华罗庚学校数学教材(六年级上)第11讲_棋盘中的数学(二)
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本系列共 14 讲
第十一讲 棋盘中的数学（二）
——棋盘覆盖的问题
.
文档贡献者：
winner_d1975
有这样一道竞赛题：
例 1
一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图
中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？
（A）3×4
（B）3×5 （C）4×4
（D）4×5 （E）6×3
解：通过试验，很容易看到，应选择答
案（B）． 这类问题，容易更加一般化，即用 2×1
的方格骨牌去
覆盖一个m
×n 的方格棋盘的问题．
定理 1：
m×n 棋盘能被 2×1 骨牌覆盖的充分且必要的条件是 m、n
中至少有一个是偶数．
证明：①充分性：即已知 m，n
中至少有一个偶数，求证：m×n
棋盘可被 2×1 骨牌覆盖．不失一般性，设
m＝2k，则 m×n＝2k×n
＝k×(2n)=
.
易知
可被 n 个 2×1 骨牌覆盖，所以 m×n
棋
盘可被 kn 个 2×1 骨牌覆盖。
②必要性：即已知 m×n 棋盘可以被
2×1 骨牌覆盖．求证：m，n
中至少有一个偶数．若
m×n 棋盘可被 2×1 骨牌覆盖，则必覆盖偶数
个方格，即 mn 是个偶数，因此
m、n 中至少有一个是偶数．
例 2 下图中的 8×8
棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，
问能否用 31 个 2×1
的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
分析 刚一想，31 个 2×1 骨牌恰有 62
个小方格，棋盘去掉两个
角后也是 62 个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不
可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1 骨牌
一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以
找到解答。
解：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62 个格中有黑格
32
个，白格 30 个．另外，如果用 2×1 骨牌 31 张恰能盖住这个残
角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31 个
骨牌将盖住 31
个黑格及 31 个白格．这与 32 个黑格数，30 个白格数
的事实相矛盾．所以，无论如何用这 31 张 2×1 的骨牌盖不住这个残
角棋盘．
例 3 在下图（1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）四个图形中：
可以用若干块
和 拼成的图形是第几号图形？
解：图形（1）和（2）中各有 11 个方格，11 不是 3 的倍数，因
此不能用这两种图形拼成。
图形（3）的右上角只能用
两种图形来拼。
来拼，剩下的图形显然不能用这
只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有
多种，下图仅举出一种为例．
说明：排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可
以用若干块
和
盖住，这个图形的小方格数一定是 3 的倍
数。因此，小方格数不是 3 的倍数的图形一定不能用 与
形的“骨牌”盖住，这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形
小方格数是
3 的倍数，也不能保证一定能用 与
盖住。这
表明这个条件并不充分，图形（3）表明的就是这种情况．
例 4 2×n
的方格棋盘能用
件是 3｜n．
形骨牌覆盖的充分且必要的条
证明：①充分性：即已知 3｜n，求证 2×n 棋盘可被
骨牌覆
盖。
若 3｜n 时，设
n＝3k，
则 2×n＝2×3k＝k（2×3）
由于两个
可拼成一个 2×3 小棋盘，这时 2×n 恰为 k 个 2
