动物医学就业前景-中秋的由来

2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式
教学重点 理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单
的问题
教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式.
三维目标
一、知识与技能
1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条 件，能根据定义判断一个数列是
等差数列
2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运 用通项公式求等差数列的首项、公差、
项数、指定的项
二、过程与方法
1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；
2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性
三、情感态度与价值观 < br>通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新
知的创新意 识
教学过程
导入新课
师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数 列的几种方法——列举法、通项
公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面 我们看这样一些数列
的例子：(课本P
41
页的4个例子
(1)0，5，10，15，20，25，
(2)48，53，58，63，
(3)18，15.5，13，10.5，8，
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，
请你们来写出上述四个数列的第7项
生 第一个数 列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四
个数列的第7项为
师 我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说
生 这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7
项为
师 说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的
是共同特征
生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数
师 作差是否有顺序，谁与谁相减？
生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒
师 以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一 项与它前面一项的差等于同一个常数(即等
差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列
这就是我们这节课要研究的内容
推进新课
等差数列的定义：一般地，如果一个数列 从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常
数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数 列的公差(常用字母“d”表示

1

（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
（2）对于数列{a
n
}，若a
n
-a
n-1
= d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N
*
，则此数列是等差数
列，d叫做公差
师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，
是 能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.
因此教师应该教 会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力
生 从“第二项起”和“同一个常数
师 很好！
师 请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
生 数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5 n-15.5，….
师 好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这 几个通项公
式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们< br>来共同思考
［合作探究］
等差数列的通项公式
师 等差数列定义是由一数 列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{a
n
}的首项是a
1
，公差是d，则据其定义可得什么
生 a
2
-a
1
=d,即a
2
=a
1
+d
师 对，继续说下去
生 a
3
-a
2
=d,即a
3
=a
2
+d=a
1
+2d
a
4
-a< br>3
=d,即a
4
=a
3
+d=a
1
+3d

师 好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗
生 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是a
n
=a
1
+(n-1)d
师 很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a
1
和公差d，便可 求得其通
项a
n
了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它 吗
生 前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：
因为a
2
-a
1
=d,a
3
-a
2
=d,a
4< br>-a
3
=d,…,a
n
-a
n-1
=d.将它们相加 便可以得到：a
n
=a
1
+(n-1)d
师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了
［教师精讲］
由上述关系还可得：a
m
=a
1
+(m-1)d
即a
1
=a
m
-(m-1)d
则a
n
= a
1
+(n-1)d=a
m
-(m-1)d+(n-1)d=a
m< br>+(n-m)d
即等差数列的第二通项公式a
n
=a
m
+( n-m)d.(这是变通的通项公式
由此我们还可以得到
d
a
m
a
n
mn

［例题剖析］
【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
分析（1）
师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗
生1 这题太简单了! 首项和公差分别是a
1
=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的
通项公式，得a
20
=8+(20-1)×(-3)=-
师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做

2

分析（2）
生2由a
1
=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式 为a
n
=-5-4(n-
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-40 1=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401
是这个数列的第100项
师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式
就是a
n
,a
1
,d,n组成的方程(独立的量有三个
说明:(1)强调当数列｛a
n
｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程
的正整数解的 问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断
-401是不是数列的项， 关键是求出数列的通项公式a
n
，判断是否存在正整数n，使得a
n
=-40 1
成立
【例2】 已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=p n+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是
等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
例题分析：
师 由等差数列的定义，要判定{a
n
}是不是等差数列，只要根据什么
生 只要看差a
n
-a
n-1
(n≥2)是不是一个与n无关的常数
师 说得对，请你来求解
生 当n≥2时，〔取数列{a
n
}中的任意相邻两项a
n-1
与a
n
(n≥2)〕
a
n
-a
n-1< br>=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数
所以我们说{a
n
}是等差数列，首项a
1
=p+q，公差为
师 这里要重点说明的是：
(1)若p=0，则{a
n
}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q， (2)若p≠0，则a
n
是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，a
n
)均在一次函数y=px+q
的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为
(3)数列{a
n
}为等差数列的充要条件是其通项a
n
=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式.
课堂练习
(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知a
1
=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为a
n
= 3+(n-1)×4，即a
n
=4n-1(n≥1，
n∈N
*
).∴ a
4
=4×4-1=15，a
10
=4×10-
评述：关键是求出通项公式
(2)求等差数列10，8，6，…的第20项
解：根据题意可知a
1
=10，d=8-10=-
所以该数列的通项公式为 a
n
=10+(n-1)×(-2)，即a
n
=-2n+12，所以a
20
=-2×20+12=-
评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性
(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n
值，使得 a
n
等于这个数
解：根据题意可得a
1
=2，d=9-2=7.因 而此数列通项公式为a
n
=2+(n-1)×7=7n-
令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项
(4)-20是不是等差数列0，
3
由
1
，-7，…的项？如 果是，是第几项？如果不是，请说明理
2
7
2
7
2
解：由 题意可知a
1
=0，
d3
,因而此数列的通项公式为
a
n
n

3

1
2

令

774777
.因为
n20
没有正整数解，所以-20 不是这个数
n20
，解得
n
22722
列的项
课堂小结
师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让 学生反思、
归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力
生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a
n
-a
n- 1
=d(n≥2);其
次要会推导等差数列的通项公式a
n
=a
1< br>+(n-1)d(n
师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道a
n
，a
1
，d，n中任意三个，应用方程的思想，
可以求出另外一个.最后，还要注意一重要 关系式a
n
=a
m
+(n-m)d和a
n
=pn+q(p、 q是常数)的
理解与应用
布置作业
课本第45页习题2.2 A组第1题，B组第1题
教学反思
本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着 用不完全归纳法归纳出等差数
列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨 在培养学生的观
察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动 观
察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.
在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究
在教学过程中，遵循学生的认知 规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识
的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他 们的主观能动性及其在教学过程中的主体
地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲， 培养学生由特殊到一般的认
知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在 生活中挖掘数学
问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化



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