雷锋日记内容-情感说说

A级 基础巩固
一、选择题
1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N
*
)的项数是( )
A．n
C．n＋4
B．3n＋11
D．n＋3
解析 ：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4
项，前面还有5，8，11三项，故这个 数列的项数为n＋3.
答案：D
2．若{a
n
}是等差数列，则由下列关 系确定的数列{b
n
}也一定是等
差数列的是( )
2
A．b
n
＝a
n
B．b
n
＝a
n
＋n
2

D．b
n
＝na
n
C．b
n
＝a
n
＋a
n
＋
1

解析：{a
n
}是等差数列，设a
n
＋
1
－a
n
＝d，则数列b
n
＝a
n
＋a
n
＋
1满
足：b
n
＋
1
－b
n
＝(a
n＋
1
＋a
n
＋
2
)－(a
n
＋an
＋
1
)＝a
n
＋
2
－a
n
＝2d.
答案：C
3．在等差数列{a
n
}中，a
2
＝ 2，a
3
＝4，则a
10
＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18
解析：设{a
n
}的公差为d，
因为d＝a
3
－a
2
＝2，
所以a
1
＝a
2
－d＝0，
所以a
n
＝0＋2(n－1)＝2(n－1)，
所以a
10
＝2×(10－1)＝18.
答案：D
4．2 018是等差数列4，6，8，…的( )
A．第1 005项

B．第1 006项
1

C．第1 007项 D．第1 008项
解析：由题易知通项a
n
＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，
令2 018＝2n＋2，所以n＝1 008.
答案：D
5．若lg 2，lg(2
x
－1)，lg(2
x
＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A．0 B．log
2
5 C．32 D．0或32
解析：依题意得2lg(2
x
－1)＝lg 2＋lg(2
x
＋3)，
所以(2
x
－1)
2
＝2(2
x
＋3)，
所以(2
x
)
2
－4·2
x
－5＝0，
所以(2
x
－5)(2
x
＋1)＝0，
所以2
x
＝5或2
x
＝－1(舍)，
所以x＝log
2
5.
答案：B
二、填空题
6．已 知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax
2
＋2bx＋c(a
≠0)的图象与 x轴的交点有________个．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
又因为Δ＝4b
2
－4ac＝(a＋c)
2
－4ac＝(a－c)
2
≥0，
所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．
答案：1或2

1

7．已知

a

是等差数列，且a
4
＝6，a
6
＝4，则a
10
＝________．

n

11111
解析：设公差为d，因为－＝－＝＝2d，
a
6
a
4
4612
1
所以d＝.
24
2

1111
同理，－＝4d＝4×＝，
a
10
a
6
246
12
所以a
10
＝.
5
12
答案：
5
8．数列{a
n
}是首 项为2，公差为3的等差数列，数列{b
n
}是首项
为－2，公差为4的等差数列．若 a
n
＝b
n
，则n的值为________．
解析：a
n
＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
b
n
＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令a
n
＝b
n
，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.
答案：5
三、解答题
9．等差数列{a
n
}中，a
3< br>＋a
4
＝4，a
5
＋a
7
＝6.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)设b
n
＝[an
]，求数列{b
n
}的前10项和，其中[x]表示不超过x
的最大整 数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解：(1)设数列{a
n
}的公差为d， 由题意有2a
1
＋5d＝4，a
1
＋5d＝
2
3.解得a< br>1
＝1，d＝.
5
2n＋3
所以{a
n
}的通项公式为a
n
＝.
5

2n＋3


. (2)由(1)知，b
n< br>＝


5

2n＋3
当n＝1，2，3时，1≤＜2 ，b
n
＝1；
5
2n＋3
当n＝4，5时，2≤＜3，b
n
＝2；
5
3

2n＋3
当n＝6，7，8时，3≤＜4，b
n
＝3；
5
2n＋3
当n＝9，10时，4≤＜5，b
n
＝4.
5
所以数列{b
n
}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
1＋a
n
10．已知数列{a
n
}满足a
n
＋
1
＝(n∈N
*
)，且a
1
＝0.
3－a
n
(1)求a
2
，a
3
的值．

1

(2)是否存在一个实数λ，使得数列

a－λ
为等差数列？请说明理

n

由．
11
解：(1)a
2
＝，a
3
＝.
32

1

(2)存在．理由：假设存在一个实数λ，使得数列

a－λ

为等差数

n

111211
列，则，，成等差 数列，所以＝＋，
a
1
－λa
2
－λa
3
－λa< br>2
－λa
1
－λa
3
－λ
211
所以＝＋， 解得λ＝1.
1
0－λ
1
－λ－λ
32
3－a
n
11111
因为－＝－＝－＝
a
n
＋
1
－1an
－11＋a
n
a
n
－12（a
n
－1）a< br>n
－1
－1
3－a
n
1－a
n
1
＝ －，
2
2（a
n
－1）

1

1
又＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列

a－λ

是首
a
1
－1

n

1
项为－1，公差为－的等差数列．
2
B级 能力提升
1．设数列{a
n
}，{b
n
}都是等差数列，且a
1
＝25，b
1
＝75，a
2
＋b< br>2
4

＝100，则a
37
＋b
37
等于( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
解析：设{a
n
}，{b
n< br>}的公差分别为d
1
，d
2
，
则(a
n
＋
1
＋b
n
＋
1
)－(a
n
＋b
n
)＝(a
n
＋
1
－a
n
)＋(b
n
＋
1
－b
n
)＝d
1
＋d
2
，
所以{a
n
＋b
n
}为等差数列，
又a
1
＋b
1
＝a
2
＋b
2
＝100，
所以{an
＋b
n
}为常数列，所以a
37
＋b
37
＝ 100.
答案：C
2．在数列{a
n
}中，a
1
＝3， 且对于任意大于1的正整数n，点(a
n
，
a
n
－
1
)都在直线x－y－3＝0上，则a
n
＝________．
解析：由题意得a< br>n
－a
n
－
1
＝3，所以数列{a
n
}是首 项为3，
公差为3的等差数列，所以a
n
＝3n，a
n
＝3n
2
.
答案：3n
2

4
3．已知数列{a
n< br>}满足a
1
＝4，a
n
＋
1
＝4－，其中n∈N*
.设b
n
＝
a
n
1
.
a
n
－2
(1)求证：数列{b
n
}是等差数列；
(2)求数列{a
n
}的通项公式．
11
a
n
( 1)证明：因为b
n
＋
1
＝＝＝，
4

a
n
＋
1
－2

2a
n
－4

4 －

－2
a
n

a
n
－2
11
a
n
所以b
n
＋
1
－b
n
＝－＝ ＝，
2（a
n
－2）a
n
－22（a
n
－2）< br>2
b
1
＝
11
＝，
a
1
－22
11
所以数列{b
n
}是首项为，公差为的等差数列．
22
5


1

111

(2)由(1)知
a－2
构成以＝为首项，d＝为公差的等差数
2a
1
－2
2

n

111
n
列，所以＝＋(n－1)·＝，
22
a
n
－2
2
22所以a
n
＝2＋，所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2＋(n∈N
*
)．
nn

6