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4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第一课时 等差数列的概念与通项公式

课标要求
1.通过生活中的实例，理解等差数列的
概念和通项公式的意义.
素养要求
在根据实例抽象出等差数列的概念并归
纳出等差数列的通项公式的过程中， 发
2.体会等差数列与一元一次函数的关系. 展学生的数学抽象和逻辑推理素养.

新知探究

观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.
我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年
份为
2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，…；①

我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的
顺序可排列为
275，270，265，260，255，250，…；②
2020年1月中，每个星期日的日期为
5，12，19，26.③

问题 数列①②③有什么共同的特点？
提示 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.

1.等差数列的概念 等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一
个常数”

条件
结论
有关概念
2.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看 成是最简单的等差数列，这时A叫做a
与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
3.等差数列的通项公式 一般形式：a
n
＝a
m
＋(n－m)d
(1)通项公式：首项为a
1
，公差为d的等差数列{a
n
}的通项 公式是a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
(2)等差数列与一次函数的关系：
①公差d≠0的等差数列{a
n
}的图 象是点(n，a
n
)组成的集合，这些点均匀分布在直
线f(x)＝dx＋(a
1
－d)上.
②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b ，f(2)＝2k＋b，…，f(n)
＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b )，公差为k.

拓展深化
[微判断]
1.常数列是等差数列.(√)
2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数
列.(×)
提示 差都是同一个常数.
3.数列{a
n
}满足a
n
＋
1
－a
n
＝1(n＞1)，则数列{a
n
}是等差数列.( ×)
提示 {a
n
}不一定是等差数列，忽略了第1项.
[微训练]
从第2项起
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
这个数列就叫做等差数列
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示

1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝( )
A.5
C.3
解析 由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
答案 C
2.等差数列{1－3n}的公差d等于( )
A.1
C.－3
B.3
D.n
B.±5
D.±3
解析 ∵a
n
＝1－3n，∴a
1
＝－2，a
2
＝－5，
∴d＝a
2
－a
1
＝－3.
答案 C
3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为a
n
＝________.
解析 由题知，a
1
＝－3，d＝2，a
n
＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.
答案 2n－5
[微思考]
1.如果数列{a
n
}满足a
n
＋
1
－a
n
＝d(常数)或2a
n
＋
1
＝a
n
＋a
n
＋
2
(n∈N
*
)，那么数列{a
n
}
是等差数列吗？
提示 是等差数列.
2.等差数列{a
n
}的单调性与其公差d有什么关系？
提示 当公差d＝0时，{a
n
}是常数列；
当公差d>0时，{a
n
}是递增数列；
当公差d<0时，{a
n
}是递减数列.


题型一 等差数列的通项公式及相关计算
【例1】 在等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
1
＝2，d＝3，n＝10，求a
n
；
(2)已知a
1
＝3，a
n
＝21，d＝2，求n；
(3)已知a
1
＝12，a
6
＝27，求d；

1
(4)已知d＝－
3
，a
7
＝8，求a
1
和 a
n
.
解 (1)a
n
＝a
10
＝a
1
＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)由a
n
＝a
1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
(3)由a
6
＝a
1
＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3. < br>(4)由a
7
＝a
1
＋6d得a
1
－2＝8，解得a
1
＝10，
1131
所以a
n
＝a
1
＋ (n－1)d＝10－
3
(n－1)＝－
3
n＋
3
.
规律方法 等差数列通项公式中的四个参数及其关系
等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d
四个参数 a
1
，d，n，a
n

知a
1
，d，n求a
n

“知三求一”
知a
1
，d，a
n
求n
知a
1
，n，a
n
求d
知d，n，a
n
求a
1

【训练1】 (1)已知{an
}为等差数列，且a
7
－2a
4
＝－1，a
3
＝0，则公差d＝( )
A.－2
1
C.
2

1
B.－
2

D.2
111
(2) 在数列{a
n
}中，已知a
1
＝3，当n≥2时，
a
－＝< br>5
，则a
16
＝( )
n
a
n
－
1
2
A.
5

2
C.
3

3
B.
10

3
D.
2

a＝1，


1

a
1
＋6d－2（a
1
＋3d）＝－1，
解析 (1)由条件得

解得

1

a＋2d＝0.
d＝ －
2
.

