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走近数学家手抄报内容



走近数学家手抄报内容：陈省身：数学陶冶我一生

早年在中国所受的教育我于192 3年1月进天津扶轮中学。那是
一所四年制的高级中学，我获准插班入一年级就读第二学期。该校
的数学课程有：第一年，算术，使用中文课本;第二年，代数，使用
Hall与Knight的课本; 第三年，几何，使用Wentworth与Smith的
课本;第四年，三角学和高级代数，分别使用W entworth-Smith及
Hall-Knight的课本。我的老师都很有能力，又极富献身精 神，我
做了大量习题。到第四年，我已能做许多Hall- Knight的书中引用
的剑桥大学荣誉学位考试的题目。

1926年我从扶轮毕业 ;同年我进南开大学，实际上是跳了两级，
因此我从未上过解析几何课。更糟的是，我必须参加南开大学 的入
学考试，其数学试题中解析几何占很重的份量。考试前的三个星期，
我自学了Young与 Morgen的《数学分析》(Mathematicalanalysis)
如果记得不错的话，我的 考卷位列第二。不过在很长的一段时间内，
“圆锥曲线的焦点”这一概念令我大伤脑筋，直到几年后学了 射影
几何学我才茅塞顿开。

关于数学的手抄报图片

进南开大学后 ，我很快就发现自己做实验笨手笨脚，于是数学便
成为我唯一的选择。我有幸得姜立夫教授为师——他1 918年获哈佛
大学哲学博士学位，导师是ge，论文题目是关于非欧几里
得空间中线球接触变 换的。因此，我在大学第四年，花了许多功夫
学几何，所读的书中有Coolidge的《非欧几何学》 与《圆和球的几
何学》，Solmon的《圆锥曲线》与《立体解析几何》，以及
Castel nuovo的《解析几何与射影几何》等。尤其使我着迷的是
OttoStaude的二卷本着作《线构 造》。二次超曲面的几何是数学中
优美的篇章。我很高兴看到1979年在可积哈密顿系统和谱

理论的研究中继续这方面的工作。(参见3)甚至在今日，研究
Salmon的东西可能 仍是有价值的，至少在我看来是有趣的。

1930年我从南开毕业，去北平清华大学从孙鎕【 注1】教授工作。
孙先生在当时是中国发表数学研究论文的唯一的数学家。孙的研究
领域是射影 微分几何，他曾是芝加哥大学的博士生。这个
主题由nsky于1901年创立，是那时已经支配几何学 近
一世纪的射影几何的一个自然产物。我熟悉了这方面的文献，并写
了几篇论文，其中包括我的 有关射影线几何的硕士论文。继
Plücker与克莱因之后，线几何一直是几何学家们喜爱的主题。事
实上克莱因的学位论文就是关于二次线体的，即Plücker坐标下的
二次方程所确定的线轨 (lineloci)。二次线体具有许多背景中也有
许多线几何的内容。

走近数学 家手抄报内容：我的论文研究线汇，即线的二维子流
形以及它们的通过二次线体的密切(osculat ion)。

在我的研究生学业接近结束时，即大约1934年左右，我开始认
识到整 体微分几何(当时称为大范围微分几何)的重要性。我的主要
灵感来自ke的关于微分几何的那些著作。 很清楚，代数拓
扑是整个领域的基础。而代数拓扑本身当时还处于发展阶段。
Veblen于1 922年发表的analysissitus【注2】引进了「同调不变
量」(homologycha racters)即根据关联矩阵得出的Betti数和挠系
数。Lefschetz的《拓扑学》于1 930年出版，但该书对初学者进入
这个领域并无裨益。我曾听过EmanuelSperner的讲课 (1933～1934
年)。当时Sperner正在北京大学访问，他的课包含有对
Erha rdSchmidt关于约当曲线定理的证明的严密而详细的论述。我
也听过江泽涵讲授的以Lefsc hetz的书为蓝本的「位置分析」课，
江是MarstonMorse过去的学生，曾担任Lefsc hetz的助手。而我当
时的感觉是我只是刚刚站在代数拓扑这座伟大殿堂的门口。

到1934年Seifert-Threlfall的书和1935年Alexandroff-
Hopf的书问世，情况才有了巨大的变化。1932年春季，Blaschke
访问了北平，作了关 于「微分几何中的拓扑问题」的系列演讲。这
是真正的局部微分几何。他采用全体微分同胚构成的伪群取 代经典

