食品安全法培训-妇女节的由来

数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
S
n(a
1
a
n
)
n

2na
n(n1)
1

2
d

na
1
(q1)
2、等比数列求和公式：
S

nn


a

1
(1q)

1q< br>
a
1
a
n
q
1q
(q1)


nn
3、
Sk
1
n(n1)
4、
S
1
n

n
1

k
2< br>n(n1)(2n1)

k
2
k1
6
5、
S
n


n
k
3
[
1
n(n1)]
2

k1
2
[例1] 已知
log
1
3
x
log
，求
xx
2
x
3
x
n

的前n项和.
2
3






[例2] 设S
S
n
＝1+2+3+…+n，n∈N
*
,求
f(n)
n
(n32)S
的最大值.
n1








二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用 的方法，这种方法主要用于求数列{a
n
·
{a
n
}
、{b
n
}
分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：
S< br>23
n
13x5x7x(2n1)x
n1
…… …………………①





1
b
n
}的前n项和，其中

[例4] 求数列











三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法， 就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就
可以得到
n
个
(a
1
a
n
)
.
[例5] 求
sin1sin2sin3sin88sin89
的值






四、分组法求和
有一类数列，既不是 等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，
然后分别求 和，再将其合并即可.
[例6] 求数列的前n项和：
11,
2

2

2

2

2

2462n
,
2
,
3
,,
n
,
前n项的和. < br>2
222
111
4,
2
7,,
n13n2
，…
a
aa






[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.



2

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重 新组合，使
之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解
（裂项）
如：
sin1

（1）
a
n
f(n1)f(n)
（2）
tan(n1)

tann



cosncos(n1)
111
(2n)
2
111
（3）
a
n

（4）
a
n


1()

n(n1)n n1
(2n1)(2n1)22n12n1
（5）
a
n

1111
[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
(6)
a
n

n212(n1)n1111


n

n
,则S1
n
n(n1)
2
n(n 1)
2n2
n1
(n1)2
n
(n1)2
n1
12
,
1
23
,,
1
nn1
,
的前n项和. [例9] 求数列








[例10] 在数列{a
n
}中，
a
n







12n
2

，又
bn

，求数列{b
n
}的前n项的和.
n1n1n1< br>a
n
a
n1
111cos1

< br> [例11] 求证：

2

cos0cos1cos 1cos2cos88cos89sin1




3

六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某 些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一
起先求和，然后再求 S
n
.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
[例13] 数列{a
n
}：
a
1
1,a
2
3,a
3
2,a
n2
a
n1
a
n
，求S
2002

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若
a
5
a
6
9,求log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10
的值.








七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列 的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n
项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
111111111

1
之和

n个1

8
[例16] 已知数列{a
n
} ：
a
n
,求

(n1)(a
n
a
n 1
)
的值.
(n1)(n3)
n1



4