张悬好听的歌-忧伤倒数

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《等差数列的前n项和》教学设计
一、设计理念
让学生 在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结
构中相关的知识与经验，自主 地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学
习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的 过程．在教学过程中，根据教学内容，
从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的 前n项和的求法．通
过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公 式
的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动
等形式 ，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成
绩优秀学生的发展，还设 计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解
决问题的能力，达到了分层教学的目的．
二、背景分析
本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节 内
容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应
用．等差 数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常
遇到的一类问题．同时，求 数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，
可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问 题方法．
三、学情分析
1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及 通项公式，掌
握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。
2、学生了解数列求和历史角 度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且
知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3， ……，100只是一个特殊的等差数列，
对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。 < br>3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题
解答的形式，通 过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭
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建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。
四、教学目标
1、类比高斯算法，探求等差数列前
n
项和公式，理解公式的推导方法；
2、能较熟练地应用等差数列前
n
项和公式解决相关问题；
3、经历公式的 推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的
研究方法，学会观察、归纳、反 思与逻辑推理的能力；
4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇 气和自信
心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；
五、教学重点与难点
1、教学重点：等差数列前
n
项和公式的推导和应用
2、教学难点：公式推导的思路
3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一 般、从具体到抽象的教学策
略。利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。通过学生自主探究，分析、 整理出推
导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，通过教师的点拨引
导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。
六、教学过程设计
（一）创设情景，提出问题
欣赏图片——泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世纪莫 卧儿帝国皇帝沙杰罕为
纪念其爱妃所建。它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成 为世
界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶嵌，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图
案， 以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。
问题1：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？
教师活动：利用多媒体，展示泰姬陵的 图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察
宝石数目变化情况。
学生活动：欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题1.
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活动预设：
（1）能得到的信息：从上到下，宝石数目以1为公差依次递增，构成等差数列。
（2）需要解决的问题：100层中究竟共有多少颗宝石？
【设计意图】（1）教师先用多媒 体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学
生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。
（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。
（二）探究等差数列前n项和公式
教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，让学生讲高斯故事。
学生活动 ：学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，
一次数学老师布置了一道 数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10
岁的小高斯略一思索就得到答案：50 50，这使老师非常吃惊。
问题1：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？
教师活动：指导学生快速找出规律。
学生活动：高斯算法解决：1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100=？
活动预设：高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，
所以原式=50×（1+101）=5050
问题2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质？
教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。
学生活动：利用高斯算法计算答案， 并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列
项的何种性质。
活动预设：构造数列：a
1
1,a
2
2,La
99
99,a
1 00
100
，则有性质：
等差数列
{a
n
}
中 ，若
mnpq
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
。
【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和 相等，对应的项和相等”
的特征，为等差数列前
n
项和公式的推导的“倒序相加法”做 好铺垫，开启了更深入、
更细致的研究大门。
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问题3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？
方法：倒序相加法 （借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成
平行四边形，由此引入倒序相加法）
教师活动：：
S
n
a
1
a
2
a< br>3
La
n2
a
n1
a
n
Sn
a
n
a
n1
a
n2
La3
a
2
a
1

2S
n
(a1
a
n
)(a
2
a
n1
)(a3
a
n2
)L(a
n2
a
3
) (a
n1
a
2
)(a
n
a
1
)< br>由性质“若
mnpq
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
”可得：
2S
n
n(a
1
a
n
)S
n

n(a
1
a
n
)
（等差数列前
n
项和公式）
2
【设计意图】（1） 数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导让学生体会到数学方法的
多样性，但需要寻求高效率的方法；
（2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数
列求和 的学习做好铺垫；
（三）公式理解和深化
公式一、
S
n

n
(a
1
a
n
)

2
问题1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？
教师活动：引导学生找出变量
学生活动：观察公式，找出变量。
活动预设：此公式 中，共有四个变量：
S
n
,n,a
1
,a
n
，可知 三求一。
【设计意图】让学生从变量上理解公式，从形式上初步了解如何由已知探求未知，在头
脑中初步建构公式的适用情况。
问题2：此公式还可进行怎样的变形？
教师活动：引导学生从
a
n
下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。
学生活动：尝试对公式进行变形。
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活 动预设：公式二、
S
n
na
1

n(n1)
d

2
【设计意图】（1）让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁，运用旧知巩固新知， 利用旧
知得出新知；
（2）体会知识之间的整体性和关联性，感受运用旧知推导新知的成功和喜悦。
问题3：观察、对比公式一、二，你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选？
教师活动：引导学生从两个公式中的变量进行总结。
学生活动：总结出两公式的区别及适用情况。
活动预设：（1）在两个公式，五个变量中：< br>a
1
,n,d,a
n
,S
n
，可知三求二
（2）若已知
a
n
，优先选用公式一，若已知
d
，优先选用公式二。
【设计意图】通过两公式的对比研究，可进一步加深学生对公式的记忆，公式一、二的
区别可提 高学生的做题速度和质量，再一次体现了数学的简洁美和精准性。
（四）公式应用、反馈评价
课堂练习之“争分夺秒”：

例1、在等差数列中：

(1)已 知a
1
14.5，d0.7，a
n
32，求S
n
;< br> (2)已知d3，a
n
20，S
n
65，求a
1和n；
五个元素 a
1
, a
n
, n, d, S
n
，知 三 求 二
你能自己构造一个类似的题目并自己解决吗？
变式训练：

(1)a
1
20,a
n
54,s
n
999,求d,n
例2.等差数列－10，－6， －2，2，…前多少项和是54?
解：∵a
1
=-10,d=-6－(-10)=4
∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54
解得n=9，n=-3(舍)
∴前9项的和是54
变式训练：求等差数列13，15，17，…81的各项和
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例3已知一个等差数列的前10项的和是310 ，前20项的和是1220，由此可以确定求其
前n项和的公式吗？

QS
n
na
1


10a
n(n1)
d
2
又S
10
310,S
20
1220

a
1
4



d6

1
45d310


20a
1
190d1220


n(n1)
63n
2
nS4n

n
2
教师活动：
分析解决问题，组织学生交流、讨论，再进行公式的应用。
【设计意图】透过此题，培养学生 熟练地选取恰当的公式进行求解。
六、布置作业
1.课本P
46
习题2.3，第1题（1）（3）
七、板书设计

一、等差数列前n项和：
3.3等差数列前n项和
S
n
a
1
a
2
La
n

二、公式的推导
方法：倒序相加法
三、深化公式
公式1、
公式2、
变形：
（主板书）
四、课堂练习








（副板书）






（辅助性板书）

八、教学反思
“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯 的算法，探究
这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思
路．本节课教 学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突
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破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问 题体现了分析、解
决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问
题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图
形的直观 性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．



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