微分几何中的李群，并研究了局部不变量。我能跟上Blaschke的演
讲并去阅读发表在汉堡大学数学讨论会论文集
(HamburgerAbhandlungen)及其 它杂志上的包含在这同一个总标题下
的许多论文。这个主题现在称为网几何(webgeometry) 。由于有此接
触，之前又已掌握Blaschke的微分几何书中的知识，所以当1934
年获 得一笔奖学金时，我决定去汉堡留学。

走近数学家手抄报内容：数学上与世隔绝
< br>1937年夏我离欧返华时，本打算去北平就任清华大学教授之职，
由于中日战争之故，十年后才 达到此目的。当时清华大学先搬到长
沙，1938年又迁至昆明，在那儿一直滞留到1945年夏战争结 束。

昆明是座美丽的城市。虽然处于战事中的国家物资匮乏、局势动
荡，但在生活的 其它方面倒是愉快的。清华大学与北京大学、南开
大学联合，组成了西南联合大学，昆明立刻成为战时中 国知识界的
中心。我的数学同仁包括华罗庚和许宝騄。我开了代数拓扑、李群、
球几何及外微分 系统等方面的课程和讨论班，吸引了一批学生。主
要的不便是此地与外界的联系被切断了：有段时间连「 缅甸信道」
也关闭了，与外界的联系只有靠空运。我有个私人小书库。

起初，我做了 以前想做而没时间做的事：读了些书，思考些问题，
还觉得有趣。但挫折很快就降临了，而且必须克服。 我将此情信告
，他寄给我许多他的抽印本，包括一些过去的论文。我花
了大量时间研读这些论文 ，考虑其内涵及应用。这确实使我受益匪
浅。在30年代，人们已开始认识到Cartan的工作的重要 性，如
Weyl、Blaschke和K?hler，但几乎没有人去读Cartan旧时的论文
(有关李代数的论文除外)。我很幸运能因环境之故把这些论文都遍
读无遗。


驻华盛顿的中国大使胡适博士空邮来一本Hurewicz-Wallman写
的有关《维数论 》的书。现今习惯于静电复印的人也许很难想象我
把除最后一章外的整本书抄了一遍。在最后一章中，作 者是在没有
正合序列概念的情况下处理正合序列的问题，我觉得很难理解。其

实 当时读论文作笔记是很普通的。复印大量资料并不能说明自己取
得了多少进步。

我开 始有了一些学生，其中有王宪钟和严志达。王后来对拓扑学
作出了许多贡献，尽管他最出名的成果是王序 列。严最早给出所有
例外李群的Betti数的正确值。

回首往事，我并不认为自已 对作为整体的数学有完善的见地。我
清楚自己的某些不足并渴望得到充实。我的数学实力在于我能算。< br>至今我不在乎繁复的计算，直到数年前我做这样的计算还很少出现
差错。这方面的训练现在不大流 行，也得不到鼓励，但在处理许多
问题时它仍有很大的好处。

Gauss-Bonn et公式曾使我着迷，我知道它的最概念化的证明是
通过结构方程来表示联络形式的外微分。当1943 年我去普林斯顿时，
它已为为我在数学工作中最得意的一篇论文开了题。

走近数学家手抄报内容：普林斯顿阳光灿烂

我于1943年8月抵达普林斯顿。气氛 的变化令人难忘。那段日
子高等研究院很清静，大多数人已离去为战事服务。HermannWeyl< br>对我的工作很感兴趣。我访问之前他曾为《数学纪事》
(AnnalsofMathematic s)审阅过我一篇有关迷向曲面的论文，并写了
一个很长的给予好评的报告。这件事是他亲自泄露给我的 。报告提
出了改进的建议，这说明他仔细地看了全文。我们经常交谈。Weyl
的深刻洞察之一 是预言代数几何有非常美好的前景。

AndreWeil那时在附近的Lehigh大学，我 们很快就见了面并有
好多可谈的内容。当时Weil刚刚发表与Allendoerfer合作的关于< br>Gauss-Bonnet公式的论文，它立刻成为我们讨论的话题。根据我对
二维情况的埋解， 我知道正确的证明应该建基于我们现在称之为超
度(transgression)的概念之上。困难则 有两个：1)当时我对关于向
量场的奇点的Poincare-Hopf定理不甚清楚;2)超度必须在 单位切丛
中而不是在主丛中实现，这就涉及到一个不平凡的技术困难。这两
个困难我都在短时间 克服了，事情有了一个满意的结果。我仍认为
这是我做得最好的工作。

