新教材人教A版选择性必修第二册 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 作业
少年儿童舞蹈-语文教学工作计划
课时分层作业(五) 等差数列的前n项和公式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知等差数列{a
n
}满足a
2
＋a
4
＝4，a
3
＋a
5
＝10，则它的前10项的和S
10
＝( )
A．138 B．135 C．95 D．23
a
2
＋a
4
＝4，
a1
＋2d＝2，
a
1
＝－4，
C
[∵
∴
∴
a<
br>3
＋a
5
＝10，
a
1
＋3d＝5，
d＝3，
10×9
∴S
10
＝10a
1
＋<
br>2
×d＝－40＋135＝95.]
2．已知S
n
是等差数列{a<
br>n
}的前n项和，若a
1
＋a
12
＝a
7
＋
6，则S
11
＝( )
A．99
C．198
B．33
D．66
D [因为a
1
＋a
12
＝a<
br>7
＋6，所以a
6
＝6，则
11a
1
＋a
11
S
11
＝
＝11a
6
＝11×6＝66，
故选D.]
2
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765
C．763
B．665
D．663
B [由题意
得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，
∴2＋(n－1)×7<100， <
br>1
∴n<15，∴n＝14，S
14
＝14×2＋
2
×14×
13×7＝665.]
4．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能<
br>少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9
C．19
B．10
D．29
B
[钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层
钢管数为1，逐层增加1个．
nn＋1
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝
2
.
当n＝1
9时，S
19
＝190.当n＝20时，S
20
＝210>200.∴n＝1
9时，剩余钢管根
数最少， 为10根．]
5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织
，日益功疾，初日织五尺，
今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，
每
天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布．现在一月(按30天计算)共织
390尺布
，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a
n
，则a
14
＋a
15
＋a
16
＋a
17
的值为( )
A．55
C．39
B．52
D．26
30×29
B [由题意可得{a
n
}为等差数列，a
1
＝5，∴S
30
＝30×5＋
2
d＝390，
16
解得d＝
29
，
∴a
1
4
＋a
15
＋a
16
＋a
17
＝a
1＋13d＋a
1
＋14d＋a
1
＋15d＋a
1
＋16
d＝4a
1
＋58d＝
16
4×5＋58×
29
＝52.]
二、填空题
1
6．已知数列{a
n
}中，a
1
＝
1，a
n
＝a
n
－
1
＋
2
(n≥2)，则
数列{a
n
}的前9项和等于
________．
11
27 [由
a
1
＝1，a
n
＝a
n－1
＋
2
(n≥2
)，可知数列{a
n
}是首项为1，公差为
2
的等
9×9－1<
br>1
差数列，故S
9
＝9a
1
＋×
2
＝9＋1
8＝27.]
2
7．设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项
和，若3S
3
＝S
2
＋S
4
，a
1
＝2，
则a
5
＝________.
－10
[设该等差数列的公差为d，
4×3
3×2
＝2×2＋d＋
4×2＋
根据题中的条件可得3
3×2＋
d，整理解得
·d
2
·
2
d＝－3，所以a
5
＝a
1
＋4d＝2－12＝－10.]
8．已知等差数列{a
n
}满足a
1
＝32，a
2
＋a
3
＝40，则{|a
n
|}前12项之
和为
________．
304 [因为a
2
＋a
3
＝2
a
1
＋3d＝64＋3d＝40⇒d＝－8，所以a
n
＝40－8n.所以<
br>
5×32＋07×8＋56
40－8n，n≤5，
|a<
br>n
|＝|40－8n|＝
所以前12项之和为＋
22
8n－40，n＞5，
＝80＋224＝304.]
三、解答题
9
．等差数列{a
n
}中，a
10
＝30，a
20
＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若S
n
＝242，求n.
[解] (1)设数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d.
a
10
＝a
1
＋9d＝30，
则
a
20
＝a
1
＋19d＝50，<
br>
a
1
＝12，
解得
d＝2，
∴a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝12＋(n
－1)×2＝10＋2n.
nn－1
(2)由S
n
＝na
1<
br>＋
2
d以及a
1
＝12，d＝2，S
n
＝242，
nn－1
得方程242＝12n＋
2
×2，即n
2
＋1
1n－242＝0，解得n＝11或n＝－
22(舍去)．故n＝11.
