先声夺人的意思-忠犬八公

第十七讲 数学趣题

第一部分：趣味数学
九片竹篱笆

王大爷想用篱笆围一个正方形的场地，他有9片竹篱笆，长度分别是1米、2米、3米、4米、5米、6米、7米、8米和9米。这么多篱笆，他想从中取出若干片，顺次连接，围出一
块正 方形场地，应该有多少种不同的取法呢？聪明的小朋友，你快帮王大爷想一想吧！
分析：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45（米）。
由于
4×11＜ 45＜4×12，
可见所得正方形边长最大不超过11米。
其次，因为各片篱笆的长度 互不相等，所以在正方形的四条相等的边中，至少有三条边是
由两片或更多片篱笆连成的。由此可见，至 少要取出7片篱笆，因而其中至少有一片篱笆的长
度大于或等于7米。
这样就确定了，正方形 的边长可能取值范围是从7米到11米。在这范围内，可以列举出
全部可能取法如下：
边长为7：（7，6+1，5＋2，4＋3），1种。
边长为8：（8，7＋1，6＋2，5＋3），1种。
边长为9：（9，8＋1，7＋2，6+3 ），（9，8＋1，7＋2，5＋4），（9，8+1，6＋3，5+4），
（9，7+2，6+3，5 ＋4），（8+1，7＋2，6+3，5＋4），5种。
边长为10：（9+1，8+2，7+3，6＋4），1种。
边长为11：（9＋2，8+3，7+4，6＋5），1种。
题目问“共有多少种”，不能有遗漏。为 此，可以首先估计一下正方形边长的最大值和最
小值，确定搜索范围。



数学日记

2013年11月27日 星期三 天气 晴
计算周长
有一次，妈妈为了巩固我学过的长方形正方 形的知识，特地出了一道题：“把两个长8厘
米，宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，这个大长方形的 周长可能是什么？”
我拿出一张草稿纸，先画出了这样的图形：计算到的周长是：4×8＝32（厘米） 2×6＝
12（厘米） 32+12＝44（厘米）。
我马上对妈妈说：“我算出来啦！等于44厘米”。
可妈妈说：“还有一种办法呢。” 于是我又在草稿纸上画了起来。哦，原来还可以这样拼，周长就不一样了，2×8=16（厘
米） 4×6=24（厘米） 16+24=40（厘米）看来妈妈又该对我说：“思考问题一定要认真啊！

开心

一笑







逻辑学的用处
有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用。
爱因斯坦问 他：“两个人从烟囱里爬出去，一个满脸烟灰，一个
干干净净，你认为哪一个该去洗澡？”


第二部分奥数小练
在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题， 如：3个小朋友同时唱
一首歌要3分钟，100个小朋友同时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不 需要较复杂
的计算，也不能用常规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵感、技巧和机智获得答案。 < br>对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自
己的聪明才 智巧妙地解决。
【例题1】如果每人步行的速度相同，2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，那么6个人一起从学校到儿童乐园要多少小时？
【思路导航】2个人一起从学校到儿童乐园要3小时 ，也就是1个人从学校到儿童乐园
要3小时；6个人一起从学校到儿童乐园所用的时间与一个人所用的时 间相等，所以6个人
一起从学校到儿童乐园还是用3小时。

练习1：
1.3个人同时唱3首歌用9分钟，9个人同时唱同样的3首歌用几分钟？
2.5只猫5天能捉5只老鼠，照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫？
3.6个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同，那么3个人从甲地到乙
地要用几小时？

【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。问长
到5厘米时要用多少天？
【思路导航】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的2倍 。这条毛毛
虫在第30天时，身长为20厘米，那么在第29天时，这条毛毛虫的身长为20÷2=10 厘米；
在第28天时，这条虫的身长为10÷2=5厘米。
练习2：
1.有一个池 塘中的睡莲，每天长大一倍，经过10天可以把整个池塘全部遮住。问睡莲
要遮住半个池塘需要多少天？
2.一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20天能长到36厘米。问长到9厘米时
要用 几天？
3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15天能长到4厘米。问要长到32厘米共要多少天？