其后自然要把这个结果扩展到Stiefel-Whitney类。那时即使在
普林斯顿，谈起纤维丛也必得从定义开始。那时没有矢量丛，只有
球丛。我注意到复示性类较简单，容许 局部曲率表示。这项工作不
难，但它并非那个时代拓扑学的时尚课题。

我虽是高等研 究院的成员，但很多时间是在普林斯顿大学的范氏
大楼度过的。Chevalley那时正在写他的有关 李群的书。Lefschetz
则固执己见，他不愿用当时盛行的常规方法研究微分几何。当时请
我为《数学纪事》审阅一篇论文而建议退稿后，他让我担任该刊的
副主编(associateedi tor)。

普林斯顿的环境与工作节拍令我十分惬意。我对数学的看法成熟
多了。留 居普林斯顿的日子使我感到极大的乐趣。近年来科学竞争
已使科学家的生活大煞风景，尽管在数学方面的 情况要好得多。我
认为没有非要如此快地出成果的必要，我也不为电子邮件的发现所
动。

1945年底我告别普林斯顿回中国。踏上故土立即受命组建中国
的科学院，即中央研究院 的数学研究院，其时二次大战虽已结束，
中国却由于内战而处于分裂状态。我向HermannWeyl 发出访华邀请，
他欣然接受。但是中国当时的形势使这一访问未能实现。

1948年 底南京政府处于崩溃之中，感谢高等研究院主动安排我
离华。1949年冬季学期我在高等研究院，是V eblen的微分几何讨
论班的主讲人。讲稿两年后补写出来，流传甚广。这些讲稿现收录
在已 出版的我的《论文选集》第四卷内。主要结果是Weil同态。这
是陈类从酉群到任意李群的一个推广。 1944年我在写有关复示性类
的论文时就知道这个结果;由于未熟练掌握李群，当时未能证明它。Weil通过考虑联络族，提供了一个关键性的思想。我把这个结果称
为Weil同态。朋友们认为 我应该分享这一荣誉，对此我自然不持异
议。

走近数学家手抄报内容：数学上进入不惑之年

二次大战后，MarshallSto ne应召重组芝加哥大学数学系，并任
系主任。他最早发出的两份聘约分别送达HasslerWhit ney与

AndreWeil，这是他洞鉴数学与数学界的一个证明。Whitney谢 绝了，
而Weil经过数次协商后接受了。我在中国时Stone就曾写信给我谈
起要在芝加哥 为我提供一个讯问职位的事。1949年我来美国后，芝
加哥大学数学系决定长期聘我。我认为芝加哥大 学是美国唯一的其
主要目标是「知识进步」而非教育的大学。我有许多朋友在那里的
数学系;1 949年夏我成了该系的成员。由此引出了一段愉快而有益
的合作。

1949～19 50学年我开了一门名为「大范围微分几何」的课程，
有一批才华横溢的学生。我自己正在开辟自己的道 路，我的学生及
时更正了我的许多错误和疏忽，这是生气勃勃而又有趣的结合。我
还记得Arn ordShapiro，他曾主持许多这样的讨论。回想起来，当
时我对微分几何的了解还是初步的。这 门学科中一些争论问题至今
未决，也许正反映了它的力量之所在。例如，曲面是什么?是嵌入还
是浸入，或是由可能有奇点的方程所定义的?另一方面，我的课上涉
及的许多课题，也获得了新的多方面 的发展。

我与Weil联系密切。他随时都有准备，随时都可合作。在与我
讨论过数 学的众多数学家中，Weil是极少数能迅速抓全我的思想并
给予有益的评说的数学家之一。我们常沿着 密执安湖畔长时间的漫
步，这在当时还很安全。

我对代数拓扑也感兴趣，偶尔开一门 这方面的课。我与
EdSpanier在球丛的研究上进行过合作。所获结果之一是把Gysin
的工作写成一个正合序列。ReneThom把它做得更明白化了，这个结
果现在通常称为Thom同 构。我觉得芝加哥和汉堡都非常令人愉快。
我认为两者的规模都很合适。不幸的是数学的发展已使一切都 膨胀
了。