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样本容量的确定

分类： Statistics
在参数区间估计的讨论中，估计值和总体的参数之 间存在着一定的差异，这
种差异是由样本的随机性产 生的。在样本容量不变的情况下，若要增加估计的可靠
度，置信区间就会扩大，估计的精度就降低了。若 要在不 降低可靠性的前提下，
增加估计的精确度，就只有扩大样本容量。当然，增大样本容量要受到人 力、物力
和时间等条件的限制，所以需要在满足一定精确度的条件 下，尽可能恰当地确定
样本容量。
一、
影响样本容量的因素

（一）总体的变异程度(总体方差)
在其它条件相同的情况下，有较大方差的总体，样本的容 量应该大一些，反之则应
该小一些。例如：在正态总体均值的估计中，抽样平均误差为它反映了样本均值相对于总体均值的离散程度。所以，当总体方差较大时，样本的容量也相应要
大，这样才会使较
（二）允许误差的大小
允许误差指允许的抽样误差，记为
允许误差可以表示为
能范围，所以又称为误差。
，例如，样本均值与总体均值之间的
小，以保证估计的精确度。
，允许误差以绝对值 的形式表现了抽样误差的可
允许误差说明了估计的精度，所以，在其他条件不变的情况下，如果要求估计 的精
度高，允许误差就小，那么样本容量就要大一些；如要求的精确度不高，允许误差
可以大些 ，则样本容量可以小一些。
（三）概率保证度1－α的大小
概率保证度说明了估计的可靠程 度。所以，在其他条件不变的情况下，如果要求较
高的可靠度，就要增大样本容量；反之，可以相应减少 样本容量。
（四）抽样方法不同
在相同的条件下，重复抽样的抽样平均误差比不重复抽样的 抽样平均误差大，所需
要的样本容量也就不同。重复抽样需要更大的样本容量，而不重复抽样的样本容量
则可小一些。

此外，必要的抽样数目还要受抽样组织方式的影响，这也是因为 不同的抽样组织方
式有不同的抽样平均误差。
二、
样本容量的确定

(一) 估计总体均值的样本容量
在总体均值的区间估计里，置信区间是由下式确定的：

例如，对于正态总体以及非正态总体大样本时，都是以它为置信区间。
从图6–1 中可以看到，从估计量x的取值到点的距离实际上为置信区间长
度的。这段距离表示在一定置信水平1－ α下，用样本均值估计总体均值时所允
许的最大绝对误差即允许误差Δ。显然，若以x的取值为原点，则 允许误差Δ可以
表示为：
（6–15）

x=0
图6–1 允许误差示意图

公式（6–15）反映了允许误差Δ、可靠性系数、总体标准差与样本容量 之
间的相互制约关系。只要这四个因素中的任意三个因素确定后，另一个因素也就确
定了。

在重复抽样条件下，把允许误差Δ的计算公式
容量的计算公式：
变形整理，则得到样本
（6–16）
在不重复抽样的条件下，抽样允许误差为
形后得到不重复抽样条件下的样本容量公式为
, 因此变
n= （6–17）
例6–14 某食品厂要检验本月生产的10 0 00袋某产品的重量，根据以往的资料，这
种产品每袋重量的标准差为25克。如果要求在95.45% 的置信度下，平均每袋重量
的误差不超过5克，应抽查多少袋产品?
解 由题意可知N=10 000（原作者误为20 000），
1–α=95.45%，有=2。在重复抽样的条件下
=25克，=5克，根据置信度
n=（袋）
注：Excel中的计算方法：
利用标准正态分布函数的反函数NORMSINV计算在该置信度下的标准偏差度z=2；
题中要求平均每袋重量的误差不超过5，即表明SD*z小于或者等于5；
那么倒推标准偏差 应该不超过2.5；在总体标准差为25克的前提下，那么取样量应
该为99.96，当然，取样量应该 是整数，即100。
在不重复抽样条件下
n==99（袋）

由计 算结果可知：在其它条件相同的情况下，重复抽样所需要的样本容量大于不重
复抽样所需要的样本容量。
在计算样本容量时，必须知道总体的方差，而在实际抽样调查前，往往总体的方
差是未知的。在 实际操作时，可以用过去的资料，若过去曾有若干个方差，应该
选择最大的，以保证抽样估计的精确度； 也可以进行一次小规模的调查，用调查所
得的样本方差来替代总体的方差。
(二)估计总体成数时的样本容量
估计总体成数时样本容量的确定方法与估计总体均值是一样 的，设
允许误差，在1—a的置信度下，重复抽样条件下有
为

解上面的方程可得重复抽样条件下样本容量的公式为

同理可得不重复抽样条件下的样本容量公式为
（6–19）
在估计成数时，计算样 本容量时需要总体的成数，但是总体的成数通常是未知的，
在实际的抽样调查时，可先进行小规模的试调 查求得样本的成数来代替。也可用历
史的资料，如果有若干个成数可供选择，则应选择最靠近50%的成 数，使样本成
数的方差最大，以保证估计的精确度。
例6–15 为了检查某企业生产的10 000个显像管的合格率，需要确定样本的容量。
根据以往经验合格率为90%、91.7%。如果要求 估计的允许误差不超过0.0275，置
信水平为95.45%。求应该取多少只显像管?
解 根据资料，我们应该选择P=0.9计算样本容量，根据置信水平0.9545，有
=2，
重复抽样条件下，样本容量

不重复抽样条件样本容量

从计算的结果可以看出，重复抽样应该抽477件件检验，而不重复抽样应该抽455
件，可见 ，在相同条件下，重复抽样需要的样本容量更大。
注：Excel中的计算方法：
利用标准正态分布函数的反函数NORMSINV计算在该置信度下的标准偏差度z=2.