【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几
条鱼？ 【思路导航】小猫要把15条鱼分成数量各不相等的4堆，要让最多的一堆中小鱼条数
尽量多，那么 其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放1条，在第二
堆中放2条鱼，在第三堆中 放3条鱼，这样第四堆就可放：
15－（1＋2＋3）=9（条）。
练习3：
1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？
2.老师 为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的5队，问最多的一队最多
可排几人？

3.兔妈妈拿来1盘萝卜共25个，分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数 都不同。问
分得最多的一只小兔至多分得几个？

【例题4】把100只桃子分装在 7个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的只数都带
有6字。想一想，该怎样分？
【思路导航】 因为6×6=36只，这样就可以在每个篮子里装6只桃，共装6个篮子，还
有一个篮子里装100－3 6=64只桃。64这个数，正好也含有数字6，符号题目要求。
练习4：
1.把100个 鸡蛋分装在6个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数目都带有6字，想想看，
应该怎样分？
2. 有人认为8是个吉祥数字，他们得到的东西的数量都要含有数字8。现在有200块糖
要分给一些人，请 你帮助设计一个吉祥的分糖方案。
3.7只箱子分别放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、 64只苹果，现在要从这7
只箱子里取出87只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你 看该怎么取？

【例题5】舒舒和思思到书店去买书，两人都想买《动脑筋》这本书，但钱都 不
够。舒舒缺2元8角，思思缺1分钱，用两个人合起来的儿买一本，仍然不够。这
本书多少钱 ？
【思路导航】思思买这本书缺1分钱，两个人合起来的钱买一本书仍然不够，这说明舒
舒根 本没有钱，所以这本书的价钱是2元8角。
练习5：
1.小华和娟娟到商店买文具盒，两人 看中同一个文具盒，但钱都不够。小华缺9元4
角，娟娟缺1分，两人合起来买一个仍然不够。这个文具 盒多少钱？
2.李华和张洁到商店买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺6角，张洁缺2分钱，< br>但两人合起来买一本仍不够。这种本子一本多少钱？
3.王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人 都看中同一种电视机，但王阿姨缺600元，李
阿姨缺900元，用两人带的钱合起来买这一台电视机正 好。这台电视机多少钱？


第三部分：数学史话

分数的雏形
分数起源于“分”。一块土地平均分成三份，其中一份便是三分之一。三分之一是 一种说法，
用专门符号写下来便成了分数，分数的概念正是在人们处理这类问题的长期经验中形成的。





破碎的数——分数的起源（一）
在拉丁文里，分数来源于“破碎”一词，因此分数也曾被人叫做“破碎数”。
在数的历史上， 分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有
关分数的记载。然而，分数在数学 中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。在欧
洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途 。7世纪时，有个数学家算出了一道8个
分数相加的习题，竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长 的一段时间里，欧洲数学家
在编写算术课本时，不得不把分数的运算法则单独叙述，因为许多学生遇到分 数后，就会心
灰意冷，不愿意继续学习数学了。直到17世纪，欧洲的许多学校还不得不派最好的教师去 讲
授分数知识。一直到现在，德国人形容某个人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语，说
他 “掉进分数里去了”。
一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数的比”。
在西方，分数理论的发展出奇地缓慢。直到16世纪，西方的数学家们才对分数有了比较
9
7< br>3
12
系统的认识。甚至到了17世纪，数学家科克在＋＋＋时，还用分母的乘积800 0
8
10
5
20
作为公分母！
而这些知识，我国数学 家在2000多年前就都已知道了。我国现在尚能见到最早的一部数
学著作，刻在汉朝初期的一批竹简上 ，名字叫《算数书》。稍晚些时候，在我国古代数学名著
《九章算术》里，已经在世界上首次系统地研究 了分数。书中将分数的加法叫做“合分”，减
法叫做“减分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“经分”， 并结合大量例题，详细介绍了它们的
运算法则，以及分数的通分、约分、化带分数为假分数的方法步骤。 尤其令人自豪的是，我国
古代数学家发明的这些方法步骤，已与现代的方法步骤大体相同了。
苏联数学史专家鲍尔加尔斯基公正地评价说：“从这个简短的论述中可以得出结论：在人
类文化发展的初 期，中国的数学远远领先于世界其他各国。”

