梦到掉牙齿是什么意思-信乐团的歌

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初中数学竞赛辅导资料

一元一次方程解的讨论
甲内容提要
1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的
解也叫做根。
例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解
分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，
讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=
b
a
；
当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）
3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解
当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；
当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b
乙例题
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=
4
a

②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；
③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解
④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=
4
a
,∴只要a与4同号，
即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。
例2 k取什么整数值时，方程
①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？
②（1－x）k=6的解是负整数？
解：①化为最简方程（k＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数
∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k－6，
当k≠0时x=
k6
k
=1－
6
k
，
只要k能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数
当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？
解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b
∵方程无解，∴a－b=0且b≠0
∴a和b应满足的关系是a=b≠0。

9

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例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7，
根据 0x＝0时，方程有无数多解，可知
当


3a2b80
2a3b70
时，原方程有无数多解。

解这个方程组得


a2

b1

答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
丙练习（9）
1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0, ②x
2
=9, ③|x|=9， ④|x|=－3,
⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x
2,关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________
3,在方程a(a－3)x=a中，
当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解；
当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。
4， k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
① x=
4
k
②x=
6
k1
③x=
2k33k2
k
④x=
k1

5， k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6， m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
7， 己知方程
3x6a2
4
1
2
的根是正数，那 么a、b应满足什么关系？
8， m取什么整数值时，方程
(
x2
3
1)m1
3
m
的解是整数?
9， 己知方程
b
2
(x1)1
3
2
ax
有无数多解，求a、b的值。


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二元一次方程的整数解
甲内容提要
1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。

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2， 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的
解）。k叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x=
111y1y10y1
5
=
5

y
5
 2y
(1) ,
设
1y
5
k(k
是整数），则y=1-5k (2) ,
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是


x11k2
15k
（k是整数）

y
方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解

< br>xx
0
则通解是

xx
0
bk
（x< br>
yy

0
,y
0
可用观察法）
0

yy
0
ak
3， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值
② 用观察法直接写出。
乙例题
例1求方程5x－9y=18整数解的能通解
解x=
189y1 510y3y3
5

5
32y
y
5

设
3y
5
k
（k为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k
∴原方程整数解是


x99k

y35k
（k为整数）
又解：当x=o时，y=－2，
∴方程有一个整数解

x0
2
它的通解是

x09y

y 

y25k
（k为整数）

从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2，求方程5x+6y=100的正整数解 解：x=
1006y
5
20y
y
5
(1)，
设
y
5
k
(k为整数)，则y=5k,(2)
把（2）代入（1）得x=20-6k，
∵


x0

206k0

y0
解不等式组


5k0

得0＜k<
20
6
,k的整数解是1，2，3，

9

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∴正整数解是


x1 4

x8

x2



y5
y10

y15
例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元 可买两种书各几本？
解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得
3x+5y=38 （x,y都是正整数）

x1
∵x＝1时，y=7，∴

是一个整数解
y7

∴通解是


x15k
（k为整数）

y73k

15k0
17
解不等式组

得解集是
k
∴整数k=0，1，2
53

7 3k0
把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解


x1< br>
y7

x6

x11




y4

y1
答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或 11和1本。
丙练习10
1， 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3
②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110
3，一根长10000毫米的 钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛
坯长250毫米，有几种截法可百分 之百地利用钢材？
4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁
数。
5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.
6, 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣 2分，不答得0分，小这军
同学得48分，他最多得几分？
7． 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：
y=
x=






1

4

－2











17y


3

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二元一次方程组解的讨论
甲内容提要

a
1
xb
1
yc
1
1． 二元一次方程组

的解的情况有以下三种：
axbyc
22

2
① 当
a
1
b< br>1
c
1

时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）
a
2
b
2
c
2
a
1
b
1
c
1

时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）
a
2
b
2
c
2
a
1
b
1

（即a
1
b
2
－a
2
b
1
≠0）时，方程组有唯一的解 ：
a
2
b
2
② 当
③ 当
c
1
b
2
c
2
b
1

x

a1
b
2
a
2
b
1



（这个解可用加减消元法求得）
caca

y2112

a
1
b
2
a
2
b
1

2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解， 可按
二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程 组的解（把待定系数当己知数），再解
含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
乙例题
例1. 选择一组a,c值使方程组


