15六年级奥数专题十五：棋盘的覆盖
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六年级奥数专题十五:棋盘的覆盖
关键词：正方 棋盘 黑格 覆盖 边长
奥数 正方形 方格 上图 卡片
同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的
棋盘（图1），围棋棋盘（图2）
和国际象棋棋盘（图3）。
用某种形状
的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并
不要求一定是某种棋盘，只要
是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖
问题。
棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少种不同的覆盖方法
问题。
例1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？
分析
与解：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3
的倍数，从而正方形的
边长应是3的倍数。经试验，不可能拼成边长为3的正方形。所以
拼成的正方形的边长最少是6（见右图
），需要用题目所示的图形
36÷3= 12（个）。
分析与解：在五年级学习“奇偶性” 时已经讲过类似问题。左上图共有34个小方
格，17
个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。
细心观察会发现，右上图中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住一个
黑
格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图。
例3
下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4×7
的长方形（可以重复
使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？
分析与解：先从简单的情形开
始考虑。显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；
用2种图形也没问题，例如用1个（7），
6个（1）。经试验，用6种图形也可以拼成4×7
的长方形（见下图）。
能否将7种图形都用上呢？7个图形共有 4×7=28（个）小方格，从小方格的数量看，
如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形。但事实上却拼不成。为了说明，我
们将4×7
的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个。在7种图形中，
除第（2）种外，每种
图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、
白格各2个。第（2）种图形只能覆
盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，因此不可能
覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格
。
综上所述，要拼成 4×7的长方形，最多能用上 6种图形。
例4 用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正
方形
多少个？
分析与解：用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形（见左
下
图）。用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成
1个11×11的大正形（见右下
图）。
上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。
那么
，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗？
将11×11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将2×2或3×3的正
方形沿格
线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形，<
br>覆盖住的白格数量总是偶数个。但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾。
由
此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。
综上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1个1×1的小正方形。
例5
用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？
分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。
如
下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两个小长方形只能
如图覆盖，其余部分有
4种覆盖方法：右下图中①②③三个小长方形只能如图覆盖，其余
部分有3种覆盖方法。所以，共有7种
不同覆盖方法。
例6 有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用
这些硬纸片拼成一个长
5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能
相互得到
的拼法认为是相同的拼法）
解：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：
有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法：
有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是1 厘米纸片的有1
种拼法。
共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（种）。
答：共有10种不同的拼法。
练习15
在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线
重合）
4.小明有8张连在一起的电影票（
如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的
送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？
5.有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边
长为
4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼
法）
7.能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？