形盖住。 ×3
组成，所以当 3｜n 时 2×n 棋盘可以被若干个
②必要性：即已知 2×n
棋盘可以被
设 2×n 棋盘被 x 个
骨牌覆盖，求证：3｜n。
形覆盖，则
2×n＝3×x
则 3｜2n，但（2，3）＝1，
∴3｜n．
说明：例 4 的结论为我们制定 m×n 棋盘能否被
形覆盖提供
了一种思考方法．比如，若 3｜n 且 2｜m 时， m×n
棋盘可分成若干
个 2×n 棋盘，而每个棋盘都能被
形盖住，因此 m×n
棋盘可被
形盖住。
例 5
一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形，
每种图形都由 4 个面积为 1
的小方格组成．现用 7 个这样的图形拼成
一个 7×4
的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上
面七种图形中的几种？
分析 用七个图形，共 4×7＝28 个方格，要是能拼成 4×7 的棋
盘，小格数一样，这表明存在可能性。显见由型七个，可以
拼成 4×7 的棋盘；由 4 个 型及 3 个
也可以拼成 4×7 的
棋盘。这时采用了小“方块”中的两种。这样试下去，我们会发现，
由七种方块中的
6 种可以拼成 4×7 棋盘格，如下图所示。
但要将七种“方块”每个都只用一次，要拼成 4×7 棋盘，试几次会
发现拼不出来。因此我们会想到，是不是不可能呢？下面我们证明这
一点。
证明：用 6 种“方块”构成 4×7 棋盘已如上图所示．
下面我
们证明不能用七种“方块”各一块构成 4×7 的长方形棋
盘．
将长方形的 28 个小方格如下图黑、白相间进行染色，则黑、白
格各为 14。若能用 7 种“方块”拼成，则必占据了 3 个黑格
一个白格或
3 个白格 1 个黑格，而其余六种方块图形皆占据黑格、白
格各 2 个．因此，7
种方块图形占据的黑白格数必都是奇数，不会等
于 14．
综上所述，要拼成
4×7 的方格，最多能用上七种“方块”中的6
种图形。
例 6 由 1×1、
2×2、3×3 的小正方形拼成一个 23×23 的大
正方形，在所有可能的拼法中，利用
1×1 的正方形最少个数是多少？
试证明你的结论．
解：用
1×1 的正方形至少一个．
第一步：中心放一个 1×1 的正方形，剩下的 4 个
11×12 的矩形 ，
是可以用 6 个 2×2 正方形和 12 个 3×3
正方形拼成的，如下图所示．
第二步：不用 1×1 而只用 2×2 与 3×3
的正方形是拼不成的．将
23×23 的大正方形的
1，4，7，10，13，16，19，22 各行染红色，
其余各行染蓝色如下图．任意 2×2
或 3×3 正方形都将包含偶数个蓝
色小格，但蓝格总数是
23×15，是个奇数，矛盾．所以不用 1×1 的
小正方形是拼不成 23×23 棋盘的。
综上所述，要拼成 23×23
棋盘，至少要用一个 1×1 的小正方
形 ． 例 7 8×8 的棋盘能否用 15
个
骨牌
形骨牌和 1 个 形
覆盖？
解：如下图用黑白二色相间涂染 8×8 棋盘，总计有 32 个黑格
及 32 个白格。
当我们把
放入棋盘时，一定盖住两个小黑格及两个小白格。
当我们把形骨牌任意盖在 8×8 棋盘上时，要么它盖住三
黑一白（称为第Ⅰ类），要么它盖住三白一黑（称为第Ⅱ类），总之一
个
盖住奇数个（3 个，或 1 个）白格。
假设用 15 个形骨牌和
1 个 形骨牌可以覆盖这个 8×8
棋盘，则 15
个形骨牌将盖住=奇数个白格 。
形骨牌和 1 个
1 个 形骨牌盖住 2 个白格。所以 15 个
形骨牌共盖住：奇数＋2=奇数个白格。这与 8×8 棋盘上共有 32 个白
格的总数相矛盾。
所以 8×8 的棋盘不能用 15 个
关于棋盘的覆盖问题我们简单介
绍到这里，并且只是个别的例
题，作为入门的先导罢了！
习题十一
1，在
4×4 的正方形中，至少要放多少个
重叠的情形下无法再在正方形中多放一个
形块，使得在不
形块？
2，3 个形块和一个字块能否盖 4×4
的棋盘纸？
形块覆盖。 3，证明一个 5×9 的棋盘能被
4．求证
4×4 棋盘格切去左上角与右下角两个格后的残角棋盘，
不能用 7 个 1×2 骨牌所覆盖．
5．请将如下图所示的 6×6 棋盘分成两块，使得两块的形状和大
小都相同，并且每一块中都含有 A、B、C、D、E 五个字母。