上海著名景点-周长的认识

等差数列通项公式
教学设计示例
的

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等差数列通项公式教案
一教学类型 新知课
二教学目标
1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公
式的认识，能解决一些简单的问题；
2.利用通项公式求等差数列的各项、项数、公差、首
项，使学生进一步体会方程思想；
3. 培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能
力，培养学生的应用意识.
三教学重点，难点
教学重点是1.等差数列的概念的理解与掌握.
2通项公式的理解与掌握；
教学难点是掌握公式的推导过程以及对公式灵活运用．
四教学用具
实物投影仪，多媒体软件，电脑.
五教学方法：讲解法，启发引导法
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六教学过程
1 [创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教
育贷款 等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，
都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一 类
特殊的数列。
由学生观察分析并总结下列数列的特点：
(1)2000年，在澳 大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被
正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻
的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，
63…
(2)数列2，4,6,8,10…；
(3)数列2，2，2，2，2，…
(4)数列3,6,9,12…
2 引导讲解概念
思考：同学们观察一下上面的这三个数列：
48,53,58,63…①
2，4,6,8,10…②
2，2，2，2，2， ③
3,6,9,12…④
看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间
的关系,可得到
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数列一是每后一项都比前一项多五，单调递增；
数列二每后一项都比前一项多二，是一列偶数；
数列三是一列常数，每后一项比前一项多零；
数列四是一列三的倍数，每后一项比前一项多三；
综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？
它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的
“差”都等于同一个常数.
也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列 .
定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与
它的前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
那么对于以上三组等差数列，它们的公差依次是5,2,0,3.
判断：1： 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
2： 5，5，5，5，5，5，…
3： a，3a，5a，7a，9a,…是否是等差数列？
注意：⑴公差
d
一定是由后项减前项所得，而不能用前项
减后项来求；
⑵对于数列{
a
n
},若
a
n1
－
a
n
=
d
(
d
是与
n
无关的 数或
字母)，
n
≥2，
n
∈
N
，则此数列为等差数列，
d
为公差；
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(3)若
d
=0, 则该数列为常数列．
3 通项公式的推导
观察：
a
2
a
1
da
3
a
2
d
a
4
a
3
d

K
a
n
a
n1
d
两边分 别相加得到
a
2
a
1
a
3
a
2a
4
a
3
Ka
n
a
n1


n1

d

因此
a
n
a< br>1


n1

d

从而等差数列的通项公式为：
a
n
a
1

< br>n1

d
公式推论：
a
n
a
m


nm

d


公式用法：（1）用于求出第n项；（2）用于求出项数或
者公差，知三求一；
4 [例题分析]
［例1］在等差数列{
a
n
}中，已知
a
5
＝10，
a
12
＝31，求首项
a
1
与公差d.
解：由题意可知，
这是一个以
a
1
和d为未知数的二元一次方程组 ，解这个方程
组，得
a
1
＝－2，d＝3.
即这个等差数列的首项是－2，公差是3.
［例2］一个首项为23，公差为整数的等差数列 ，如果前
六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？0是
否是该数列的一项？
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解：由
a
n
=23+(n-1)d,
a
7
<0;
a
6
>0 得－4.6＜d＜-236
因此d=－4；
a
n
=23-4(n-1);若
a
n=0，则n-1不为整数，所以0不是该数
列的一项。
［例3］在等差数列{
a
n
}中，已知
a
5
＝10，
a
15
＝25 ，求
a
25
.
思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后< br>可得出该数列的通项公式，便可求出
a
25
.
解法一：设数列{a
n
}的首项为
a
1
,公差为d,则根据题意可
得：
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方
程组，得
a
1＝4，d＝32.
∴这个数列的通项公式为：
a
n
＝4＋32×(n－ 1)，即：
a
n
＝
3n2＋52.
∴
a
25
＝40.
解法二：由题意可知：
a
15
＝
a
5
＋10d，即25＝10＋10d,
∴10d＝15. < br>又∵
a
25
＝
a
15
＋10d，∴
a
25
＝25＋15＝4差数列{an}中，
a
5
，
a
15
，
a
25
成等差数列
∴2
a
15
＝a
5
＋a25，即
a
25
＝2
a
15
－
a
5
,
∴
a
25
＝2×25－10＝40
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评述：运用等 差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个
条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，
几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.
七 思考问题拓展思维
1 .在等差数列{an}中，（1）已知
a
4
＝10，
a
7
＝ 19，求
a
1
与
d；
(2)已知
a
3
＝ 9，
a
9
＝3，求
a
12
.
提示：（1）列出通项公式，解方程组；
(2)解法一：列出通项公式解方程组可得
a
1
与d，
∴该数列 的通项公式为：
a
n
＝11＋(n－1)×(－1)＝12－
n∴
a
12
＝0
解法二：由已知得：
a
9
＝
a
3
＋6d，即：3＝9＋6d∴d＝－1
又∵
a
12
＝
a
9
＋3d，∴
a
12
＝3＋3×(－1)=0
2、两个等 差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有
100项，那么它们共有多少相同的项？
提示：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新
的数列{
c
n
}， 这样问题就转化为一个研究数列{
c
n
}的项数
问题了.
解法一 ：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列
为{
c
n
}，
c< br>1
=11,公差是12，
c
n
=11+12(n-1);
c
n
<=302;
又数列5，8，11，……的通项公式为
an
＝3n＋2，
b
m
=-
1+4m;可见已知两数列共有25个相同的项.
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解法二：∵
a
n
＝3n＋2,
b
m
=4m－1( n，m∈N*),
a
n
=
b
m
;
则3n+3=4m；要使n为正整数，m必须是3的倍数.
设m＝3k(k∈N*)，代入前式得n＝4k－1
又∵1≤3k≤100，且1≤4k－1≤100，解得1≤k≤25
∴共有25个相同的项.

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