word完整版小学六年级奥数教案15棋盘的覆盖
经典文学-自创诗
小学六年级奥数教案一
15
棋盘的覆盖
本教程共
30
讲
棋盘的覆盖
同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的棋盘（图1）,
围
棋棋盘（图2）和国际象棋棋盘（图3）。
F
r
图
2
I
r
用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。
实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列
的
方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。
棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少 种
不同的覆盖方法问题。
例1要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示 的图
形？
分析与解：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含
的
小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数。经试验，不
可能
拼成边长为3的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是 6（见右图），
需
要用题目所示的图形
36 - 3= 12 （个）。
例2能否用峠个形如匚□的卡片将左下图覆盖？
分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共
有
34个小方格，17个1X 2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。我
们将左
上图黑白相间染色，得到右上图。细心观察会发现，右上图中黑格
有16个，
白格有18个，而1X 2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白
格，所以17个
1X 2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上 图。
例3下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。现在要用这 些图
形拼成一个4X
7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多 可以用上
几种不同的图形？
分析与解：先从简单的情形开始考虑。显然，只用1种图形是可以的,
例如用7个（7）;用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）
经试
验，用6种图形也可以拼成4X 7的长方形（见下图）。
能否将7种图形都用上呢？ 7个图形共有4X 7=28 （个）小方格，从
小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4X 7的长方形。
但
事实上却拼不成。为了说明，我们将4X 7的长方形黑、白相间染色（见
右
图），图中黑、白格各有14个。在7种图形中，除第（2）种外，每种
图形
都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格
各2
个。第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格,
因此不
可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格。
综上所述，要拼成4 X 7的长方形，最多能用上6种图形
例4用1 X 1, 2X2, 3X 3的小正方形拼成一个11X 11的大正方形，
最
少要用1X1的正方形多少个？
分析与解：用3个2X 2正方形和2个3X
3正方形可以拼成1个5X 6的
长方形（见左下图）。用 4个5X 6的长方形和1个1 X
1的正方形 可以拼
成1个11X 11的大正形（见右下图）。
上面说明用1个1X 1的正方形和若干2X 2,3X 3的正方形可以拼成
11 X
11的大正方形。那么，不用1 X 1的正方形，只用2X 2, 3X 3的正
方形可以
拼成11X 11的正方形吗？
将11X
11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将 2X 2
或3X3的正
方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以 无论放置多少个2X
2或
3X3的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。 但是，右图中的白格有11X 7=77
（个），是奇数，矛盾。由此得到，不 用1X 1的正方形不可能拼成11X
11的正方
形。
综上所述，要拼成11X 11的正方形，至少要用1个1 X
1的小正方形
例5用七个1X2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方 法？
分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。
如下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两
个
小长方形只能如图覆盖，其余部分有4种覆盖方法：右下图中①②③三
个小
长方形只能如图覆盖，其余部分有3种覆盖方法。所以，共有7种不 同覆盖
方法。
例6有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这些
硬
纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的
拼
法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）
解：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：
有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法:
有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是
1厘
米纸片的有1种拼法。
共有不同的拼法3 +
4 + 2+仁10（种）
答：共有10种不同的拼法。
练习15
1■在4X
4的正方形中，至少要放多少个形如出所示的卡片，才能使得
在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？ （要求
卡片的边缘与格线重合）
么下列各图中哪几个能用若干午H□或出拼成？
王能否用
9
个形如的品卡片麗盖住&
x 6
的棋盘？
4.小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在
起
的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？
5.有若干个边长为1边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一
些拼
成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各
种小正
方形的数目相同就算相同的拼法）
□
A
t
_
丄
乩用
6
个形如田的卡片覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？
7.能不能用9个1X 4的长方形卡片拼成一个6X 6的正方形?
答案与提示练习15
1.3个。提示：左下图是一种放法。
2.图（2）
提示：图（1）的小方格数不是3的倍数；图（3）的小方格数是3
的倍
数但拼不成；图（2）的拼法见右上图。
3.不能。
提示：右图中黑、白格各18个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9
张卡
片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住 18个黑格。
⑹
盖；下中图中，①放好后，左下方和右上方各有
法；右下图只有
4.25
种。
提示：形如图（A）（ B）（ C）（ D）的依次有3，10，6, 6种
CB）
（
C
）
5.6 种。
解：用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形:
（1） 1 个 3X 3，7 个
1X 1；（ 2） 1 个 2X 2，12 个 1 X 1；
3） 2 个 2X 2，8 个
1X 1；（ 4） 3个 2X 2，4 个 1X 1；
（5） 4 个 2X 2；（ 6）
16 个 1 X 1。
6.5 种。
提示：盖住A有下图所示的5种方法，其中左下图所示的3种都无法 覆
2种放法，共有4种覆 盖方
1种覆盖方法。
（
7.不能。
提示：用1, 2, 3, 4对6X
6棋盘中的小方格编号（见右图）。一个
1X4的矩形一次只能覆盖1, 2, 3,
4号各一个，而1, 2, 3, 4号数目 不
等，分别有9, 10, 9, 8个。
1
3 4
,1
2
2 3 4 1
3
3 4 1
2
3 4
4 1 2 3 4 1
1 2
3 4
1 2
2
4
1
3