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多元智能教育倡导者

睿 博 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号： LH-rbjy0003 副校长组长签字： 签字日期：
学 员 编 号 ：LH-rbjy15046 年 级 ：高二 课 时 数 ：3
学 员 姓 名 ： 杨畑畑 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ：张华清

课 题
课 型
授课日期及时段
教 学 目 的
重 难 点
数列
□ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课
课 次
第 3 次
2015年 9月 26 日 15 ：00 — 17 ：00 p.m.（D）
通过学习数列的前n项和来解决一些关于不等式的问题。
求前n项和方法的灵活运用。
教 学 内 容
课前回顾：
上节课讲了求通项公式的几种方法，对于其中的几种一定要熟记。
数列分为等差数列和等比数 列，但是无论等差数列还是等比数列，第一步都是要求通项公式，然后第
二步求前n项和，下面我们就介 绍几种求前n项和的方法。在说方法之前，一定要了解其实求前n项
和是为了和不等式连接起来，也就是 前面所说的函数的问题，下面就正式介绍求前n项和的几种方法。

【基础知识网络总结与巩固】
一、公式法
等差数列前n项和：
S
n

n(a
1
a
n
)
n(n1)
 na
1
d

22
特别的，当前n项的个数为奇数时，
S< br>2k1
(2k1)a
k1
，即前n项和为中间项乘以项数。这个公式 在很多时候可
以简化运算。
等比数列前n项和：
q=1时，
S
n
na
1

q1，S
n

其他公式：
a
1
1q
n
1q

，特别要注意对公比的讨论。
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我难人难我不怕难，我易人易我不大意
1

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n
11
1、
S
n


kn(n1)
2、
S
n


k< br>2
n(n1)(2n1)

26
k1k1
n
3、
S
n

1
3
k[n(n1)]
2


2
k1
n
二、错位相减法
这种方法是在推导等比 数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a
n
· b
n
}的前n项和，其
中{ a
n
}、{ b
n
}分别是等差数列和等比数列.
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所 用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，
就可以得到n个
(a< br>1
a
n
)
.
四、分组法求和
有一类数列，既不 是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，
然后分别 求和，再将其合并即可.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，
使之能消去一些项，最终达到求和的目的 . 通项分解
（裂项）
如：
sin1


（1）
a
n
f(n1)f(n)
（2）
tan(n1 )tann

cosncos(n1)
111
(2n)
2111

（3）
a
n

（4）
a
n
1()

n(n1)nn1
(2n 1)(2n1)22n12n1
（5）
a
n

1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
(6)
a
n

n212(n1)n1111

n
 
n
,则S1

n
n1nn
n(n1)
2
n(n1)
2n2(n1)2(n1)2
六、合并法求和
针对 一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一
起先求和，然后再求S
n
.


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2

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【重难点例题启发与方法总结】
（公式法）
[例1] 已知
log
3
x
解：由
log
3
x
1
23n
，求
xxxx 
的前n项和.
log
2
3
11
log
3
xlog
3
2x

log
2
32
由等比数列求和公式得
S
n
xx
2
x
3x
n

（利用常用公式）

11
(1)
n
x(1x
n
)
2
2
＝1－
1
＝＝
1
2
n
1x
1
2
[例2] 设S
n
＝1+2+3+…+n，n∈N
*
,求
f(n)
S
n< br>的最大值.
(n32)S
n1
11
n(n1)
，
S
n1
(n1)(n2)

（利用常用公式）

22
解：由等差数列求和公式得
S
n

∴
f(n)
n
S
n
＝
2

(n32)S
n1
n34n64
＝
1
n34
64
n
＝
(n
1
8n

)
2
50
1

50
∴ 当
n
1
8
，即n＝8时，
f(n)
max


50
8
（错位相加法）
[例3] 求和：
S
n
13x5x
2
7x
3
(2n1)x
n 1
………………………①
解：由题可知，{
(2n1)x
n1
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{
x
n1
}的通项之积 设
xS
n
1x3x
2
5x
3
7x4
(2n1)x
n
………………………. ②
（设制错位）