1



1

11111
(2)因为当n≥2时，
a
－＝
5
，所以
a

是以
3
为首项，以
5
为公差的等差数列，
n
a
n
－
1

n

111103
故
a
＝
3
＋15×
5
＝
3
，故a
16
＝
10
.
16
答案 (1)B (2)B

题型二 等差中项及其应用
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求
此数列.
解 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝
－1＋7
2
＝3.
－1＋3
2
＝1. 又 a是－1与3的等差中项，∴a＝
3＋7
又c是3与7的等差中项，∴c＝
2
＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
规律方法 (1)由等差数列的定义知a
n
＋
1
－a
n
＝a
n
－a
n
－
1
(n≥2，n∈N
*
)，即2a
n
＝
a
n
－
1
＋a
n
＋
1
，从而由等差中项的定义可知 ，等差数列从第2项起的每一项都是它前
一项与后一项的等差中项.(2)在设等差数列的项时，可利用 上述性质.
【训练2】 若a＝
A.3
3
C.
2

11
，b＝，则a，b的等差中项为( )
3＋23－2
B.2
2
D.
2

(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项
是( )
A.2
C.6
B.3
D.9
1

11

1
＋

＝(3－2＋3＋2)解析 (1)由题知a ，b的等差中项为
2

3－2

2

3＋2
＝3.
(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m
＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
m＋n
所以m和n的等差中项为
2
＝3.

答案 (1)A (2)B

题型三 等差数列的判定
角度1 等差数列的证明
【例3－1】 (1)已知数列{a
n
}是等差数列，设b
n
＝2a
n
＋3，求证：数列{b
n
}也是
等差数列.
证明 因为 数列{a
n
}是等差数列，可设其公差为d，则a
n
＋
1
－ a
n
＝d.
从而b
n
＋
1
－b
n
＝(2a
n
＋
1
＋3)－(2a
n
＋3)＝2(a
n
＋
1
－a
n
)＝2d，它是一个与n无关的常数，
所以数列{b
n
}是等差数列.
(2)已知a
1
＝2，若 a
n
＋
1
＝2a
n
＋2
证明 由于a
n< br>＋
1
＝2a
n
＋2
n
＋
1
， a
n
＋
1
a
n
2a
n
＋2
n
＋
1
a
n
所以
n
＋
1
－
2
n
＝－
2
n
＝1，
22
n
＋
1

a
n

∴

2
n

是以

n
＋
1

a
n

，证明

2
n

为等差数列，并求{a
n
}的通项公式.

1为首项，1为公差的等差数列.
a
n
∴
2
n
＝1＋(n－1)×1＝n.
∴a
n
＝n·2
n
.
角度2 等差数列的探究
【例3－2】 数列{a
n
}满足a
1
＝2，a
n
＋
1
＝(λ－3)a
n
＋2
n
(n∈N
*
).
(1)当a
2
＝－1时，求λ及a
3
的值；
(2) 是否存在
λ
，使数列{a
n
}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在 ，说
明理由.
解 (1)∵a
n
＋
1
＝(λ－3)an
＋2
n
(n∈N
*
)及a
1
＝2，a
2
＝－1，∴a
2
＝(λ－3)a
1
＋2，
3
∴λ＝
2
.
311
∴a
3
＝－
2
a
2
＋2
2
，∴a
3
＝
2
.
(2)不存在.∵a
1
＝2，a
n
＋
1
＝(
λ
－3)a
n
＋2
n
，∴a
2
＝(λ－3)a< br>1
＋2＝2λ－4，a
3
＝(λ－3)a
2
＋4＝2λ
2
－10λ＋16.若数列{a
n
}为等差数列，则a
1
＋a3
＝2a
2
，即2＋2λ
2
－10λ＋16
＝2(2λ －4)，∴λ
2
－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在 ，

即不存在λ使{a
n
}为等差数列.
规律方法 (1)证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：a
n
＋
1
－a
n
＝d(常数)(n∈N
*
)⇔{a
n
}是等差数列；a< br>n
－a
n
－
1
＝d(常数)(n≥2，
n∈N
*
)⇔{a
n
}是等差数列.
②等差中项法：2a
n
＋
1
＝a
n
＋a
n
＋
2
(n∈N
*
)⇔{a
n
}是等差数列.
(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证 明其中特定三项(如前三项a
1
，a
2
，a
3
)
不 是等差数列即可.
6a
n
－4
【训练3】 已知数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＝，且a
1
＝3(n∈N
*).
a
n
＋2