5xy7


ax2yc
① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。
解得a=10, c≠14。
③当 5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a取什么值时，方程组


xya
的解是正数？
5x3y31

解：把a作为已知数，解这个方程组

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313a


313 a
x0

x0



2
2
得

∵

∴



y0

y
5a31

5a31
0


2


2

a


解不等式组得

a


答：当a的取值为6
31
11< br>3
解集是6
a10

31
53
5
11
a10
时，原方程组的解是正数。
53

2xmy4
例3. m取何整数值时，方程组

的解x和y都是整数？
x4y1

8

x1


m8
解：把m作为已知数，解方程组得


2

y

m8

∵x是 整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。
取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。
解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李， 榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚
铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒 ？
解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z粒,依题意得

xyz100(1)


1

3x 4yz100(2)

7

由（1）得x= 100－y－z (3)

把（3）代入（2），整理得
y=－200+3z－
设
z

7
z
k
(k为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k
7
100

k


300 27k0
9


∵x,y,z都是正整数∴

200 20k0
解得

k.10
（k是整数）

7k0

k.0




9

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∴10＜k<
11
, ∵k是整数， ∴k=11
即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)


丙练习11
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
①

1
9

3x5y1

x2y 3

2xy3
②

③



3x5y1

3x6y9

4x2y3
2< br>

x3yaa1

2
2． a取什么值时方程组


9x6y9a2a2
的解是正数？
3． a取哪些正整数值，方程组


x2y5a
的解x和y都是正整数？

3x4y2a
4． 要使方程组


xkyk
的解都是整数， k应取哪些整数值？
x2y1

5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三， 值钱一，百钱买百鸡，
鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？


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用交集解题
甲内容提要
1． 某种对象的全体组 成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约
数集合记作｛6的正约数｝＝｛1， 2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1
的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1 的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的
个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2 ，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与
10的公约数集合C＝｛1，2｝，集 合C是集合A和集合B的交集。
3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
正
正
整
整
数
右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆
数
数
集
集
的公共部分，是它们的交集――正整数集。
集
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组


2x6

(1)
解的集合就是

x2

(2)
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不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3
.

如数轴所示：


0 2 3
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件， 一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的
解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集 ）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选 、剔除，求得
答案。（如例2）
乙例题
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝
除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝
除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，……｝
集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
解： 二位的质数共 21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数
的集合是｛1，3，7， 9｝；
其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；
平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。
例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物 的有21人，其中6人两种都
订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小 组共有几
人？
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部 分就是它
们的交集（A、B两种都订的人数集合）。
∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人；
A＝28
B＝21
只订B刊物的人数是21－6＝15人；
AB
只A
只B
小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。
6
22
15
设N，N（A），N（B），N（AB），
N

分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得
［公式一］N＝
N
+ N（A）+N（B）－N（AB）。
例4. 在40 名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩
乒乓球和篮球的有6人 ，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，
问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？
解：仿公式一,得［公式二］：
N＝
N
+ N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－N（AC）－N(BC)+N(ABC)
①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人）
A
AB
24
6
②求N（BC）可用公式二：
AC
ABC
∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1
4
1
∴N（BC）＝3， 即同时会打篮球和排球的是3人
C 10

9
B
18

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③只会打排球的是10－3－1＝6（人）
例5. 十进制中，六位数
19xy87
能被33整除，求x和y的值
解：∵0≤x，y≤9， ∴0≤x+y≤18， －9≤x－y≤9，x+y>x－y
∵33＝3×11，
∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17
(1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数， 故x－y=－4，7
∵x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：

xy8

xy14



xy4

xy4
解得


xy11


xy7

x9


y2


xy17



xy7

x2

y6


x5


y9


x12


y5

（x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2

丙练习12
1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿
2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。
3． 12的正约数集合A＝｛ ｝，30的正约数集合B＝｛ ｝
12和30的公约数集合C＝｛ ｝，集合C是集合A和集合B的＿＿
4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上： < br>
1

x2

x20

3x6< br>
x1
①

②

③

3
④



5x0

x 20

x5


2x2
5． 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
6． 九张纸各写着1到9中的一个自 然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张
数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的 两张数字商是3，问剩下的一张是多少？
7． 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方 、立方的个位数都不变③两个数
位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
8． 据 30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。
那么①会打排球 有几人？②只会打排球是几人？
9． 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表 决，赞成A的有52票，
赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几 人？
10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按
两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总
人 数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）
11.
xy3xy50

