中国魅力城市-水资源调查

数列知识点及方法归纳
1. 等差数列的定义与性质
定义：
an1
a
n
d
（
d
为常数），
a
n
a
1


n1

d

等差中项：
x，A，y
成等差数列
2Axy

前n
项和
S
n


a
1
a
n

n
na
2
1

n

n1< br>
d

2
性质：

a
n

是等差数列
（1）若
mnpq
，则
a
m
a
n
a
p< br>a
q
；

（2）数列

a
2n1

,

a
2n

,

a
2n 1

仍为等差数列，公差为
n
2
d
；
S
n
，S
2n
S
n
，S
3n
S
2n……
仍为等差数列，
（3）若三个成等差数列，可设为
ad，a，ad

a
m
S
2m1

（4）若
a
n，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
， T
n
，则
b
m
T
2m1
（5）
a
n

为等差数列
S
n
anbn
（a，b
为常数，是关于
n
的常数项为0的二次函数）
2
Sn
的最值可求二次函数
S
n
an
2
bn
的 最值；或者求出

a
n

中的正、负分界项，

a0
即：当
a
1
0，d0
，解不等式组

n
可得
S
n
达到最大值时的
n
值.

a
n1
0

a0
当
a
1
0，d0
，由

n
可得
S
n
达到最小值时的
n值.

a
n1
0
(6)项数为偶数
2n
的等差数列

a
n

，
有
S
2nn(a
1
a
2n
)n(a
2
a
2n 1
)n(a
n
a
n1
)(a
n
,an1
为中间两项)

S
偶
S
奇
nd，
S
奇

a
n
.
S
偶
a< br>n1
（7）项数为奇数
2n1
的等差数列

a
n

，
有
S
2n1
(2n1)a
n
(a
n
为中间项)
，

S
奇
S
偶
a
n
，
S
奇
S
偶
< br>n
.
n1
2. 等比数列的定义与性质
定义：
a
n1
n1
q
（
q
为常数，
q0
），a
n
a
1
q
.

a
n
等比 中项：
x、G、y
成等比数列
G
2
xy
，或
G xy
.


na
1
(q1)

前< br>n
项和：
S
n


a
1

1q
n

（要注意！）
(q1)


1q
性质：

a
n

是等比数列
·a
n
a
p
·a
q
（1）若
mn pq
，则
a
m
（2）
S
n
，S
2nS
n
，S
3n
S
2n
……
仍为等比数列, 公比为
q
.
注意：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n
n1
时，
a
1
S
1
；
n 2
时，
a
n
S
n
S
n1

.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
例：数列

a
n

，
a
1





［练习］数列

a
n

满足
S
n
S
n1
a
n1
，a
1
4
，求
a
n





5
3
1
2
11
a……a
n
2n5
，求
a
n

2
2n
22

（2）叠乘法
①数列
a
n

中，
a
1
3，








a
n1
n

，求
a
n

a
n
n1
（3）等差型递推公式
由
a
n
a
n1
f(n)，a
1
a
0
，求
an
，用迭加法

a
3
a
2
f(3)

n2
时，

两边相加得
a
n
 a
1
f(2)f(3)……f(n)

…………

a
n
a
n1
f(n)


a
2a
1
f(2)
∴
a
n
a
0
f (2)f(3)……f(n)

，a
n
3
［练习］数列
a
n

中，
a
1
1



（4）等比型递推公式
a
n
ca
n1
d
（
c、d
n1
a
n1

n2
< br>，求
a
n
（
a
n

1
n

31


2
为常数，
c0，c1，d0
）
可转化为等比数列，设
a
n
xc

a
n1< br>x

a
n
ca
n1


c 1

x

d

d
d
a
令< br>(c1)xd
，∴
x
，∴

n
，c
为 公比的等比数列

是首项为
a
1

c1
c1
c1

∴
a
n


dd
< br>n1
d

n1
d



a< br>1
·caa
，∴
n

1

cc1

c1

c1

c1



例：数列
{a
n
}
满足
a
11
,
a
n1
2a
n
1
,求数列
{a
n
}
的通项公式





（5）倒数法
①
a
1
1，a
n1




②在数列
{a
n
}
中,
a
1
1
,
a
n1

2a
n
，求
a
n

a
n
2
a
n
,求数列
{a
n
}
的通项公式.
1na
n


< br>公式法、利用
a
n


S
1
(n1)S
n
S
n1
(n2)
、累加法、累乘法.构造等差或等比
a
n1
pa
n
q
或
a
n1
pa
n
f(n)
、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
4. 求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：

a
n

是公差为
d
的等差数列，求

解：由
n
1

k1
a
k
a
k1
n
111

11






d 0


a
k
·a
k1
a
k

a
k
d

d

a
k
a
k1

n

111

11

1


11


11

1

……
∴









aadaadaaaaaa
k1
kk1k1
k1

3

n1


< br>k

n


12


2