10．已知等差数列
{a
n
}的前n项和为S
n
，a
8
＝1，S
16<
br>＝0，当S
n
取最大值时
求n的值．
[解]
a
8
＝
a
1
＋7d＝1，
法一：由
16×15
S＝16a＋1
16
2
d＝0，
a
1
＝15，
解得
则S
n
＝－n
2
<
br>
d＝－2，
＋16n＝－(n－8)
2
＋64，则当n＝
8时，S
n
取得最大值．
法二：因为{a
n
}是等差数列，所以S
16
＝8(a
1
＋a
16
)＝8(a
8
＋
a
9
)＝0，则a
9
＝－
a
8
＝－1，即数列{a
n
}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以当n＝8时，
S
n
取得最大值．
11．(多选题)设S
n
是公差为d(d≠0)的无穷等差
数列{a
n
}的前n项和，则下列
命题中正确的是( )
A．若d＜0，则数列{S
n
}有最大项
B．若数列{S
n
}有最大项，则d＜0
C．若数列{S
n
}是递增数列，则对任意n∈N
*
，均有S
n
＞0
D．若对任意
n∈N
*
，均有S
n
＞0，则数列{S
n
}是递增数列
ABD [显然S
n
对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则S
n
有最大
值，故A，B正确．
又若对任意n∈N
*
，S
n<
br>＞0，则a
1
＞0，d＞0，{S
n
}必为递增数列，故D正确． <
br>而对于C项，令S
n
＝n
2
－2n，则数列{S
n
}
递增，但S
1
＝－1＜0，故C不正
确．]
12．(多选题)设等差数列{
a
n
}的前n项和为S
n
且满足S
2
019
＞0，S
2 020
＜0，对
任意正整数n，都有|a
n|≥|a
k
|，则下列判断正确的是( )
A．a
1
010
＞0
C．|a
1 010
|＞|a
1 011
|
B．a
1 011
＞0
D．k的值为1 010
020
＝
2 019a
1
＋a
2
019
AD [由等差数列{a
n
}，可得S
2
019
＝
＞0，S
2
2
2
020a
1
＋a
2 020
＜0，
2
即：a
1
＋a
2
019
＞0，a
1
＋a
2 020
＜0，可得：2a
1
010
＞0，a
1 010
＋a
1 011
＜0，
∴a
1 010
＞0，a
1
011
＜0，∴A正确B错误．又等差数列{a
n
}为递减数列，
且a
1 010
＋a
1 011
＜0，∴|a
1
010
|＜|a
1 011
|，∴C错误．
而对任意正整数n，都有|a
n
|≥|a
k
|，则k的值为1
010.故D正确．故选AD.]
13．(一题两空)设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，S
2
＝S
6
，a
4
＝1，则d
＝
________，a
5
＝________.
5
2
a
1
＋d＝6a
1
＋
6×
d，
2
[由题意
知
a
1
＋3d＝1，
－2 －1
a
1
＝7，
解得
所以a
5
＝a
4
＋d＝1＋(－2)＝－1.]
d＝－2，<
br>14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻
两棵树相距10米，
开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从
各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总
和最小，此最小值为________米．
2 000 [假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出
发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑
旁，
此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所
有同学往
返的总路程为
9×810×9
S＝9×20＋
2
×20＋10×20＋2
×20＝2 000(米)．]
15．已知数列{a
n
}
的前n项和为S
n
，数列{a
n
}为等差数列，a
1
＝12
，d＝－2.
(1)求S
n
，并画出{S
n
}(1≤n≤13)的图象；
(2)分别求{S
n
}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{S
n
}
的最大(或最小)
的项；
(3){S
n
}有多少项大于零？
nn－1nn－1
[解] (1)S
n
＝na
1
＋
2
d＝12n＋
2
×(－2)＝－n
2
＋13n.图象如图
．
13
2
169
(2)S
n＝－n
＋13n＝－
n－
2
＋
4
，n∈N
*
，
2
∴当n＝6或7时，S
n
最
大；当1≤n≤6时，{S
n
}单调递增；当n≥7时，{S
n
}
单
调递减．
{S
n
}有最大值，最大项是S
6
，S
7
，S
6
＝S
7
＝42.
(3)由图象得{S
n
}中有12项大于零．