12. 十进制中，六位数
1xy285
能被21整除，求x,y的值（仿例5）


9

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用枚举法解题
甲内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：
① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
乙例题
1
1
N
例1 如图由西向东走，
4
3
A
11
B
从A处到B处有几
P
C
13
4
种走法？
M

1
1
解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A到C有三种走法，在C
处标上3， 从A到M（N）有3＋1＝4种， 从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累
计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法）
例2 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项
式。
解法一：按X
4
，X
3
，X
2
，X，以及不含X的 项的顺序列出（如左）
解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）
X
4
， X
4
， Y
4
， Z
4
X
3
Y， X
3
Z， X
3
Y ， Y
3
Z ， Z
3
X
X
2
Y
2
， X
2
Z
2
， X
2
YZ， X
3
Z ， Y
3
X， Z
3
Y
XY
3
， XZ
3
， XY
2
Z， XYZ
2
， X
2
Y
2
， Y
2
Z
2
， Z
2
X
2
Y
4
， Z
4
Y
3
Z， Y
2
Z
2
， YZ
3
。 X
2
YZ， Y
2
ZX， Z
2
XY
解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)
例3 讨论不等式ax解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表
ax<0的解集

b
正 负



零






a
正
负
零
当a>0时，解集是x<
bb
, 当a<0时，解集是x>,
aa
当a=0,b>0时，解集是所有学过的数，
当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解)
例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数
解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，
再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计：
边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10
边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6

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边长2单位，顶点在上的△有：
1+2+3=6

边长2单位，顶点在下的▽有：1
边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3
边长4单位，顶点在上的△有：1
合计共27个

丙练习13
1． 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿
2． a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3． xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿
4． 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分 别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的
所有线段，并统计总条数。

A B C D E F
5. 写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。
6. 除以4余1 两位数共有几个？
7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？
8. 把 边长等于4 的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计
算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？
9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从
A
A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？
10. 列表讨论不等式ax>b的解集.
11. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，
则这个正整数的最小值是＿＿
B



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经验归纳法

甲内容提要

1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个 特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经
验归纳法。例如
①由 ( － 1)
2
＝ 1 ，（－ 1 ）
3
＝－ 1 ，（－ 1 ）
4
＝ 1 ，……，
归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
三位数从 100 到 999 共900个（9×10
2
），
四位数有9×10
3
＝9000个（9×10
3
），
…………

归纳出n 位数共有9×10
n-1
(个)

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③ 由1+3=2
2
, 1+3+5=3
2
, 1+3+5+7=4
2
……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n
2
等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行
足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，
都必须 进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）

乙例题
例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
解：两条直线只有一个交点， 1 2
第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3
第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
………
第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点
由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），
这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×
n1n(n1)
, 即个交点。
22

例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如
5！＝1×2×3×4×5。试比较3
n
与（n+1）！的大小（n 是正整数）
解：当n ＝1时，3
n
＝3, （n＋1）！＝1×2＝2
当n ＝2时，3
n
＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6
当n ＝3时，3
n
＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24
当n ＝4时，3
n
＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
当n ＝5时，3
n
＝243, （n＋1）！＝6！＝720 ……
猜想其结论是： 当n＝1，2，3时，3
n
＞（n＋1）！，当n>3时3
n
＜（n＋1）！ 。
例3 求适合等式x
1
+x
2
+x
3
＋…+x
2003
=x
1
x
2
x
3
…x
2 003
的正整数解。
分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正 整数的值，我们采用
经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。
解：x
1
+x
2
=x
1
x
2
的正整数解是x
1
=x
2
=2

