刘汉的保护伞-月季花开

高三数学复习：等差数列的概念及通项公式(教案)
一、教学目标：
1.知识目标： 理解等差数列的定义和通项公式的推导方
法；掌握公式的运用。
2 .能力目标：利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般
的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试 、分析、类比的方
法运用等差数列的通项公式，培养学生观察、联想、归纳、分析、
综合和逻辑 推理的能力；通过从函数观点和数形结合去认识等差
数列，培养学生分析问题，解决问题的能力。 3.情感目标：（数学文化价值）：公式的发现反映了普遍性寓
于特殊性之中，从而使学生受到辩证 唯物主义思想的熏陶；通过
公式的运用，树立学生大众教学的思想意识。
二、课前预习：
1.等差数列的概念：
（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一
项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，
这个常数叫做等 差数列的公差，公差通常用字母
d
表示。用递推公式
表示为
a
na
n1
d(n2)
或
a
n1
a
n
d(n1)
。一次函数
（2）等差数列的通项公式：
a
na
1
(n1)d
；推倒方法：
a
－
a
＝
d


a
－
a
＝
d
(
n
－1)个等式

a
－
a
＝
d

…


a
－
a
＝
d
2
3
4
1
2
3
nn
－1
说明：等差数列（通常可称 为
AP
数列）的单调性：
d0
为递增
数列，
d0
为常数列，
d0
为递减数列。
（3）等差中项的概念：
b
成等差数列，定义：如果
a
，
A
，那么
A
叫做
a< br>与
b
的等差中项。其中
A
ab

2
a
，
A
，
b
成等差数列

A
ab
或
A
-
a
=
b- A

2
归纳与拓展一：
１．理解等差数列的定义及通项公式要抓住关键词和关键量； < br>２．运用递推关系推导等差数列的通项公式的方法是累加法，等比数列是累
乘法；累加法和累乘法 是讨论递推关系的基本方法；
３．数列中的三项问题，注意中项的运用．

三、例题精析：
1．（课本P38习题4改编）

（1）在等差数列 {
a
n
}中，已知
a
5
＝10，
a
15< br>＝25，求
a
25
.
（2）试问154是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.
思路一：根据 等差数列的已知两项，可求出
a
1
和
d
，然后可得出该数列的通项公 式，便
可求出
a
25
.

a
1
＋4d
＝10
解法一：设数列{
a
n
}的首项为
a
1
,公差为
d
,则根据题意可得：



a
1
＋14
d
＝25
3
这是一个以
a
1
和
d
为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得
a
1
＝4，
d
＝ .
2
335
∴这个数列的通项公式为：
a
n
＝4＋ ×(
n
－1)，即：
a
n
＝
n
＋ .
222
35
∴
a
25
＝ ×25＋ ＝40.
2 2
思路二：若注意到已知项为
a
5
与
a
15
，所求 项为
a
25
，则可直接利用关系式
a
n
＝
a
m
＋(
n
－
m
)
d
.这样可简化运算.
解法二：由题意可知：
a
15
＝
a
5
＋10
d< br>，即25＝10＋10
d
,
∴10
d
＝15.
又 ∵
a
25
＝
a
15
＋10
d
，∴
a
25
＝25＋15＝40.
思路三：若注意到在等差数列{
a
n
}中，
a
5
，
a
15
，
a
25< br>也成等差数列，则利用等差中项关系
式，便可直接求出
a
25
的值.
解法三：在等差数列{
a
n
}中，
a
5
，
a
15
，
a
25
成等差数列
∴2
a
15
＝
a
5
＋
a
25
，即
a
25＝2
a
15
－
a
5
,
∴
a
25
＝2×25－10＝40.
解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点
由于
P
（15，33），
Q
（45，153），
R
（
n
，217 ）在同一条直线上.
153－33217－153
故有 ＝ ，解得
n
＝61.
45－15
n
－45
评述：运用等差数 列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解
之.如果利用等差数列的性质，几何 意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.

归纳与拓展二：
１．“知三求一”方法：
数列角度：（１）数列通项基本量代入
（２）数列性质
（３）等差中项
函数观点：一次函数
数形结合：（１）直线方程
（２）斜率公式
（３）向量共线
推广：类似方法可讨论等差和等比数列中“知三求二”问题
２．在熟练应用基本公式的同时,还要会用变通的公式,如在等差数列中：

（１）
a
n
a
m
(nm)d

（２）若
m,n,p,qN

，且
mnpq
则
a
m
a
n
a
p
a
q
.
2. 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等
差数列，中间两级的宽度分别为 ， 。
分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实
际情 况将其还原为实际问题的解.
解：用{
a
n
}表示梯子自上而下各级宽度所 成的等差数列，由已知条件，有
a
1
＝33，
a
12
＝11 0，
n
＝12.
由通项公式，得
a
12
＝
a1
＋(12－1)
d
，即：110＝33＋11
d
，解得：d
＝7.
因此，
a
2
＝33＋7＝40，
a
3
＝40＋7＝47，
a
4
＝54，
a
5
＝61，
a
6
＝68，
a
7
＝75，
a
8
＝82，
a
9
＝89，
a
10
＝96，
a
11
＝103.
答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75
cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.
高考真题演练：
1. （2001全国理，3）设数列{
a
n
}是 递增等差数列，前三项的和为12，前三项的
积为48，则
a
1
＝
S
3
前三项和为12，∴
a
1
＋
a
2＋
a
3
＝12，∴
a
2
＝＝4
3
a
1
·
a
2
·
a
3
＝48，∵
a< br>2
＝4，∴
a
1
·
a
3
＝12，
a
1
＋
a
3
＝8，
把
a
1
，a
3
作为方程的两根且
a
1
＜
a
3
，
2
∴
x
－8
x
＋12＝0，
x
1
＝6，
x
2
＝2，∴
a
1
＝2，
a
3＝6
2．（2009江苏高考17题（1）设

