三八节送什么-杨六斤

《等差数列前n项和》教案模板
教学设计表
学科数学 授课年级 中职一年级 学校 高台县职业中专 教师姓名 张秀娟
计划学
章节名称 《等差数列前n项和》教案
时
学习内容分
析
1课时
《等差数列前n项和》现行高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时， 主
要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用。
知识技能：
(1)掌握等差数列前n项和公式;
(2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程;
(3)会简单运用等差数列的前n项和公式。
数学思考
：
教学目标 （1）
通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；
（2）通过公式的运用体会方程的思想；
（3）通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。

情感态度： < br>结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对 等
差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。

教学重点及
等差数列前n项和公式的推导和应用。
解决措施
教学难点及
解决措施
教学设计思
路
等差数列前n项和公式的推导 过程中渗透倒序相加的思想方法。本课在设计上采用了由特殊
到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数 形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主
探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借 助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通
过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合 ，从而突出重点、突破教学难点。
结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：

公式应用与
探究等差数列
创设情景
图片欣赏 数形结合
议练活动（1）
前n项和公式

（5分钟）

（18分钟）
提出问题
新课引入 类比化归



前后呼应

公式应用

公式应用与

公式的认识
归纳总结
议练活动（2）
与理解

（9分钟）
（4分钟）
（2分钟）

前后呼应 知识回顾





教学
环节




新


教 师 活 动


学 生 活 动

活 动
说 明


模 型
直 观
用实际生
活引入新
创设情境：首先 让学生欣赏一幅美丽的图片
课
引
入
——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景< br>点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有
大小相同的宝石，共有100层，同时提出第
一个问题：你能计算出这个图案一共花了多
少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？
问题2：何老师按揭买房,向银行贷款25万
现实模型：


课。
元，采取等额本金的还款方式，即每月还款
① 图片欣赏
② 生活实例
额比上月减少一定的数额。2007年1月，

我第一次向银行还款234 8元，以后每月比
上月的还款额减少5元，若以2007年1
月银行贷款利率为基准利率,那么 到2026
年12月最后一次还款为止，何老师连本带
利一共还款多少万元？

首先认识一位伟大的数学家——高斯，学生：1+100=101，
高斯求
然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+32+99=101，…..50+51=101，所以
和 众所
+4+…..+100？ 原式=50

（1+101）=5050
设等差数列{
a
n
}前n项和为
S
n
,则 < br>S
n
a
1
a
2


a
n1
a
n

问题1
老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n
项和公式？
老师：但是否刚好配对成功呢？
（1） n为偶数时：

S
n< br>a
1


a
n
a
n


a
n
1
22





S
n
(aa)
n1n

2
（2） n为奇数时：

1


a
n1
a
n1
a
n1


a
n
S
n
a
11
222






老师：那么该如何解决落单的a
n1
呢？
2
n1
S (a
1
a
n
)a
n1

n
2
2

a
n1
a
n1
2


n1
(aa)
2
1n
22

学< br>学生：将首末两项配对，第二项
周知，
与倒数第二项配对，以此类推，
生能快< br>
每一对的和都相等，并且都等
速解答。
这里
a
1
a
n
于。
用到了

等差数
学生：不一定，需要对n取值的
列脚标
奇偶进行讨论。
和性质

从高斯
当n为偶数时刚好配对成
算法出
功。
发，对n

进行讨

论寻找

求和公

式思路
当n为奇数时，中间的一项
自然，学
a
n1
落单了。
生容易
2
想到。







对中间
（可能部分学生在此会遇到困
a
n1
难，老师做 适当的引导。）
2
学生：观察
a
的脚标与
项


a

1



a

n
脚标的关系，即：
a
n1
a
n1

aa
n
2

n1

2
a
1
22

2



学生观察动画演示，不难发
现用倒置的思想来解决此问题。



（由上一问题的解决，学生容易
想到倒序相加求和法。）
学生：利用倒序相加求和法。

n1
2
探







索


公


式





















n
(a
1
an
)
2
2
同过对n取值的讨论，得到了前n
n
项和求和 公式：
S
n
(a
1
a
n
)

但是对n讨论麻烦了，能否有更好的
方法求前n项和公式呢？接下来给出实际
问题：伐木工人 是如何快速计算堆放在木场
的木头根数呢？
问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n的解决
办法的
过程中，
进一步
让学生
体会研
究数列就是对
脚标数
学的研
究。



倒序相
加求和

探


索








公



式










议

练


活

动




项和呢？
方法一：

S
n
a
1< br>a
2


a
n1
a
n




S
n
a
n
a
n1< br>

a
2
a
1

两式相加得：
2Sn(aa)
n1n

n
S(a
1
a
n
)

n
2
方法二
同样利用倒序相加求和法，教材做了如
下处理：
S
n

a
1
(a
1
d)... [a
1
(n1)d]


S
n

a
n
(a
n
d) ...  [a
n
(n1)d]