x
1
+x
2
+x< br>3
=x
1
x
2
x
3
的正整数解是x
1
=1,x
2
=2,x
3
=3
x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=x
1
x
2x
3
x
4
的正整数解是x
1
=x
2
= 1,x
3
=2,x
4
=4
x
1
+x
2< br>+x
3
+x
4
+x
5
=x
1
x2
x
3
x
4
x
5
的正整数解是x
1< br>=x
2
=x
3
=1,x
4
=2,x
5
=5
x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
+x
6
=x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
的正整数解是x
1
=x
2
=x
3
=x
4
=1,x
5
=2,x
6
=6
…………
由此猜想结论是：适合等式x
1
+x< br>2
+x
3
＋…+x
2003
=x
1
x
2
x
3
…x
2003
的正整数解为x
1
=x2
=x
3
＝……
=x
2001
=1, x
2002
=2， x
2003
=2003。
丙练习14

1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数
有＿＿＿＿个。

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2． 十进制的两位数a
1
a
2
可记作10a
1
＋a
2
,三 位数
a
1
a
2
a
3
记作100a
1
+10a
2
+a
3,
四位数
a
1
a
2< br>a
3
a
4
记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿
3． 由1
3
＋2
3
＝（1＋2）
2
，1
3
＋2
3
＋3
3
＝（1＋2＋3）
2
，1
3
＋2
3
＋3
3
＋4
3

＝（＿＿＿）
2
,1
3
＋＿＿＿＿＿＿＝15
2
，1
3
＋2
3
＋…＋n
3
=( )
2
。
4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①
111

1
－
222

2
＝（＿＿＿）
2
；
111

1
－
222

2< br>＝（ ＿＿）
2
。

；
1 0
个
15
个
22n
个
1n
个
2
②
111

155

56
＝（＿＿＿＿）
2
；
11

1155

56
＝（＿＿＿）
2


9
位
9
位
n
位
n
位




5． 把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少

6．计算
1111
＋＋＋…＋＝
1112121313141920
（提示把每个分数写成两个分数的差）
7．a是正整数，试比较a
a+1
和(a+1)
a
的大小.

8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然

后把宽3等分，把长8等分，分成24个

小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m 等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边
涂色的有＿＿个，一边涂色 的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正 方体，那么这64个中，三面
涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都 不涂色的有＿
＿＿＿个。
本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是 大于2的自然数）那么这mnp
个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色 的有＿＿＿＿个，
四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。



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乘法公式
甲内容提要

9

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1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、
根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还
要记住 一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)< br>2
=a
2
±2ab+b
2
,
平方差公式：（a+b）(a－b)=a
2
－b
2
立方和（差）公 式：(a±b)(a
2

ab+b
2
)=a
3
±b
3
3.公式的推广：
① 多项式平方公式：(a+b+c+d)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+2ab+ 2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
② 二项式定理：(a±b)
3
=a
3
±3a
2
b +3ab
2
±b
3

(a±b)
4
=a
4
±4a
3
b+6a
2
b
2
±4ab
3+b
4
）
（a±b）
5
=a
5
±5a
4
b+10a
3
b
2
±10a
2
b
3
＋5ab
4
±b
5
）
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a
3
－a
2
b+ab
2
－b
3
)=a
4
－b
4

(a+b)(a
4
－a
3
b+a
2
b
2
－ab
3
+b
4
)=a
5
+b
5 (a+b)(a
5
－a
4
b+a
3
b
2
－a
2
b
3
+ab
4
－b
5
)=a6
－b
6

…………
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
(a+b)(a
2n
－
1
－a
2n
－
2
b+a
2n
－
3
b
2
－…＋ab
2n
－
2
－b
2n
－
1
)=a
2n
－b
2n
(a+b)(a
2n
－a
2n
－
1
b+a
2n
－
2
b
2
－…－ab
2n
－
1
+b
2n
)=a< br>2n+1
+b
2n+1
类似地：
（a－b）(a
n
－
1
+a
n
－
2
b+a
n
－
3
b
2
+…＋ab
n
－
2
+b
n
－
1
)=a
n
－b
n

4. 公式的变形及其逆运算
由（a+b）
2
=a
2
+2ab+b
2
得 a
2
+b
2
=(a+b)
2
－2ab
由 (a+ b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
=a
3
+b
3
+3ab(a+b) 得 a
3
+b
3
=(a+b)
3
－3ab(a+b)