①－②得
(1x)S
n
12x2 x
2
2x
3
2x
4
2x
n1(2n1)x
n

（错位相减
）
1x
n1
(2n1)x
n
再利用等比数列的求和公式得：
(1x)S
n
12x
1x
(2n1)x
n1
(2n1)x
n
(1x)
∴
S
n


2
(1x)
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2462n
,
2
,
3
,,
n
,
前n项的和.
2
222
2n1< br>解：由题可知，{
n
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
n
}的通项之积
2
2
2462n
设
S
n
2

3

n
…………………………………①
2
222
12462n
S
n

2

3
4

n1
………………………………②
（设制错位）

2
2222
1222222n
①－②得(1)S
n

2

3

4
 
n

n1

（错位相减
）
22
22222
12n

2
n1

n1

22
n2
∴
S
n
4
n1

2
[例4] 求数列
（反序相加法）
[例5] 求
sin
2
1

sin
2
2

sin
2
3

 sin
2
88

sin
2
89

的值
解：设
Ssin1sin2sin3sin88sin89
……… …. ①
将①式右边反序得

Ssin89sin88sin3sin2sin1
…………..②
（反序）

又因为
sinxcos(90

x),sin
2
xcos
2
x1

①+②得
（反序相加）

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2S(sin
2
1

cos< br>2
1

)(sin
2
2

cos
2
2

)(sin
2
89

cos
2
89

)
＝89
∴ S＝44.5
（分组法求和）
[例6] 求数列的前n项和：
11,
1
4,< br>a
解：设
S
n
(11)(
11
7,, 3n2
，…
2n1
aa
111
4)(
2
7)(
n1
3n2)

a
aa
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
(1
111

2

n1
)(1473n 2)

（分组）

a
a a
(3n1)n(3n1)n
当a＝1时，
S
n
n
＝
（分组求和）

221
1
n
(3n1)n
aa
1n
(3n1)n
a

当
a1
时，
S
n

＝

1
a12
2
1
a


[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
a
k
k(k1)(2k1)2k3kk

32
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∴
S
n

< br>k(k1)(2k1)
＝

(2k
k1k1
nn3
3k
2
k)




将其每一项拆开再重新组合得
S
n
＝
2

k 1
n
k3

k

k

（分组）

32
k1k1
nn
＝
2(1
3
2
3
n
3
)3(1
2
22
n
2
)(12n)
n
2
(n1)
2
n(n1)(2n1)n(n1)

＝
（分组求和）

222
n(n1)
2
(n2)
＝
2
（裂项法求和）
[例9] 求数列
解：设
a
n
1
12
,
1
23
,,
1
nn1
,
的前n项和.
1
nn1
1

n1n

（裂项）

1
nn1
则
S
n

1
2312


（裂项求和）

＝
(21)(32)(n1n)

＝
n11

[例10] 在数列{a
n
}中，
a
n

解： ∵
an

12n
2

，又
b
n

，求数列{b
n
}的前n项的和.
n1n1n1
a
n
a
n1
12nn


n1n1n12
211
∴
b
n
8()

（裂项）

nn1
nn1

22
∴ 数列{b
n
}的前n项和
11
22
1
)
＝ ＝
8(1
n1

S
n
8[(1)()( )(
11
33
8n

n1
1
4
11
)]

（裂项求和）

nn1
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111cos1

[例11] 求证： < br>
cos0

cos1

cos1
< br>cos2

cos88

cos89

sin
2
1

解：设
S
111



cos0cos1cos1cos2cos88cos89
sin1

∵
tan(n1)

tann


（裂项）


cosncos(n1)
111


（裂项求和）


cos0cos1cos1cos2cos88 cos89
1

{(tan1tan0)(tan2tan1) (tan3tan2)[tan89tan88]}
＝

sin1
∴
S
11
cos1


(tan89tan0)
＝
cot1
＝
2
< br> ＝
sin1

sin1

sin1
∴ 原等式成立
（合并求和法）
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S
n
＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ cosn

cos(180

n

)

