为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
2．在等差数列{a
n
}中，若a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＝4 50，则a
2
＋a
8
的值等于( )
A．45 B．75 C．180 D．300
3．已知等差数列{an
}的公差为d(d≠0)，且a
3
＋a
6
＋a
10< br>＋a
13
＝32，若a
m
＝8，则m的值为( )
A．12 B．8 C．6 D．4
4．等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
7
－a
10
＝－1，a
11
－a
4
＝21.则a
7
等于 ( )

A．7 B．10 C．20 D．30
5．已知数列{a
n
}为等差数列且a
1
＋a
7
＋a
13
＝4π，则tan(a
2
＋a
12
)的值 为( )
A.3 B．±3
C．－
3
3
D．－3
6．已知数列



a
n

n


是等差数列，且a
3
＝2，a
15
＝30，则a
9
等于( )
A．12 B．24 C．16 D．32
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax
2
－2bx＋c的图象 与x轴的交点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
8．已知{a
n
}是公差为正数的等差数列， a
1
＋a
2
＋a
3
＝15，a
1
a
2
a
3
＝80，则a
11
＋a
12
＋a
13
的值为(
A．105 B．120 C．90 D．75
二、填空题
9．在等差数列{a
n
}中，已知a
m＝n，a
n
＝m，m，n∈N
＋
，则a
m
＋
n
的值为________．
10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.

第1列 第2列 第3列 …
第1行
1 2 3
…
第2行
2 4 6
…
第3行
3 6 9
…
… … … … …
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是__________．
12．若等差数列{an
}满足a
n
＋
1
＋a
n
＝4n－3，则{a
n
}的通项公式为__________________．

三、解答题
13．在等差数列{a
n
}中，
(1)若a
2
＋a
4
＋a
6
＋a
8
＋a
10
＝80，求a
7
－
1
2
a
8
；
(2)已知a
1
＋2a
8
＋a
15
＝96，求2a
9
－a
10< br>.






14．已知{a
n
}为等差数列，且a
1
＋a
3
＋a
5
＝18，a
2
＋a
4
＋a
6
＝24.
(1)求a
20
的值；
(2)若b
n
＝
341< br>2
a
n
－
2
，试判断数列{b
n
}从哪一项 开始大于0.


)

15．已知两个等差数列{a
n
}：5,8,11，…与{b
n
}：3,7, 11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值
的项？

2.2.2答案
例1 在等差数列{
a
n
}中，已知
a< br>2
＝5，
a
8
＝17，求数列的公差及通项公式．
解 因为
a
8
＝
a
2
＋(8－2)
d
，所以17＝ 5＋6
d
，解得
d
＝2.
又因为
a
n
＝
a
2
＋(
n
－2)
d
，所以
a
n
＝5＋(
n
－2)×2＝2
n
＋1.
跟踪训练1 . 8
例2 解 方法一 因为
a
1
＋
a
7
＝2
a
4
，
a
1
＋
a
4
＋
a
7
＝3
a
4
＝15，
所以
a
4
＝5.
又因为
a
2
a
4
a
6
＝45，所以
a
2
a
6
＝9，
所以(
a
4
－2d
)(
a
4
＋2
d
)＝9，即(5－2
d)(5＋2
d
)＝9，
解得
d
＝±2.
若
d
＝2，
a
n
＝
a
4
＋(
n
－4 )
d
＝2
n
－3，
n
∈N
＋
；
若
d
＝－2，
a
n
＝
a
4
＋(
n
－4)
d
＝13－2
n
，
n
∈N
＋
.
方法二 设等差数列的公差为
d
，
则由
a
1
＋
a
4
＋
a
7
＝15，得
a
1
＋
a
1
＋3
d
＋
a
1
＋6
d< br>＝15，
即
a
1
＋3
d
＝5.
由
a
2
a
4
a
6
＝45，
得(
a
1
＋
d
)(
a
1
＋3
d
)(
a
1
＋5
d
)＝45，
将①代入上式，得
(5－2
d
)×5×(5＋2
d
)＝45，
即(5－2
d
)(5＋2
d
)＝9， ②
①
联立①②解得
a
1
＝－1，
d
＝2或
a
1
＝11，
d
＝－2，
即
a
n
＝－1＋2(
n－1)＝2
n
－3；
或
a
n
＝11－2(
n
－1)＝－2
n
＋13.
引申探究
1．解 设公差为
d
，则
a
m
＝
a
1
＋(
m
－1)< br>d
，
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
，
a
p
＝
a
1
＋(
p
－1)
d
，
a
q
＝
a
1
＋(< br>q
－1)
d
，
a
r
＝
a
1
＋(
r
－1)
d
，
a
s
＝
a
1
＋(
s
－1)
d
，
∴
a
m
＋
a
n
＋
a
p
＝3
a
1
＋(
m
＋
n
＋
p
－3)
d
，
a
q
＋
a
r
＋
a
s
＝3
a
1
＋(
q
＋
r
＋
s
－3)
d
，