由公式的推广③可知：当n为正整数时
a
n
－b
n
能被a－b整除,
a
2n+1
+b
2n+1
能被a+b整除,
a
2n
－b
2n
能被a+b及a－b整除。

乙例题
例1. 己知x+y=a xy=b
求 ①x
2
+y
2
②x
3
+y
3
③x
4
+y
4
④x
5
+y
5
解： ①x
2
+y
2
＝(x+y)
2
－2xy＝a
2－2b
②x
3
+y
3
＝(x+y)
3
－3x y（x+y）＝a
3
－3ab
③x
4
+y
4
＝( x+y)
4
－4xy（x
2
+y
2
）－6x
2y
2
＝a
4
－4a
2
b＋2b
2

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④x
5
+y
5
＝（x+y）(x
4
－x
3
y+x
2
y
2
－xy
3
+y
4
)
=(x+y)［ x
4
+y
4
－xy(x
2
+y
2
)+x< br>2
y
2
］
=a［a
4
－4a
2
b+2b
2
－b(a
2
－2b)+b
2
］
＝a
5
－5a
3
b+5ab
2

例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。
证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)
a(a+1)( a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a
2
+3a)(a2
+3a+2)+1
=(a
2
+3a )
2
+2(a
2
+3a)+1=(a
2
+3a+1)
2

∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数
∴a
2
+3a+1是整数 证毕
例3. 求证：2
222
＋3
111
能被7整除
证明：2
222< br>＋3
111
＝（2
2
）
111
＋3
111< br>＝4
111
＋3
111
根据 a
2n+1
+b
2n+1
能被a+b整除，（见内容提要4）
∴4
111
＋3
111
能被 4＋3整除
∴2
222
＋3
111
能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵
(10a+5)
2
=100a
2
+2×10a×5+25=100a(a+1)+25
∴“个 位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5
的平方，幂的百位以上的数 字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。
如：15
2
=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 25
2
=625 (6=2×3)，
35
2
=1225 (12=3×4) 45
2
=2025 (20=4×5)
……


丙练习15
1． 填空：
①a
2
+b
2
=(a+b)
2
－_____ ②(a+b)
2
=(a－b)
2
+___
③a
3
+b
3
=(a+b)
3
－3ab(___) ④a
4
+b
4
=(a
2
+b
2
)
2
－____
,⑤a
5
+b
5
=(a+b)(a< br>4
+b
4
)－_____ ⑥a
5
+b
5
=(a
2
+b
2
)(a
3
+b
3
)－__ __
2． 填空：
①(x+y)(___________)=x
4
－y
4
②(x－y)(__________)=x
4
－y
4
③(x+y)( ___________)=x
5
+y
5
④（x－y）(__________)=x
5
－y
5

3.计算：
①55
2
= ②65
2
= ③75
2
= ④85
2
= ⑤95
2
=
4. 计算下列各题 ，你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=
5..已知x+
1111
=3, 求①x
2
+
2
②x
3
+
3
③x
4
+
4
的值
x
xxx

6.化简：①（a+b）
2
(a－b)
2

②(a+b)(a
2
－ab+b
2
)
③(a－b)((a+b)
3
－2ab(a
2
－b
2
)
④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)
7.己知a+b=1, 求证：a
3
+b
3
－3ab=1

9

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8.己知a
2
=a+1，求代数式a
5
－5a+2的值
9.求证：2
33
＋1能被9整除
10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数
的平方
11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们
的直径分别是a,b,c
① 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长
b
c
② 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。
a





初中数学竞赛辅导资料
整数的一种分类

甲内容提要
1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，
r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。
即：在整数集合中 被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数)
例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1
（∵－1＝5（－1）＋4。 －9＝5（－2）＋1。）
2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。
3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：
m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k为整数）
m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.
或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。
m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝
或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝， 其中5k－2表示除以5余3。
4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。
举例如下：
①（3k
1
+1）+(3k
2
+1)=3(k
1
+k2
)+2 （余数1＋1＝2）
②（4k
1
+1）(4k
2
+3)=4(4k
1
k
2
+3k
1
+k
2
)+3 （余数1×3＝3）
③（5k±2）
2
＝25k
2
±20k+4=5(5k
2
±4k)+4 （余数2
2
＝4）
以上等式可叙述为：
① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。
② 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。
③ 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是
4或9。
余数的乘方，包括一切正整数次幂。
如：∵17除以5余2 ∴17
6
除以5的余数是4 （2
6
＝64）