两式相加得：
2Sn(aa)
n1n

n

公式1：S
n< br>(a
1
a
n
)
2

引导学生带入等差数列的通项公式，换
掉
a

n
整理得到公式2。







将< br>S
n
中的每一项用等差数
列的通项公式进行巧妙的改写，
在倒序相加求 和时，每一组中的
d都被正负抵消了。


学生类比方法一与方法二的
联系与区别。










n(n1)

公式2：S
n
na
1
d

2
学生自己阅读教材，体会教

材的解法是如何运用求和公式。
观察多媒体课件演示。





学生：要求总还款额实际就是对
例1：计算 一个等差数列求和。
（1）1+2+3+…+n
（2）1+3+5+…+(2n-1)
（3）2+4+6+…+2n
（4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n
教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观

的解释。

变式练习：课前提出的房贷问题。

解:由已知每月还款数成等差数列,设为

S
n
na
1

n(n1)
d
2
240239
2402348 (5)
a
1
2348,d5,n240
法是重
要的数< br>学思想，
为以后
数列求
和的学
习做好
了铺垫。
< br>在等差
数列前n
项和公
式的推
导过程
中，通过
问题获
得知识，
让学生
经历“发
现问题
——提
出问题
—— 解
决问题”
的过程




通过对
实际 问
题的解
决让学
生认识
到数学
来源于
生活，同
时又 服
务于生
活

认


识


公


式








认
识
公
式







学生：将求和公式与梯形面积公
式建立联系，而梯形面积公式的
推导也正是利用了倒置的思想。





问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？
教师提示将求和公式与梯形建立联系。 学生：同样将公式2与梯形面
积公式建立联系。用“割”的思
n(a
1
a
n
)
公式1:S
n

想将梯形分做一个平行四边形

2
和一个三角形，而梯形面积就是
这两部分面积之和。
a
1

a
n



．







a
n

a
1




a
n

：







利用数
形结合
的思想，
使学生< br>对两个
公式有
直观的
认识，体
会数学
的图形
语言。












n(n1)
公式2：S
n
na
1
d
2





a
1



n





a
1

(n1)d

a
n
a
1
(n1)d






剖析公式：

n(a
1
an
)
公式1S
n

2



学生讨论：公式中一共含有五个

量，根据三个公式之间的联系，


由方程的思想，知三可求二。













例2在
学生讨论分析题目所含的已知

议

练


活

动














课

堂

总

结






n(n1)
公式d

2S
n
na
1

2



通项公式：a

n

a
1
(n1)d

教师提示，从方程中量的关系入手。


例2 等差数列-10，-6，-2，2， …前多
少项的和为54？
解：设题中的等差数列是

a
n

，前n项和
为

S
n

：
则
a
1
＝－10，d＝－6－（－10）＝4
令
S
n

＝54，由等差数列前n项和公式，
得：


10n
解得
n
1
＝9，
n
2
＝－3（舍去）
因此,等差数列的前9项和是 54

例3：
在等差数列


{a
n
}
中



n(n 1)
454.
2
量，选取了公式2进行运算，利
用了方程的思想。需要注 意的是
学生可能会把公差认为是-4，以
及解得n的值后未把n=-3舍去。










学 生进行了分组讨论，然
后每组派学生代表进行分析。不
少小组首先对已知条件作转化，
希望能通过解方程求出首项和
公差，但发现条件不够，不能解
出这些基本量，教师做适当的引< br>导。









本环节由学生自主归纳、总
结本节课所学习的主要内容，教
师加以补充说明．
（1）回顾从特殊到一般，一
般到特殊的研究方法.
（2）体会等差数列的基本元
表示方法，倒序相加的算法，及
数形结合的数学思想.
（3）掌握等差数列的两个求
和公式及简单应用。


解决了< br>例1的
基础上，
由浅入
深，深化
了对公
式的理
解，体 现
了方程
的思想。



紧扣教
材，让学
生体会
整体应
用公式，
类比化
归的思
想方法，
同时，为< br>以后综
合问题
的解答
设下伏
笔。





通过对
等差数
列求和
历史的
了解，渗
(1)
已知
:a
2
a
5
a
12
a< br>15
36,
求
S
16
(2)
已知：
a6
20,
求
S
11
解：（1）
a
2
a
15
a
5
a
12
a
1
a< br>16


a
1
a
16
a
2
a
15

18

16(a
1
a
16
)
144

2
(aa)11
S
11

111
（2）
2
2a11


6
220
2

S
16

本小题主要考察了对公式一的整体应
了解我国古代 研究等差数列
透数学
用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，
史和数
求和 的情况。

（2）小问留给学生课后完成。

1、教师引导学生归纳总结本节课所学
习的主要内容．

2、课后作业：
教材118页：1、2、3、5、6、7
课后思考：
等差数列的前n项和的求和方法除
了倒序相加法还有没有其它方法呢?
3、对求和史的了解
我国数列求和的概念起源很早，在北
朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在
《张 丘建算经》中给出等差数列求和问题：
例如：今有女子不善织布，每天所织的布以
同数递减，初 日织五尺，末一日织一尺，共
织三十日，问共织几何？原书的解法是：
“并初、末日织布数，半 之再乘以织日数，
即得。”
学文化。