a
n

是公差不为零的等差数列，满足
a
2
2
a
3
2
a
4
2
a
5
2
,a
7
7
。 求数列

a
n

的通项公式。
（1）设公差为
d
，则
a
2
为
d
2222
，由性质得
3d (a
4
a
3
)d(a
4
a
3
)，因
a
5
a
4
a
3
0
，所以
a
4
a
3
0
，即
2a
1
5 d0
，又由
S
7
7
得
7a
1

76
d7
，
2
解得
a
1
5
，
d2
,
归纳与拓展三：
１．数列计算问题基本方法：
（１）运用基本量建立方程组；
（２）运用等差中项和性质合理设元，简化运算；
２．三项成等差数列，可用通项公式，也可 简化为等差中项；已知三个或四个数成等
差数列这类问题,要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个 数成等差数列时,除了
设
a
,
a
+
d
,
a
+2
d
外，还可设
a
-
d
,
a
,
a
+
d
；四个数成等差数列时,可设为
a
-3
d< br>,
a
-
d
,
a
+
d
,
a< br>+3
d
；
3．（2008江苏高考19题改编：）（1）设
a1
,a
2
a
n
是各项均不为零的
n(n4)
项等

差数列{
a
n
}，其前
n
项的和为S
n
.
（i）求证：数列


S
n


为等差数列；

n

(ii)若数列{
a< br>n
}中有连续三项成等比数列，证明数列{
a
n
}为常数列。
小结：
证明数列{
an
}是等差数列的两种基本方法是：
(1) 利用定义，证明
a
n
a
n1
d(n2)
为常数;
(2)利用等差中项，即证明
2a
n
a
n1
a
n1
(n2)
.
高考真题演练：
（设2008江苏高考19题（1 ））是各项均不为零的
n(n4)
项等差数列，且公差
d0
，
若 将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
a
（i）当
n4
时，求
1
的数值；
d
（ii）试探究
n
的所有可能值．
解析：①当
n
=4时,
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等
比 数列，则推出
d
=0。
若删去
a
2
，则
a
3
2
a
1
a
即
(a
1

4
，
2d)
a
1
4

d
a< br>若删去
a
3
，则
a
2
2
a
1a
4
，即
(a
1
d)
2
a
1< br>(a
1
3d)
化简得
a
1
d0
，得
1
1

d
aa
综上，得
1
4
或
1
1
。
dd
②当
n
=5时,
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5< br>中同样不可能删去
a
1
,a
2
,a
4
,a< br>5
，否则出现连续三项。
2
a
1
(a
1
3d)
化简得
a
1
4d0
，得
若删去
a< br>3
，则
a
1
a
5
a
2
a4
，即
a
1
(a
1
4d)(a
1
d)(a
1
3d)
为
d0
，所以
a
3不能删去；
当
n
≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列
a< br>1
,a
2
,a
3
,
化简得
3d0
，因
2
,a
n2
,a
n1
,a
n
中，
由于不能删去首项或末项，若删去
a
2
，则必有
a
1
a
n
a
3
a
n2
，这与
d0
矛盾；同样若删
去
a
n1
也有
a
1
a
n
a
3
a
n2
，这与
d0
矛盾；若删去< br>a
3
,,a
n2
中任意一个，则必有
a
1
a
n
a
2
a
n1
，这与
d0
矛 盾。(或者说：当
n
≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必
有连续的三项)
综上所述，
n4
。
归纳与拓展四：
１．注意巩固研究数列问题的基本方法；
２．注意数列问题中归纳和递推思想的运用．
３．讨论和探究的方法同样适用于等比数列和等差等比数列的前
n
项和．


四、课堂小结：
１． 数列的重点之一在通项公式,在数列的计算与证明问题上有两
种基本方法：

（１）运用基本量建立方程组；
（２）把
n(n4)
项问题转化为三项问题用中项公式和性质简化通项
公式的运用.
２．注意方程思想、函数思想、整体思想、分类讨论思想、数形结
合思想的运用.
五、巩固训练：
1. （2006年全国卷I）设

a
n

是公差为正数的等差数列，若
a
1
a
2
a
3
15
，
a
1
a
2
a
3
80< br>，则
a
11
a
12
a
13


a
1
a
2
a
3
153a
2
15a
2
5
，
a
1
a
2
a
3
80

a
2
d

a
2

a
2
d

80
，将
a
2
 5
aaa
13
3a
12
3

a
2
10d

3

530

105
。选B。 代入，得
d3
，从而
1112
点评：应用等差数列的通项公式将 因式转化为只含首项和公差的式子，变元减少，因式
就容易处理了。

2. 在两个 不等正数
a
，
b
之间插入
n
个数，使它们与
a、
b
组成等差数列{
a
n
}，公差为
d
1，
再插入
m
个数，使它们与
a
、
b
组成等差数 列{
b
n
}，公差为
d
2
，则
d
1
= .
d
2
3.(07年上海模拟)在数列{
a
n
}中,
a
1
=3,且对任意大于1的正整数
n
,点(
a
n
,
a
n1
)
在直线
xy3
=0上,则
a< br>n
=___________________.
六、课后作业：