三鹿奶-植物的生长过程

求数列通项公式和前n项和的常用方法
一、求数列通项公式的常用方法

1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。
2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。
a
a
2
a
3

n
(a
n
0,n2 )
型如:
a
n1
g(n)a
n

a
1
a
2
a
n1
4.构造新数列: 类型1累加法
a
n1
a
n
f(n)
类型2 累乘法
a
n1
f(n)a
n

3.累乘法:利用
a
n
a
1
类型3
a
n1
pa
n
q
（其中p，q均为常数，
(pq(p1)0 )
）。解法（待定系数法）：把原递
q
，转化为等比数列求解。
1p
n
n
类型4
a
n1
pa
n
q
（其中p，q均为常数，。 （或
a
n1
pa
n
rq
,
(pq(p1) (q1)0)
）
a
1
p
a
n
1
n 1
•
引入其中p，q, r均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以
q< br>，得：
n
q
n1
q
q
n
q
ap1
bb
辅助数列

b
n

（其中
b
n

n
），得：再待定系数法解决。
n1n
q
n
qq
类型5 递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式。(或
S
n
f(a
n
)
)
推公式转化为：
a
n1
tp(a
n
 t)
，其中
t
解法：1.利用
a
n



S
1
(n1)
2.升降标相减法

S
n
S
n1
(n 2)
二、数列求和的常用方法
1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和
（ 1）等差数列求和公式：
S
n

n(a
1
a
n< br>)
n(n1)
na
1
d

22
(q1)

na
1

n
（2）等比数列求和公式：
S
n


a
1
(1q)
a
1
a
n
q

(q1)

1q

1q
2.错位相减法 设数列< br>
a
n

的等比数列，数列

b
n

是等差数列，则求数列

a
n
b
n

的 前
n
项和
S
n
。
(2n)
2
111
111
3.裂项求和法 （1）
a
n

（2）
a
n
1()
等。

(2n1)(2n1)22n12n1
n(n1)nn1
4.分组求和法：对一 类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为
几个等差、等比或常见的数 列，然后分别求和，再将其合并。

5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

1 7

三、数列高考题
1.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分）












已 知等差数列{a
n
}满足a
2
=0，a
6
+a
8< br>= -10
（I）求数列{a
n
}的通项公式； （II）求数列


a
n

的前n项和.
n1


2

a

S1
2... (2014 全国1)已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n，
a
1
=1，
a
n
0
，
a
，其中

为常数.
nn1

n

a

（Ⅰ）证明：
a
；（Ⅱ）是否存在

，使得{
a
n
}为等差数列？并说明理由.
n2

n












2 7

3..（2016年全国III高考）已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
1

a
n
，其中
0
．
（I）证明
{a
n
}
是等比数列，并求其通项公式；
（II）若
S
5











4..（2016年山东高考）已知数列

a
n

的前n 项和S
n
=3n
2
+8n，

b
n
是等差数列，且
a
n
b
n
b
n1
.
31
，求

．
32
(a
n
 1)
n1
（Ⅰ）求数列

b
n

的通项公式；（ Ⅱ）令
c
n
.
求数列

c
n

的前n项和T
n
.
n
(b
n
2)










3 7

5.

(2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）
2
等比数列

a
n

的各项均为正数，且
2a
1
3a2
1,a
3
9a
2
a
6
.
(1)求数列

a
n

的通项公式.
(2)设
b
n
log
3
a
1
log
3
a
2
......log
3
a
n
,
求数列
< br>














1


的前项和.

b
n

6.
(2015全国1) S
n
为数列{a
n
}的前n项和.已知a
n
>0，
}的前n项和 (Ⅰ)求{a
n
}的通项公式：(Ⅱ)设














，求数列
4 7

求数列通项公式和前n项和的常用方法答案


a
1
d0,

a
1
1,
1.（I）设等差数列
{ a
n
}
的公差为d，由已知条件可得

解得

< br>2a12d10,
d1.