（找特殊性质项）

∴S
n
＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90°
（合并求和）

＝ 0
[例13] 数列 {a
n
}：
a
1
1,a
2
3,a
3< br>2,a
n2
a
n1
a
n
，求S
2 002
.
解：设S
2002
＝
a
1
a
2
a
3
a
2002

由
a
1
1,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1
a
n
可得
a
4
1,a
5
3,a
6
2,

a
7
1,a
8
3,a
9
2,a
10
1,a
11
3,a
12
2,

……
a
6k1
1,a
6k2
3,a
6k3
 2,a
6k4
1,a
6k5
3,a
6k6
 2

∵
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4
a
6k5
a
6k6
0

（找特殊性质项）

∴ S2002
＝
a
1
a
2
a
3
 a
2002

（合并求和）

＝
(a
1
a
2
a
3
a
6
)(a
7
a
8
a
12
)(a
6k1
a
6k2
 a
6k6
)

(a
1993
a1994
a
1998
)a
1999
a
2 000
a
2001
a
2002

＝
a
1999
a
2000
a
2001
a
2002

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6

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＝
a
6k1
a
6k2
a
6k3
a
6k4

＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若
a
5
a
6
9,求 log
3
a
1
log
3
a
2
 log
3
a
10
的值.
解：设
S
n
l og
3
a
1
log
3
a
2
l og
3
a
10

由等比数列的性质
mnpqa< br>m
a
n
a
p
a
q

（找特殊性质项）

和对数的运算性质
log
a
Mlo g
a
Nlog
a
MN
得
S
n
 (log
3
a
1
log
3
a
10
)( log
3
a
2
log
3
a
9
) (log
3
a
5
log
3
a
6
)
（合并求和）

＝
(log
3
a1
a
10
)(log
3
a
2
a
9
)(log
3
a
5
a
6
)

＝
log
3
9log
3
9log
3
9

＝10
方法总结：
以上6种方法虽然各有其特点， 但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进
行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公 式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一
规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解 。（求和公式和求通项公式相比的话，套公式性不是太强烈，所以做
这些求和的题的时候第一要先观察， 思考后再下手）

【重难点关联练习巩固与方法总结】

1. （14分） 在数列

a
n

中，
a
1
2
，
（1）证明数列

a
n
n

是等比数列； a
n1
4a
n
3n1
，
nN
*．
（2）求数列

a
n

的前
n
项和
S
n
；（3）证明不等式
S
n1
≤4S
n
，对任意
nN
*
皆成立．






2.求数列
2
1
，
12
1
，
2
1
，
2
1
，…的前
n
项和
S
n
.
24
48
36
2






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3. （14分）数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，
a
n1
2S
n
(nN
*)
．
（Ⅰ）求数列

a
n

的通项
a
n
；
（Ⅱ）求数列

na
n

的前< br>n
项和
T
n
．










4．（12分）在数列

a< br>n

中，
a
1
1
，
a
n12a
n
2
n
；
（1）设
b
n

a
n
．证明：数列

b
n

是等差数列；
2
n1
（2）求数列

a
n

的前n
项和
S
n
。







1
，前
n
项和
S
n
n2
a
n

n1

．（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；（Ⅱ）
2
S
n1
n
2
设
b
1
0
，
b
n

． 
n2

，
T
n
为数列

b
n

的前
n
项和，求证：
T
n

n1
S
n











5．（14分）已知数列

a
n

的首项
a
1

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6.（本题满分14分）
已知数列｛
an
｝中，
S
n
是它的前
n
项和，并且
S
n
＋1
＝4
a
n
＋2(
n
＝1，2，…)，a
1
＝1.(1)设
b
n
＝
a
n
＋1
－2
a
n
(
n
＝1，2，…)求证｛
b
n
｝是等比数列；(2)设
c
n
＝
的通项公式及前
n
项和公式.

