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五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案）

1．棋盘中的图形与面积；
2．棋盘中的覆盖问题：
（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖
问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列
的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。
（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最
多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。
（3）重要结论：
① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n
中至少有一个是偶数．
② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．
3、棋盘中的象棋问题：
所谓棋盘， 常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象
棋棋盘（下图（3））．以 这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。这里面与数学
推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中 的数学问题。解决棋盘中的数学问题所使用
的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问
题，三是 有多少种不同的覆盖方法问题；
2、利用象棋知识寻找路线；

例1 一种骨牌是由形如
重复地完全覆盖？
（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4
（D）4×5 （E）6×3
的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不

答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．
分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．
定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是
偶数．
例2 下 图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将
这个剪残了的棋 盘盖住？

答案： 我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另
外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑 格，
一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相
矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．
分析 刚一想，31个 2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有
可能盖住．但只要简单一试， 便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，
2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一 个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．
例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：


答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．
图形来拼．
只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为
例．

分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为 一个图形可以用
这是“必要条件
排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也 不
表明的就是这
种情况．

3|n
。
答案：


当3｜n时，设n＝3k，
则2×n＝2×3k＝k（2×3）

2×n＝3×x
则3｜2n，但（2，3）＝1，
∴3｜n．
分析 ：
法．比如，若3｜n且2｜m时， m×n棋盘可分成若干个2×n棋

思考方例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边
长） ．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，
它们只 能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．

问：这三个棋子 （一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成
的三角形的面积最大？
答案：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在 10，12的位置时，以这三个棋子为顶
点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．

分析：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点
都 在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，
只要比较三角 形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较
（3，10，12）或（ 2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．

顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：

所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．

例6、 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这
半个棋盘上，使得 其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田
字，只能放在“相”所能到的 位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”
字，“车”走直线，“炮”隔子控制等） ．

答案：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的 阵势即可，如下图所示．

分析：主要考查棋盘中的覆盖问题：完全覆盖问题。只要把每个棋 的走法掌握该类型题应该没
有太大问题。

A档
1、在4×4 的正方形 中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能
的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡 片
重合）
答案与提示：3 个。提示：右图是一种放法。

2、能否用9 个形如的卡片覆盖6×6 的棋盘？
答案与提示：不能。右图中黑、白格各18 个，每张卡片盖住的
黑格数是奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能
盖住18 个黑格。

3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的
大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）
答案与提示： 6 种。用小正方形拼成边长为4 的大正方形有6 种情形：
（1）1 个3×3，7 个1×1；（2）1 个2×2，12 个1×1；
（3）2 个2×2，8 个1×1；（4）3 个2×2，4 个1×1；
（5）4 个2×2；（6）16 个1×1。
使得在不重叠
的边缘与格线

B档
4、 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？

答 案与提示：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所
格数应是3的倍数，从而正方形的边长 应是3的倍数。经试验，不可
含的小方
能拼成边
长为3的正方形。所以拼成的正方形的 边长最少是6（见右图），需要用题目所示的图形
36÷3= 12（个）。

5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形
一个4×7的长方形（可以重 复使用某些图形），那么，最多可以用上几
同的图形？

拼成
种不
答案与提示：先从简单的情形开始考虑。显然，只用1种图形是可以的，例
如用7个（7）；用2种图 形也没问题，例如用1个（7），6个（1）。经试验，用6种图形也可
以拼成4×7的长方形（见下图 ）。

能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格，从小方格 的数量看，如
果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形。但事实上却拼不成。为了说明，我们 将
4×7的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个。在7种图形中，除第（2）< br>种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个。
第（ 2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，因此不可能覆盖住另6种图
形覆盖后剩下的 2个黑格2个白格。
综上所述，要拼成 4×7的长方形，最多能用上 6种图形。
6、用 1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多
少个？
答案与提示：用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形（见左下图）。

用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成 1个11×11的大正形（见右下图）。

上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。
那么 ，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗？
将11× 11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将2×2或3×3的正方形沿格线
放置在任何位置， 都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形，覆盖
住的白格数量总是偶数个。 但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾。由此得到，
不用1×1的正方形不可能拼 成11×11的正方形。

综上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1个1×1的小正方形。
7、 用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？

答案与提示：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。

如下 图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两个小长方形只能如图
覆盖，其余部分有4 种覆盖方法：右下图中①②③三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有3
种覆盖方法。所以，共有7种不 同覆盖方法。
8、 有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一 个长5厘米、
宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认 为
是相同的拼法）
答案与提示：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：

有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法：

有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是1 厘米纸片的有1种
拼法。

共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（种）。
答：共有10种不同的拼法。

C档
9、小明有8张连在一起的电影票（如右图） ，他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别
人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？
答案与提示：25种。
形如图（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6种。

10、有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的
大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）
答案与提示：6种。用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：
（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；
（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；
（5）4个2×2；（6）16个1×1。

11、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？
答案与提示：不能。用1 ，2，3，4对6×6棋盘中的小方格编号（见右图）。一个

1×4的矩形一次只能覆盖 1，2，3，4号各一个，而1，2，3，4号数目不等，分别有9，10，
9，8个。
< br>12、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1
的 小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，
最多可以 用上面七种图形中的几种？

答案：要拼成4×7的方格，最多能用上七种“方块”中的6种图形
13、由1×1、 2× 2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，
利用1×1的正方形最少 个数是多少？试证明你的结论．
答案：至少要用一个1×1的小正方形。
14、如下左图是 一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑
格这样黑白交替地行走，已 经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每
个格子最后返回到A处？若能，请你设 计一种路线，若不能，请你说明理由．

解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．
15、下图是一个围棋盘，另有 一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵

时，尚多余12枚棋子， 如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋
子才能摆满．

问：这堆棋子原有多少枚？
解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚， 恰是原正方阵扩大后“贴边”
的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵” 每边棋子数之和．恰
是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子． 这堆棋子总
数是
10
2
＋12＝112枚．

答：这堆棋子原有112枚．

1、如下 左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑
格这样黑白交替地行 走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每
个格子最后返回到A处？若能， 请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．

答案：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示。
2、在8×8的方格棋盘中， 如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大
小和形状都相同的四块，并且每块中 都恰有1、2、3、4四个数字．

答案：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划 分线，并将它分别绕中心旋转90°，
180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．

②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．

③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分 块中要含1，
2，3，4各一个，且恰为16块小方格．
④将上面的阴影部分绕中心旋转18 0°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的
两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示
3、 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？




答案：8


< br>4、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1
的小 方格组成．现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，
最少可以用 上面七种图形中的几种？

答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七种“方块”中的1种图形
5、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个12×3的正方形？
答案与提示：能。

1、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？





答案：12
2、一种游戏机的“方 块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1
的小方格组成．现用7个这样的图 形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，
最少可以用上面七种图形中的几种？

答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七种“方块”中的1种图形
3、能不能用
形？
答案与提
4、
示：不能。

9个2×3的长方形卡片拼成一个7×8的正方
在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡 片？（要求卡片的边缘与格线重合）



答案： 3个。提示：左下图是一种放法。

5、







答案：图（2）。
6、

答案：不能。
7、
答案：5种。

8、 国际 象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，
它能吃掉此格所在的 斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放
在棋盘上，就能把整个棋盘都“ 管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，
这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控 制整个棋盘？


答案：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．