1
故数列
{ a
n
}
的通项公式为
a
n
2n.
………………5分
（II）设数列
{
a
n
a
na
2
，即
SaL,故S
1
1
，
} 的前n项和为S
n1
n
n1
n1
2
2
2
S
n
a
1
a
2
a
L
n
.
所以，当
n1
时，
224
2
n
S
n
aaa
aa
1
a
1

2

L

n
n1
n1

n
22
22
n
1112n
1(
L

n1

n< br>)

24
22
12n
1(1
n1
)
n
22
=
a
n
nn
n
{}的前n项和S.
所以综上 ，数列
.S.
n
n
n1n1
nn1
22
2 2
aSa1,aS1
2.解（Ⅰ）由题设，
a

nn1n n12nn1
(aa)aaa

两式相减得
a
，而
a
n1
0
，


n1n2nn1n2

n

aS1a11
，又
{a
n
} （Ⅱ）
a
，而
a
1
1
，解得
a
12112



aaa1,,a,aa4
令
2

2

1

3
，解得

4。此时
aa
12
3
3
5
n2n

{ a
n
}
是首项为1，公差为2的等差数列。
即存在

4，使得
{a
n
}
为等差数列。
3.解



5 7

2
4.解(Ⅰ)因为数列

a
n

的前
n
项和
S
n
3n8n
， 所以
a
1
11
，当
n2
时，
a
n< br>S
n
S
n1
3n
2
8n3(n1)< br>2
8(n1)6n5
，又
a
n
6n5
对
n1
也成立，所以
a
n
6n5
．又因为
< br>b
n

是等差数列，设公差为
d
，则
a
n< br>b
n
b
n1
2b
n
d
．
当
n1
时，
2b
1
11d
；当
n2时，
2b
2
17d
，解得
d3
，所以数列

b
n

的通项公式为
b
n

a
n
d
3n1
．
2
(a
n
1)
n1
(6n6)
n1
(Ⅱ)由
c
n
(3n3 )2
n1
，于是
nn
(b
n
2)(3n3)
T
n
62
2
92
3
122
4
(3n3)2
n1
，两边同乘以２，得
2T
n
6 2
3
92
4
(3n)2
n1
(3n3 )2
n2
，两式相减，得
T
n
62
2
 32
3
32
4
32
n1
(3n3) 2
n2

32
2
(12
n
)
3 2(3n3)2
n2
12
2
6 7

T
n
1232
2
(12
n
)(3n3)2
n2
3n2
n2
．
2
5.解：（Ⅰ）设数列{a
n
}的公比为q，由
a
3
9a
2
a
6< br>得
a
3
9a
4
所以
q
1
。 < br>9
11
由条件可知a>0,故
q
。由
2a
1
3a
2
1
得
2a
1
3a
2
q1
，所以
a
1

。
33
1
故数列{an
}的通项式为a
n
=
n
。
3
2
32
（Ⅱ ）
b
n
log
3
a
1
log
3
a
2
...log
3
a
n

(12...n)

n(n1)
2
故
1211
2()

b
n
n(n1) nn1
111111112n
...2((1)()...()) 

b
1
b
2
b
n
223nn1n1
所以数列
{
12n
}
的前n项和为


b
n
n1
22
6.解：
（I）由
a
n
2 a
n
4S
n
3
，可知
a
n1
2a
n1
4S
n1
3.

22
22
可 得
a
n1
a
n
2(a
n1
a)4a< br>n1
即
2(a
n1
a
n
)a
n 1
a
n
(a
n1
a)(a
n1
a)< br>
由于
a
n
0
可得
a
n1
a
n
2.
又
a
1
2
2a
1
4 a
1
3
，解得
a
1
1(舍去)，a
1
3

所以

a
n

是首相为3，公差为2的等 差数列，通项公式为
a
n
2n1.

（II）由
a
n
2n1

b
n

11111
().

a
n< br>a
1
(2n1)(2n3)22n12n3
设数列

b
n

的前n项和为
T
n
，则
T
nb
1
b
2
Lb
n

1
111111

()()
L
()()

2

35572n12n3


n
.
3(2n3)

7 7