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5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

乙例题
例1. 今天是星期日，9
9
天后是星期几？
分析：一星期是7天，选用模m=7, 求9
9
除以7的余数
解：9
9
＝（7＋2）
9
， 它的余数与2
9
的余数相同，
2
9
＝（2
3
）< br>3
＝8
3
＝（7＋1）
3
它的余数与1
3
相 同，
∴9
9
天后是星期一。
又解：设｛A｝表示A除以7的余数， ｛9
9
｝＝｛（7＋2）
9
｝＝｛2
9
｝＝｛8
3
｝＝｛（7＋1）
3
｝＝｛1
3
｝＝1
例2. 设n为正整数，求4
3 n+1
除以9的余数。
分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式
解：4
3 n+1
＝4×4
3n
=4×(4
3
)
n
=4×（64）
n
＝4× (9×7＋1)
n

∵(9×7＋1)
n
除以9的余数是1
n
=1
∴4
3 n+1
除以9的余数是4。
例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数
解：设三个连续整数为n－1,n,n+1
M=(n －1)
3
+n
3
+(n+1)
3
=3n(n
2+2)
把整数n按模3，分为三类讨论。
当n=3k （k为整数，下同）时，M＝ 3×3k［(3k)
2
+2］=9k(9k
2
+2)
当n=3k+1时， M＝3（3k+1）［(3k+1)
2
+2］＝3（3k+1） (9k
2
+6k+3)
=9(3k+1)(3k
2
+2k+1)
当n=3k+2时， M＝3（3k+2）［(3k+2)
2
+2］＝3（3k+2） (9k
2
+12k+6)
＝9(3k+2)(3k
2
+4k+2)
∴对任意整数n，M都是9的倍数。
例4. 求证：方程x
2
－3y
2
=17没有整数解
证明：设整数x按模3分类讨论，
①当x＝3k时， （3k）
2
－3y
2
=17, 3(3k
2
－y
2
)=17
⑵当x=3k±1时， （3k±1）
2
－3y
2
=17 3
(
3k
2
±2k－y
2
)=16
由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，
∴上述等式都不能成立，因此，方程x
2
－3y
2
=17没有整数解
例5. 求证：不论n取什么整数值，n
2
+n+1都不能被5整除
证明：把n按模5分类讨论，
当n=5k时，n
2
+n+1=(5k)< br>2
+5k+1=5(5k
2
+k)+1
当n=5k±1 时，n
2
+n+1＝（5k±1）
2
＋5k±1＋1
＝25k2
±10k+1+5k±1＋1＝5（5k
2
±2k＋k）＋2±1
当n=5k±2时，n
2
+n+1＝（5k±2）
2
＋5k±2＋1
＝25k
2
±20k+4+5k±2＋1＝5（5k
2
±4k+k+ 1）±2
综上所述，不论n取什么整数值，n
2
+n+1都不能被5整除
又证：n
2
+n+1＝n(n+1)+1
∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6
∴n
2
+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。



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丙练习16
1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)
填写表中各数除以3的余数。

a+b a+c ab ac 2a 2b a
2
b
2
b
3
b
5
a+b)
5




2. 37
6
÷7的余数是＿＿＿＿＿
3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2
111
天是星期几？
4．已知m,n都是正整数，求证：3n
m
(n
2
+2)
（a
2
－1） 5. 已知a是奇数但不是3的倍数，求证：24
（提示a可表示为除以6余1或5，即a=6k±1）
6． 把正整数按表中的规律排下去，问100
一 二 三 四 五
将排在哪一列？答：＿＿＿
1 2 3 4
7． 已知正整数n不是4的倍数
8 7 6 5
求证：1
n
＋2
n
＋3
n＋4
n
是10的倍数
9 10 11 12
8. 任给5个整数，必能从中找到3个，
16 15 14 13
其和能被10整除，这是为什么？

