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等差数列前n项和最值问题求法

等差数列的前n项 和最值问题反映了数的变化过程，体现了一种从量的积累到质的变化，揭
示了数之间的关联，其最值的求 法通常可从函数与不等式来考察，下面通过几个例题从不同
的侧面来小议其求法。
一、应用二次函数图象求解最值
例1：等差数列

a
n

中，
a
10,S
4
S
9
，则n的取值为多少时？
S
n
最大
分析：等差数列的前n项和
S
n
是关于n的二次函数，因此可从二次 函数的图象的角度来求
解。
解析：由条件
a
1
0,S
4
S
9
可知，d<0，且
S
n
na
1

n(n1)
2
d
d
2
n(a
1
< br>49
2
2
d
2
)n
，
其图象是开口向下 的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为
n
而
nN

，且6.5介于6与7的中点，从而
n6
或
n7
时
S
n
最大。
6.5
，
点评：利用二次函数图象的开口方向、对称性等、数形 结合求解其最值简单易行，但要注意
对称轴是介于两个整数的中点，此时应有两个n的取值。

二、转化为求二次函数求最值
例3、在等差数列{
a
n
}中,
a
4
＝－14, 公差d＝3, 求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值
分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
解析：∵
a
4
＝
a
1
＋3d, ∴ －14＝
a
1
＋9,
a
1
＝－23,
3n(n1)
2
3
2
49
6
2
∴
S
n
＝－23n＋
∴ 当n=

＝[(n－)－
49
2
36
],
49
6
最小时，
S
n
最小，
49
6
但由于
nN
，介于8与9之间，
S
8
100
，
S
9
99

即有且
S
8
S
9
，故当n＝8
S
8
＝－100最小.
点评：通过条件求出
a
1，从而将
S
n
转化为关于n的二次函数，然后配方求解，但要
注意的是此 处
49
6
介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。

a
n
0
三、利用关系式

，来求
S
n
最大值
a0

n
例2：.已知等差数列{
a
n
}中
a
1
=13且
S
3
=
S
11
,那么n取何值时,
S
n
取 最大值.

分析，依题先求出d，然后写出数列的通项，构成不等式求解。
解析：设公差为d，由
S
3
=
S
11
得：
3×13+3×2d2=11×13+11×10d2
d= -2,
a
n
=13-2(n-1),
a
n
=15-2n, < br>
a
n
0

152n0
由

即

得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时,
S
n
取最大值. < br>152(n1)0
a0


n1

an
0
点评：通过数列中数的特性，可由

，从解不等式来确定
S
n
的最大值。

a
n1
0
小结：对等差数 列前n项和的求法，通常从二次函数与不等式的角度来求解，但有一点
要注意的是最值的取值不一定在对 称轴处，必须认真考察n取何值才符合。