鱼头汤的做法大全-片段摘抄

小学三年级数学思维训
练简单数列的规律
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

小学三年级数学思维训练简单数列的规律
第六讲找简单数列的规律
日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：
自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1）
年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996
（2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五
班排列）45，45，44，46，45
（3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列 数就叫做数列.数列中的每一
个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数 称为
第2项，…，第n 个数就称
为第n 项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是
46，第5项45。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）
称为有穷数列，把 项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，
上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列 ，（1）是无穷数列。研究数列的
目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解
决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。
例1 观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在
括号中填上合适的数.
①2，5，8，11，（），17，20。
②19，17，15，13，（），9，7。
③1，3，9，27，（），243。

④64，32，16，8，（），2。
⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…
⑥1，3，4，7，11，18，（），47…
⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.
⑧1，2，6，24，120，（），5040。
⑨1，1，3，7，13，（），31。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
(11)1，4，9，16，25，（），49，64。
(12)0，3，8，15，24，（），48，63。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.
(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.
分析与解答
①不难发 现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括
号中应填的数是14，即：11 ＋3=14。
② 同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，
即：13—2=11。 < br>不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一
项的数值也相应增大 ，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项
的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了 上述的不同点之外，这两个数列
却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这 样的数
列，称为等差数列.
③1，3，9，27，（），243。

此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都 是
其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3.因此，括号中应填 81，即
81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3。
④64，32，16，8，（），2与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后
面一项的
2倍，即：因此，括号中填4，代入后符合规律。综合③④考虑，数列③是递增
的数列，数列④ 是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻
两项的商都相等.像③④这样的数列，我们 把它称为等比数列。
⑤ 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34…首先可以看 出，这个数列既
不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关
系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，
3=2+1，5=2+3， 8=3＋5.因此，括号中应填的数是 13，即13=5+8，
21=8+13， 34=13+21。
这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就
是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔
子一个月能生一对 小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能
生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理 想的话，每一对兔子都是一公一
母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子 的数
目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的
原型，因此， 数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详
细介绍。
⑥1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47…

在学习了数列⑤的前提下 ，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项
都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29 ，即 29=11＋18。数列⑥不同
于数列⑤的原因是：数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥ 称为鲁卡斯数
列。
⑦1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ）。 方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的
规律为：每一项等于 它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即
15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确。
方法2：其实，这一列数有如下的规律：
第1项：1=1
第2项：3=1＋2
第3项：6=1+2+3
第4项：10=1+2+3+4
第5项：（ ）
第6项：21=1+2+3+4+5+6
第7项：28=1+2+3+4+5+6+7
第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8
第9项：（ ）
即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n 个连续自
然数的和.因此，第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；第九项为45，即：
5=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
⑧1，2，6，24，120，（ ），5040。

方 法1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑
到等比数列，我们不妨研究 相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除
第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积. 因此，括号中的数为第6项
720，即720=120×6。
方法2：受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然：
第1项 1=1
第2项 2=1×2
第3项 6=1×2×3
第4项 24=1×2×3×4
第5项 120=1×2×3×4×5
第6项 （ ）
第7项 5040=1×2×3×4×5×6×7
所以，第6项应为 1×2×3×4×5×6=720
⑨1，1，3，7，13，（ ），31
与⑦类似：可以猜想，数列⑨的规律是该项=前项+ 2×（项数-2）（第1项除
外），那么，括号中应填21，代入验证，符合规律。
⑩1，3，7，15，31，（ ），127，255。
则：
因此，括号中的数应填为63。
小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：①寻找
各项与项数间的关系；②考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规
律。

事实上，数列⑦或数列⑧的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑
问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观
察，认真思考 ，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。
在⑩题中，1=2-1
3=2
2
-1
7=2
3
-1
15=2
4
-1
31=2
5
-1
127=2
7
-1
255=2
8
-1
所以，括号中为2
6
-1即63。
（11）1，4，9，16，25，（ ），49，64.
1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 25=5×5，49= 7×7，
64=8×8，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36。
本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。
(12)0，3，8，15，24，（ ）， 48， 63。
仔细观察，发现数列(12) 的每一项加上1正好等于数列(11)，因此，本数列的规
律是项=项数×项数-1.所以，括号中填3 5，即 35= 6×6-1。
(13)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ）。
前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某
些数是很有 规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、第3项、第5
项、第7项和第9项，所以不妨把 数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和

偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如
下：
奇数项：1，2，3，4，5
偶数项：2，4，8，16 可以看出，奇数项构成一等差数列，
偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为
32（32=16×2）。
(14) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。
同上考虑，把数列分为奇、偶项：
偶数项：2，4，6，8，10
奇数项：1，3，9，27，（ ）.所以，偶数项为等差数列，
奇数项为等比数列，括号中应填81（81=27×3）。
像(13)(14)这样的数列， 每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不
相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列 。
例2 下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：
（1，3，5），（2 ，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的
和是多少
方法1：注意观察，发现这些数组的第1个分量依次是：1，2，3…构成等差数
列，所以第 100个数组中的第 1个数为100；这些数组的第2个分量 3，6，
9…也构成等差数列，且3= 3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100个数组中的第2
个数为3×100=300；同理，第 3个分量为5×100=500，所以，第100个数组内
三个数的和为100+300+500=90 0。

方法2：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三 个数而直接求和，考
察各组的三个数之和。
第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18
第3组：3+ 9+ 15= 27…，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，
所以9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，
即第100个数组内三个数的和为900。
例3 在下面各题的五个数中，选出与其他四个数 规律不同的数，并把它划掉，
再从括号中选一个合适的数替换。
①42，20，18，48，24
（21，54，45，10）
②15，75，60，45，27
（50，70，30，9）
③42，126，168，63，882
（27，210，33，25）
解：①中 ，42、18、48、24都是6的倍数，只有20不是，所以，划掉20，用
54代替。
② 15、 75、 60、 45都是 15的整数倍数，而 27不是，用30来替换27。
③同上分析，发现这些数中， 42、 126、 128、 882都是42的整数倍，而
63却不是.因此，用210来代替63。
习题六
按一定的规律在括号中填上适当的数：
，2，3，4，5，（ ），7…

，95，90，85，80，（ ），70
，2，4，8，16，（ ），64
，1，3，4，7，（ ），18，29，47
，2，5，10，17，（ ），37，50
，8，27，64，125，（ ），343
，9，2，8，3，（ ），4，6，5，5
习题六解答
1.等差数列，括号处填6。
2.等差数列，括号处填75。
3.等比数列，括号处填32。
5.相邻两项的和等于下一项，括号处填11。
6.后项-前项=前项的项数×2-1，括号处填 26。
7.立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数，括
号处填216。
8.双重数列，括号处填7.