参考答案：
练习一：
1.3个人同时唱3首歌用9分,9个人同时唱同样的3首歌 仍用9分，所以本题括号内应该填
9。
分析：这是一个解决实际生活中的问题的题目,也是一 个常识题目,同时唱3首歌用9分,其实
不管多少人同时唱这三首歌都还是用9分,那么本题说9个人同 时唱同样的这3首歌当然也用
9分。
2. 只猫1天能捉：5÷5=1(只)；5只猫同时经 过了100天，就可以捉100只老鼠。要在100天
里捉100只老鼠需要5只猫。
分析： 根据“5只猫5天能捉5只老鼠，”可知：5只猫1天能捉5÷5=1只老鼠，所以5只猫
100天捉1 00只老鼠。
3. 3个人一起从甲地走到乙地要4小时。
已知，6人一起从甲地到乙地用 了4小时，可得每个人从甲地到乙地各自用了4小时，所以，
3个人一起从甲地到乙地一样要用4小时。
练习二：
1. 因为睡莲每天长大一倍，10−1=9(天)的时候是半个池塘，9天再经过 1天，即10天把池塘
全部遮满。睡莲遮住半个池塘需要9天。
分析：根据题意，有一个池塘 中的睡莲，每天长大一倍，睡莲遮住半个池塘的时候，再长一天
就可以把池塘全部遮满，再根据题意解答 即可。
2.青虫第二十天由18厘米长到36厘米，第十九天就是由9厘米长到18厘米，第十八天就 是
由4.5厘米长到9厘米，列式36÷2÷2=9(厘米)，20−1−1=18(天) 答：长到9厘米时需要用
18天。
分析：根据题意知道，青虫第二十天由18厘米长到36厘 米，第十九天就是由9厘米长到18
厘米，第十八天就是由4.5厘米长到9厘米，由此即可得出答案。
3.32÷2＝16（厘米）
16÷2＝8（厘米）
8÷2＝4（厘米）

15＋3＝18（天）
答：共要18天。
因 为4×2=8,8×2=16,16×2=32，所以这条虫在4厘米的基础上再长三天就能长到32厘米，所以用15加3即得结果。
练习三：
1.20—(1+2+3+4)＝10（颗） < br>2.最多的一队尽可能的多，其它的队就尽可能的少，其他四队为1、2、3、4人，18－（1+2+3 +4）
＝8人
3.25－（1+2+3）＝19（个）
练习四：
1.每 个盒子里装的鸡蛋数分别是6、6、6、6、16、60；6+6+6+6+16+60=100（颗）。
分析：可以先写出含有6的几个数，比如6,16,26等，然后进行试加即可。
2.最多可 分给200÷8＝25（人），每人8颗。最少可分给2人，一个118颗，另一个82颗，
其他的分配 方案则可分别围绕以8作为个位数或十位数的方案进行分配。
3.7只箱子一共有苹果：1+2+4+ 8+16+32+64＝127（只）不取的苹果数：127－87＝40（只）40
＝32+8 答：8只装的和32只装的不取，其他的全取。
练习五：
1.解：设小华带了x分，小兰带了y分，则：
x+940=y+1，x+y答：这个文具盒9元4角，因为小华没带钱。
2.李华的钱+6角＝本子价格
张洁的钱+1分＝本子的价格
所以，李华的钱+张洁的钱＝2本本子的价格－6角1分
又因为李华的钱+张洁的钱〈本子价格
所以2本本子的钱〈本子价格
所以，本子只能是6角钱。