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第十讲-棋盘中的数学(一)
第十讲 棋盘中的数学（一）
——什么是棋盘中的数学
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下 图（2）），还
有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问
题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解
决棋盘中的数学问题所使用 的数学知识，统称棋盘中的数学．

作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．
例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相 等的正方形，“界河”的
宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6 ，7位
置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14
中的两个位置．
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问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以 这三
个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？
解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单
位．
由于三个顶 点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一
半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较 三角形的三个顶点所在边的外接
长方形面积的大小就可见端倪．
直观可见，只须比较（3 ，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，
12，14）这两类三角形面积就 可以了．
顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：
1
×8×7=28；
2
顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：

1
×9×6=27。
2
所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．
答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在 10，12的位置时，以
这三个棋子为顶点的三角 形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下
图所示．
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说明：本题是 以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在
多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘， 则可以设计出许多这类的问题．
例2 下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘 上放，当
按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边
各加一 枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．

问：这堆棋子原有多少枚？
解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是 原正
方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边
棋子数与“ 扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵
每边10枚棋子，新正方阵每边11枚 棋子．这堆棋子总数是
10
2
＋12=112枚
答：这堆棋子原有112枚．
说明：本题也可以列方程求解．
设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：
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（m＋1）
2
－9＝m
2
＋12．
即2m＋1＝21，
解得 m＝10．
所以棋子总数为102＋12＝112枚．
本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子 若摆成一个实心方
阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子
原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．
例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有 只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入
白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进
入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设
计一种路线，若不 能，请你说明理由．

解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如上右图所示．
例4 在8×8的方格棋盘中，如 下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试
将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都 恰有1、2、3、4四个
数字．

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分析 注意这个正方形的面积是8×8＝6 4个平方单位，因此切分后的每一
块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．
解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕
中心旋转90°，180°和 270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．

②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．

③ 从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块
中要含1，2，3，4各一个， 且恰为16块小方格．
④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空 白
部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．
例5 国际象棋的棋盘有6 4个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当
它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对 方的棋子，如下左图上
虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．
请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？
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解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一
种放置皇后的方案．
例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个
兵这八个子放在这半个棋盘上 ，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之
下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所 能到的位置，同样“兵”
也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控
制等）．

解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即
可，如下图所示．

本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：
①以棋盘为背景提出各种问题， 无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋
盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．
②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这
些问题一般属于智巧类的问题或 更深一步的组合数学问题。
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习题十
1． 在4×4的棋盘中每一格分别填入字母A、B、C、D．要求每行、每列、
两条斜线的四个格都恰有A、 B、C、D各一个．
2．把A、B、C、D四个棋子放在4×4的棋盘的方格里，使每行每列只能
出现一个棋子．问共有多少种不同的放法？
3．下图是16×16棋盘，每个小正方格面积都是1，求图中这只狗所占的图
形的面积．

4．中国象棋规定马走“日”字．定义：在中国象棋盘上从点A到B马走的
最少步数称为A 与B的马步距离，记作｜AB｜
m
．如下图在3×3的棋盘格中，
标出了 A、B、C 、D、E五个点，则在｜AB｜
m
，｜AC｜
m
，｜AD｜
m
，｜AE｜
m
中最大者是多少？最小者是多少？

5．在6×6 的棋盘中至少要放入多少个棋子，（每个小方格内至多放一个），
才能使得随意划掉3行3列上的棋子后 ，在剩下的方格中至少要留有一枚棋子？
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