1


(1)证明：数列

a－2

是等差数列；

n


(2)求数列{a
n
}的通项公式.
a
n
＋2
11
(1)证明 由＝＝
a
n
＋
1
－26a
n
－4（6a
n
－4）－2（a
n< br>＋2）
－2
a
n
＋2
＝
得
a
n＋2（a
n
－2）＋4
11
＝＝＋
4
，
4a
n
－84（a
n
－2）a
n
－2
111
－ ＝
4
，n∈N
*
，
a
n
＋
1
－ 2a
n
－2


1


故数列

a－2

是等差数列.

n


111
n＋3
(2)解 由(1)知＝＋(n－1)×
4
＝
4
，
a
n
－2 a
1
－2
2n＋10
所以a
n
＝，n∈N
*
.
n＋3

一、素养落地
1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象 素养，通过学习等差数列的证明及相
关计算，提升逻辑推理及数学运算素养.
2.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
(1)a
n
＋
1< br>－a
n
＝d(d为常数，n∈N
*
)⇔{a
n
}是等 差数列；
(2)2a
n
＋
1
＝a
n
＋a
n
＋
2
(n∈N
*
)⇔{a
n
}是等差数列； < /p>

(3)a
n
＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
*
)⇔ {a
n
}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
3.由等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a
1
和公 差d，
就可以求出通项公式，反过来，在a
1
，d，n，a
n
四个量 中，只要知道其中任意三
个量，就可以求出另一个量.
二、素养训练
1.给出下列数列：
(1)0，0，0，0，0，…；
(2)1，11，111，1 111，…；
(3)2，2
2
，2
3
，2
4
，…；
(4)－5，－3，－1，1，3，…；
(5)1，2，3，5，8，….
其中是等差数列的有( )
A.1个
C.3个
B.2个
D.4个
解析 数列(1)，(4)是等差数列，故选B.
答案 B
2.若数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝2(n＋1)＋3，则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为3的等差数列
C.是公差为5的等差数列
D.不是等差
解析 a
n
＋
1
－a
n
＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{a
n< br>}是公差为2的等差数列.
答案 A
3.在等差数列{a
n
}中， a
1
＋a
9
＝10，则a
5
＝( )
A.5
C.8
B.6
D.9
解析 因为a
5
是 a
1
和a
9
的等差中项，所以2a
5
＝a
1
＋a
9
，即2a
5
＝10，a
5
＝5.
答案 A
4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.

解析 d＝－1－1＝－2，设a
n
＝－89，则－89＝a
1
＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n
＝46.
答案 46
5. 在等差数列{a
n
}中，已知a
6
＝12，a
18
＝36， 求通项公式a
n
.

a
1
＋5d＝12，
解 由题意可得

解得d＝2，a
1
＝2.
a＋17d＝36，

1
∴a
n
＝2＋(n－1)×2＝2n.

基础达标
一、选择题
1.设数列{a
n
}(n∈N
*
)是公差为d 的等差数列，若a
2
＝4，a
4
＝6，则d等于( )
A.4
C.2
B.3
D.1
解析 由a
2
＝a
1
＋d＝4，a
4
＝a
1
＋3d＝6，解得d＝1.
答案 D
2.已知等差数列{a
n
}中，a
3
＋a
8
＝22，a
6
＝7，则a
5
等于( )
A.15
C.7
解析 设{a
n
}的首项为a
1
，公差为d， < br>
a
3
＋a
8
＝a
1
＋2d＋a
1
＋7d＝22，
根据题意得



a
6
＝ a
1
＋5d＝7，
解得a
1
＝47，d＝－8.
所以a
5
＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
答案 A
3. 在数列{a
n
}中，若a
n
＋
1
＝a
n
＋ 2，a
1
＝8，则数列{a
n
}的通项公式为( )
A.a
n
＝2(n＋1)
2