a
n
(
n
＝1，2…)求证｛
c
n
｝是等差数列；(3)求数列｛
a
n
｝
n
2


【课后强化巩固练习与方法总结】
【基础模块】
1．数列
2，5，
的一个通项公式是
22，11，
A.
a
n
3n3
B.
a
n
3n1
C.
a
n
3n1
D.
a
n
3n3

2．已知数列

a
n< br>
的首项
a
1
1
，且
a
n
2a
n1
1

n2

，则
a
5
为
A．7 B．15 C.30 D．31
3.下列各组数能组成等比数列的是
A.
111
,,
B.
lg3,lg9,lg27
C.
6,8,10
D.
3,33,9

369
4.
等差数列

a
n

的前m
项的和是
30
，前
2m
项的和是
100
，则 它的前
3m
项的和是

A．130 B．170 C．210 D．260
2222
5.若

a
n< br>
是等比数列,前n项和
S
n
2
n
1
, 则
a
1
a
2
a
3
a
n


n
A.
(2
n
1)
2

B.
(21)
C.
41
D.
(41)

1
3
n2
1
3
n
6.各项为正数的等比数列

a
n

，
a
4a
7
8
，则
log
2
1
log
2
2
log
2
10


aa
a
A．5 B．10 C．15 D．20
7．已知等差数列{a
n
}的公差d≠0,若a
5
、a< br>9
、a
15
成等比数列,那么公比为
(A)

(B)

(C)

(D)


8.在等差数列

a
n

和< br>
b
n

中，
a
1
25
，
b
1
75
，
a
100
b
100
1 00
，则数列

a
n
b
n

的
前
100
项和为
A.
0
B.
100
C.
1000
D.
10000

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9

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9.已知等比数列

a
n

的通项公式为
a
n
23
n1
，则由此数列的偶数项所 组成的新数列的
前n项和
S
n


9
n
13(9
n
1)
A.
31
B.
3(31)
C. D.
44
10．等比数列

a
n

中，
a
1
、a
99
为方程
x
2
10x160
的两根，则
a
20
a< br>50
a
80
的值为
n
n
A．32 B．64 C．256 D．±64
11.在等差数列

a
n

中，若
a
4
a
6
a
8
a
10
a
12
120
，则
a10

A. 6 B. 8 C. 10 D. 16
2
a
11
的值为
3
·a
6
·a
9
……a
30
等于
12.
设由正数组成的等比数列，公比
q=2
，且
a
1
· a
2
……a
30
2
30
，则
a
3
A．
2
B．
2
C．
2
D．
2

10201615
【拔高模块】
13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列
一共有 项.
14.若

a
n

是 等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 .
2
1

④
lga
①
a
n
②

a
2n

③

n



a
n


15. 已知数列

a
n

的前
n
项和< br>S
n
32
n
，则
a
n
=_______ ___.
16.在等差数列

a
n

中，
a1
a
4
a
10
a
16
a
19
100
，则
a
16
a
19
a
13< br>的值是________
【死亡模块】
．
17．（10分）．已知四个数， 前三个数成等比数列，和为
19
，后三个数成等差数列，和为
12
，求此四个 数.






18．（12分）.已知
a
n

满足
a
1
3
，
a
n1
2a
n
1
，
（1）求证：

a
n
1

是等比数列；
（2）求这个数列的通项公式
a
n
.





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19．（12分）在数列

a
n
中，
a
1
1
，
a
n1
2a< br>n
2
n
；
（1）设
b
n

a< br>n
．证明：数列

b
n

是等差数列；
2
n1
（2）求数列

a
n

的前
n项和
S
n
。







【重生模块】
20．（12分）已知正项数列

a
n< br>
满足
a
1

（1）求正项数列

a
n

的通项公式；
（2）求和






22．（12分）.设
{a
n
}
是公比大于1 的等比数列，
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和．已知
S
3
7
，且
a
1
3，3a
2
，a
3
4
构成
等差数列．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式．
（2）令
b
n
lna
3n1
，n1
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n

，2，，




1
a
n
，且
a
n1
.

2
1a
n
a
1
a
2
a

n

12n


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【本次课程重点核心笔记与分析、方法总结】

















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