9对任意两个整数，它们的和、差、积中
至少有一个是3的倍数，试说明理由。
1 0．任意10个整数中，必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意n＋1
个，则必有 两个,它们的差是n的倍数，试说明理由。
11.证明 x
2
+y
2
-8z=6没有整数解 （1990年德化县初中数学竞赛题）
12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止 即
1234



198
位
那么这个数用9除之，余数是＿＿＿（1987年全国初中数 学联赛题）




9~16部分参参答案
练习9
1. ①－1 ②±3 ③±9 ④无解 ⑤无解 ⑥无数多个解
2. a=1 3. a≠3,a≠0；a=3；a=0； a<3且a≠0
4.① k=±1,±2,±4 ②2，0，3，－1，4，－2，7，－5
③±1，±3 ④4，－5，0－2（
3k25
）
3
k1k1
5. ①k<0 ②k ≤0 6. ①m=－1 ②m＜－1 7. 2a+b>0
8. 化为最简方程mx=m+3, 当m=±1,±3时，有整数解
9.化为最简方程(3a－b)x=b+2

9

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当


3ab0

时方程无解，解得

a
2

b20

3


b2
练习10
1. 公式法 ①由特解


x4
得通解


y0

x47k

y0k
（k为整数）
②由特解

x5
得通解


y2

x 511k
y25k
（为k整数）

整除法①∵x=
11 0y
1y

x10k3
3
=
3
-3y,…… ∴通解是


y13k
（k为整数）
②通解是


x3k1
511k
（k为整数）

y
2. ①


x2

x9

x16
x223k
22

y11


y6


y1
②


y05k
－
3
＜k＜0
……
3. 有6种截法


甲＝5

甲＝10

甲＝15

甲＝20

甲＝ 25

甲＝19

乙＝34


乙＝28


乙＝22


乙＝16


乙＝10


乙＝5

4. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.（略）
一下答案(2)
练习11
1. ①无数多个解 ②无解 ③唯一的解
2. a>1 3. a=1 4. -5,-3,-1,1
5.
练习12
1. 负分数 2.等腰，直角 3.交集
4 ①x>5, ② x<-2, ③-37. 30，60，90，15，75，66（从个位数为0，15，6中找）
8. 11人，6人 9.由 100＝ ＋52＋60－36得 ＝24
10. 30人，7人； 32人，9人 11.
12. （仿例5）
练习13
1. 8组 2. 18组 3. 9组 4. 15条 5. 10个
6. 22个（从13，17，…97）
7. 25种

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8. 1＋22＋32＋42＝30个， 55个， 385个
9. 70种
10. 当a>0时，x< ； 当a<0时，x> ；
当a=0,b≥0时，无解；当a=0,b<0时，有无数多个解。
11. 27
练习14
1. 3，30，3×10
2
，3×10
n-1

2. 10
n-1
a
1
+10
n-2
a
2
_＋……+10a
n-1
+a
n


4. ①33333
2
,
333

34

34

②
33

，
33


n个
9位n位
222
5.①192位，②901位（50个18，加上1）
6. ∵
111
9
＝－ ……
11121112
220
7. a=1,2时，a
a+1
<(a+1)
a
……
8. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)
9. 8,24,24,8；
8，4×［（m－2）＋（n-2）+(p-2)］,2［（m-2）(n-2)+(m-2)］(p- 2)+(n-2)(p-2)］,
(m-2)(n-2)(p-2)
10. 64,8 11. 3334
练习15
4. 十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相 乘，其积的末两位数是两个个位
数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积
10. n(n+1)+(n+1)=(n+1)
2

11. ①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0
②

(ab+ac+bc)
2
练习16
2. 1 3. 日 4. 设n=3k, 3k+1, 3k-1讨论
6. 100除以8余数为4，故在第五列
7. 可列表说明n=4k+3, 4k+2, 4k+1, 4k时，其和均为0
8. 整数除以3，余数只有0，1，2三种，按5个整数除以3的余数各种情况讨论………
10. 整数除以9余数只有9类，而10个………
11. ∵x
2
+y
2
=8z+6, ∴右边除以8，余数 是6，左边整数x,y按除以4的余数，分为4类，
4k,4k+1,4k+2,4k－1, 则x
2
+y
2
除以8的余数………
12. 6




9