C.a
n
＝8n
2

B.a
n
＝4(n＋1)
D.a
n
＝4n(n＋1)
B.22
D.29
解析 由题意得a
n
＋
1
－a
n
＝2，故数列{a
n
}是首项为a
1
＝2 2，公差为2的
等差数列，所以a
n
＝22＋2(n－1)＝2n＋2，故a
n
＝2(n＋1)
2
.
答案 A

4.《九章算术 》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，
重二斤.问次一尺各重几何？”意 思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一
头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一 尺，重2斤，问各尺依
次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，< br>则从粗端开始的第二尺的质量是( )
7
A.
3
斤
5
C.
2
斤
7
B.
2
斤
D.3斤
解析 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a
1
＝4，则
117
a
5
＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d ＝－
2
，所以a
2
＝4－
2
＝
2
.
答案 B
5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( )
A.第7项
C.第9项
解析 ∵a
1
＝20，d＝－3，
∴a
n
＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a
7
＝2>0，a
8
＝－1<0.
故数列中第一个负数项是第8项.
答案 B
二、填空题
6.在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos B＝________.
π
解析 ∵B是A和C的等差中项，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝
3
，cos B
1
＝
2
.
1
答案
2

7. 已知等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＝a
4，a
10
＝11，则a
12
＝________.

a
1
＋a
1
＋d＝a
1
＋3d，

a1
＝2

解析 由题意得解得



a
1
＋9d＝11，

d＝1.
故a
12
＝2＋11＝13 .
B.第8项
D.第10项

答案 13
8. 现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3
升，下面3节的容积共4升 ，则第5节的容积为________升.
解析 设此等差数列为{a
n
}，公差为d，

a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝3，

4a
1
＋6d＝3，
则

∴


a＋a＋a＝4，3a＋21d ＝4，

7

189
13
a

1
＝，

22
13767
解得

∴a
5
＝a
1
＋4d＝
22
＋4×
66
＝
66
.
7
d＝


66
，
67
答案
66

三、解答题
9.在等差数列{a
n
}中，
(1)若a
5
＝15，a
17
＝39，试判断91是否为此数列中的项.
(2)若a
2
＝11，a
8
＝5，求a
10
. < br>
a
1
＋4d＝15，

a
1
＝7，

解 (1)因为解得



a
1
＋16d＝3 9，

d＝2，
所以a
n
＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.

a
1
＋d＝11，

a
1
＝12，
(2 )设{a
n
}的公差为d，则

解得


a＋7d ＝5，d＝－1.

1

∴a
n
＝12＋(n－1)×(－ 1)＝13－n，
所以a
10
＝13－10＝3.
2a
n
10.已知数列{a
n
}满足a
1
＝2，a
n
＋
1
＝.
a
n
＋2

1

(1)数列
a

是否为等差数列？说明理由.

n

(2)求a
n
.

1

解 (1)数列

a

是等差数列.理由如下：

n


因为a
1
＝2，a
n
2a
n
1< br>a
n
＋2
11
＋
1
＝
a
n
＋2
，所以
a
n
＝
＋
1
2a
n
＝
2
＋
a
n
，
所以
1
a
n
－
1
＝
1
＋
1
a
n
2
， 即


1


n


是首项 为
11
a
a
1
＝
2
，公差d＝
1
2
的等差数列.
(2)由(1)可知，
11n2
a
n
＝
a
1
＋(n－1)d＝
2
，所以a
n
＝
n
.
能力提升
11.已知数列{a
n
}中，a
3
＝2，a
5
＝1，若{
1
1＋a
n
}是等差数列，则a11
等于(
A.0 B.
1
6

C.
1
3
D.
1
2

解析 ∵1
1＋a
3
＝
111
3
，
1＋a
5< br>＝
2
，

1
＋2d＝
1
设数列


3

1



1＋a
1
，


1＋a
n



的公差为d，则




1
＋4d＝
1
1＋a
1
2
，

解得

11

1＋a
1< br>＝
6
，



d＝
1
12
.
∴
1
1＋a
n
＝
1
(n－1)·
16
＋
12
，
∴
1
1＋a
11
＝1
11－1
＝
11＋1
6
＋
1212
＝1，∴ a
11
＝0.
答案 A
12.在数列{a
n
}中，a< br>1
＝1，3a
n
a
n
－
1
＋a
n< br>－a
n
－
1
＝0(n≥2，n∈N
*
).
(1)证明：数列


