煮牛奶的正确方法-英语作文翻译

关于等差数列各项的同名三角函数值求和的探究
陕西省西安中学 陈昱坤

【关键词】 三角恒等式证明 等差数列 公差 积化和差公式 和差化积公式 归纳演绎法
【问题的提出】 在学习三角恒等变形时，很多同学都做过这样的 习题：
sin
sin
cos

5
sin
sin
cos
2

5
2

7
2
5
sin
sin
3

5
3

7< br>sin
4

5

？（答案为cot
6
< br>7

？(答案为

10
1
2
）
c ot

14

7


sin
cos< br>4

5
）

5
cos
3

5

？
这 样的问题，每一次遇到总是摸不着头脑，颇有老虎吃天，无处下口之感。即便绞尽脑汁，算出
了正确答案 ，但心中总是感觉像是瞎猫碰上死耗子。于是提出问题：
⑴、这样的问题有什么共同的特点吗？
⑵、解决这样的问题有一般的方法吗？
【问题的解决】以
sin

7
sin
2

7
sin
3

7


sin
6

7

？为例：
㈠、观察这些问题的共同特点。
通过观察，不难发现：这些式子都是一个等差数列各项的 同名三角函数值的和。（上式
是公差为

7
的等差数列各项的正弦值的和）
㈡、联想。
由于这些式子一般较长，联想到数列中求和的常用方法——列项相消法，是否可以 采用
它呢？关键是如何列项。又想到三角函数的
积化和差公式
[注]
能使一项 变为两项。但如何凑
“积”？又如何使化出来的各项前后相消呢？
㈢、尝试。
仔细观察积化和差公式的特点，将原式乘以
sin
项目的。
(sin

14
( 即公差

7
一半的正弦值)可 达到消

7
sin
2

7
sin
3< br>
7
sin
sin
6

7
)sin

14
原式=

14
sinsin

7
sin

14
sin
2

7
14
sin
sin
3

7
sin

14
sin
6

7
sin

14
=

14

1
=
2
[cos(

7


14
)cos(

7


14
)]
1
2
[cos(
2
7


14
)cos(
sin
2

7


14
)]
1
2
[cos(
6

7


14
)cos(
6

7


14
)]

14

第 1 页 共 3 页

1
=
2
[ (cos

14
cos
3

14
)(cos< br>3

14
cos
sin
5

14
)(cos
11

14
cos
13

14
)]

14

1
=
2
(cos

14
sin
cos
13

14
)
14
6

14


sin

2
sin
=
sin

14
=
cot

1 4

问题得到了解决。
【问题的延伸】上面讨论了求
sin
sin
d
2

7
sin
2

7
si n
3

7


sin
6

7< br>
？的方法。发现将原式乘以
（
d
为公差）是一种十分有效的方法。将 上述问题推广到n,同样的方法，可得：

2

3

(n 1)

cot

sinsinsinsin
nnnn2n
更一般的，有：
n
d)sind
22
①
si

nsi

n

d

sin

[(n1)d]
d
sin
2
等差数列的各项正弦值的和有上述结论，余 弦值是否也有类似结论呢？答案是肯定的。
sin

(
n1
将 ①中用

2
－α代替α，－d代替d，便可得到：
cos(

n1
2
sin
d)sin
d
2
n2
d

cos

cos


d< br>
cos[

(n1)d]
②
令d=α，由①，得：
sin
sin

sin2
sin3

sinn


n1
2

sin

2
n
2

③
sin
令d=α，由②，得：
cos
cos

cos2

cos3

cosn


n1
2

sin

2
n
2

④
sin
令d=２α，由①，得：
第 2 页 共 3 页

sin

sin 3

sin5

sin(2n1)


sinn

sin

2
⑤

令d=２α，由②，得：
cos

cos3

cos 5

cos(2n1)


sinn

c osn

sin

⑥
令d=α＝
cos

n
，由②，得：
2

n
cos
3

n


cos
(n 1)

n
0
⑦

n
cos
在③中，用２α代替α，得：

sin2< br>
sin4

sin6

sin2n
< br>
在④中，用２α代替α，得：
cos2

cos4
< br>cos6

cos2n


cos(n1)

sinn

sin

sin(n1)

 sinn

sin

⑧
⑨
由⑧⑤，得：
sin2

sin4

sin6



sin2n

sin

sin3
sin5



sin(2n1)


sin

n1


sinn


„„
于是，一些更复杂的结论便 应运而生。
【思想方法的总结】问题解决后，回 过头来，我们还应当总结一下用到的思想方法——归
纳演绎法
此问题提出的本身就是这一思想 方法的体现：由零散的、不规则的问题探寻一般
的方法。而问题的解决同样也体现者此思想方法：我们通 过对一道“特殊”问题的研
究，进而得出一般的结论。此即为“归纳”。问题的延伸则是通过对本质结论 的不断
变换，创造出许许多多形式更为奇妙的式子，此即为“演绎”。
归纳便是由特殊 总结到一般，演绎便是由一般衍生出一般。特殊问题往往“高度”
不够，不能揭示问题的本质。因此，当 遇到特殊的问题，尤其是多个具有一定相似
性问题，我们便要想到“归纳”，归纳出它门的共性（本质特 点），寻求一般的结论。
这样一来，我们便能“更上一层楼”。一般的问题（常常表现为范围广、未知因 素多
等）又往往难于下手，这时将问题演绎出一些更特殊的问题以寻求突破口经常能起
到“事半 功倍”的效果，不失为一个妙法。
【参考文献】 《三角函数》 沈虎跃 浙江大学出版社
注： 三角函数积化和差公式
sin
< br>cos



sin


1
21
2
1
2

sin(


sin(< br>

cos(



)sin(



)




)sin(



)




)cos(



)




)cos(



)



cos

cos

cos



sin

sin


1
2

c os(

第 3 页 共 3 页