1


a
n

是等差数列；
(2)求数列{a
n
}的通项公式；
(3) 若λa
n
＋
1
a
n
≥λ对任意的n≥2恒成立，求实数λ的 取值范围.
)

(1)证明 由3a
n
a
n< br>－
1
＋a
n
－a
n
－
1
＝0(n≥ 2，n∈N
*
)，
11
整理得
a
－＝3(n≥2，n∈N
*
)，
n
a
n
－
1

1

所以数列
a

是以

n

1为首项，3为公差的等差数列.
1
(2)解 由(1)可得
a
＝1＋3(n－1)＝3n－2，
n
1
所以a
n
＝.
3n－2
1
(3)解 λa
n
＋≥λ对任意的n≥2恒成立，
a
n
即
λ
＋3n－2≥λ对任意的n≥2恒成立，
3n－2
（3n－2）
2
整理得λ≤，对任意的n≥2恒成立.
3 n－3
（3n－2）
2
令f(n)＝，则只需满足λ≤f(n)
min
即可.
3n－3
（3n＋1）
2
（3n－2）
2
9n< br>2
－9n－1
1
因为f(n＋1)－f(n)＝－＝＝3－，
3n< br>3n－33n（n－1）3n（n－1）
所以当n≥2时，f(n＋1)－f(n)>0，
即f(2)1616
又f(2)＝
3
，所以λ≤
3
，
16

－∞，

所以实数λ的取值范围为.
3


创新猜想
13.(多选题)已知数列{a
n}满足：a
1
＝10，a
2
＝5，a
n
－a
n
＋
2
＝2(n∈N
*
)，则下列说法
正确的有( )
A.数列{a
n
}是等差数列
C.a
2k
－
1
＝12－2k(k∈N
*
)
B.a
2k
＝7－2k(k∈N
*
)
D.a
n
＋a
n
＋
1
＝18－3n
解析 由a< br>n
－a
n
＋
2
＝2得a
3
＝a
1< br>－2＝8，由于2a
2
≠a
1
＋a
3
，所以{an
}不是等差数列，
A不正确；
由a
n
－a
n
＋
2
＝2，知{a
n
}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2 ，当n
＝2k(k∈N
*
)时，a
2k
＝a
2
＋( k－1)×(－2)＝7－2k，当n＝2k－1(k∈N
*
)时，a
2k
－
1
＝

a
1
＋(k－1)×(－2)＝12－2k，故 B，C都正确；
当n＝2时，a
2
＋a
3
＝5＋8＝13不满足a
n
＋a
n
＋
1
＝18－3n，故D错误.
答案 BC
2*
14.(多选题)在数列{a
n
}中，若a
2
n
－a
n
－
1
＝p(n≥2，n∈N，p为常数)，则称{a
n
}为
等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有( )
A.若{a
n
}是等方差数列，则{a
2
n
}是等差数列
B.数列{(－1)
n
}是等方差数列
C.若数列{a
n
}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{a
n
}一定是常数列
D.若数列{a< br>n
}是等方差数列，则数列{a
kn
}(k∈N
*
，k为常数 )也是等方差数列
解析 根据等方差数列的定义易知A正确；因为(－1)
2n
－( －1)
2(n
－
1)
＝0，所以数
列{(－1)
n
}是等方差数列，B正确；
2
若数列{a
n
}既是等方差数列，又是等差数 列，设公差为d，则a
n
－a
2
n
－
1
＝(an
－
a
n
－
1
)·(a
n
＋an
－
1
)＝d[2a
1
＋(2n－3)d]＝2a
1< br>d＋(2n－3)d
2
＝p.又p为常数，所以d＝0，
C正确；
2
若数列{a
n
}是等方差数列，则a
n
－a
2
n< br>－
1
＝p，
222222222
a
2
kn
－a
k
（
n
－
1
）
＝(a
kn
－ a
kn
－
1
)＋(a
kn
－
1
－a
kn
－
2
)＋(a
kn
－
2
－a
kn< br>－
3
)＋…＋(a
kn
－
k
＋
1
－ a
kn
－
k
)＝
kp为常数，D正确.
答案 ABCD