patiently-哪天立秋

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14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
学习目标：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算．
学习重点：平方差公式的推导和运用
学习重点：平方差公式的推导和运用
课前预习
1、叙述多项式乘以多项式的法则
2、计算：⑴ （
x
－3）（
x
+7） ⑵ （2
a
+5
b
）（3
a
－2
b
）


1、计算：（1）（
x
+2）（
x
－2）； （2）（1+3
a
）（1－3
a
）；

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（3）（
x
+5< br>y
）（
x
－5
y
）； （4）（
y
+3
z
）（
y
－3
z
）．



观察以上算式及运算结果，请你猜测：

ab
ab

= ，并证明。
平方差公式：①写出数学公式
②用语言叙述规律： 。
体现的数学思想：从特殊到一般的归纳证明。【特殊→归纳→猜想→验证→用数学符号表示】
③公式的几何意义：你能根据下图解释平方差公式吗？请试一试？
a

a


a


b

① ②


课内探究
平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只要正确找到a和b，•就变容易了．
例1 运用平方差公式计算：
（1）（2x+3）（2x－3）； （2）（b+3a）（3a－b）； （3）（－m+n）（－m－n）．




练习：1、填表：

ab

ab


a

b




a
2
b
2

结果




2x3

2x3



b3a

3ab



mn

mn


2
2x




2x

2
3
2



2、下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）（
x
+2）(
x
-2)=
x
-4 ( ) （2）（3
x
+2）(3
x
-2)=3
x
-4 ( ) （3）（-2
x
-3）(2
x
-3)=4
x
-9
( )




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22

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22
3、计算：⑴（-3
x
+2）(3
x
+2) ⑵（
x
+2）(
x
-2)










例2 计算：
22
（1）103×97 （2）（
a
－
b
）（
a
+
b
）（
a
+
b
）；








（3）（3
x
－
y
）（3
y
－
x
）－（
x
－
y
）（
x
+
y< br>）









当堂检测
1、平方差公式：两个数的 与这两个数 的积，等于它们的 ．

即：（
a
+
b
）（
a
-
b
）=

．公式结构为：（□+△）（□-△）=
2、公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式．只要符号公式
< br>的结构特征，就可以用这个公式（要注意公式的逆用）．
1、填空：⑴（
x
－< br>y
）（
x
+
y
）= ； ⑵ （3
x
－2
y
）（3
x
+2
y
）= ．
2222
⑶（ ）（_
3a
+2
b
）=9
a
－4
b
； ⑷（3
x
-
y
）·（___ ____）=9
x
-
y
。
2、计算（2
a
+5）（2
a
-5）的值是（ ）
2222
A、4
a
-25 B、4
a
-5 C、2
a
-25 D、2
a
-5
3、下列能用平方差公式计算是（ ）
A、（
a
+
b
）（-
a
-
b
） B、（
a
-
b
）（
b
-
a
） C、（
b
+
a
）（
a
+
b
） D、（
-a
+
b
）（
a+b
）
4、计算（1-
m
）（-
m
-1），结果正确的是（ ）
2222
A、
m
-2
m
-1 B、
m
-1 C、1-
m
D、
m
-2
m
+1
5、利用平方差计算．
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⑴ （3
a
+
b
）（3
a
-
b
） ⑵ （—
11
a
-
b
）（
a
-
b
） ⑶ 1003×997









课后反思





课后训练
1、 利用平方差公式计算
⑴14
2
3
×15
1
3









⑶ （
a
-
b
）（
a
2
+
b
2
）（< br>a
4
+
b
4
）（
a
+
b
）











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22
⑵
(1
1111
2
2
)(1
3
2
)(1
4
2
)(1< br>5
2
)

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42
2、化简求值：x－（1－x）（1+x）（1+x）其中x=－2、











14.2.2 完全平方公式(1)

学习目标：会推导完全平方公式，并能运用公 式进行简单的运算，掌握完全平方公式的计算
方法．形成推理能力．
学习重点：完全平方公式的推导和应用．
学习重点：完全平方公式的推导和应用．
课前预习
1、平方差公式：两个数的 与这两个数 的积，等于它们的 ．

即：（
a
+
b
）（
a
-
b
）=

．公式结构为：（□+△）（□-△）=
2、请同学们应用已有的知识完成下面的几道题：
2 2
计算：（1）（2
x
－3）（2
x
－3） （2）（
a
+1）（3）（
x
+2）
解原式=（a+1）(a+1)
=
=





2 22
（4）(
a
- 1) (5)（
m
- 2） (6)（2
x
－4）







【活动1】: 观察思考：通过计算以上各式，认真观察，你一定能发现其中的规律？
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⑴ 要计算的式子都是 形式，结果都是 项，
⑵ 原式第一项和结果第一项有什么关系？
⑶ 原式第二项与结果最后一项是什么关系？
⑷结果中间一项与原式两项的关系是什么？
2
猜测：（
a
+
b
） =
2
（
a
－
b
） =
验证：请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．
22
⑴（
a
+
b
） ⑵ （
a
－
b
）
2
归纳：完全平方公式：（
a
+
b
）=
2
（
a
－
b
）=
语言叙述：
【活动2】：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式，你能通过课本P
109
思考中的
拼图游戏说明完全平方公式吗？
完全平方公式的结构特征： 公式的左边是一个 二项式的完全平方；右边是三项，其中有两
项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两 项乘积的2倍．
两个乘法公式在应用时，（1）•要了解公式的结构和特征．记住每一个公式左右两边 的形式
特征，记准指数和系数的符号；注意项包括它前面的符号。（2）掌握公式的几何意义；（3）< br>弄清公式的变化形式；（4）注意公式在应用中的条件；（5）应灵活地应用公式来解题．
当堂检测
例1 运用完全平方公式计算：
（1）（4
m
+
n
） (2) (
y
－
2
1
2 22
）（3）（
b
－
a
） （4）（－
x
－
y
）；
2






练习 1 课本P
110
练习1、2
例2 运用完全平方公式计算：
22
(1) 102 （2）99





练习2 计算：⑴ 201 ⑵ 97





22
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思考：
(ab)
与
(ab)
相等吗？
(ab)
与
(ba)
相等吗？
注意：① 如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项 的；②如果两个数具有不同的
符号，•则它们乘积的2倍这一项就是 ．
当堂检测
22
完全平方公式：（
a
+
b
）= （
a
－
b
）=
语言叙述：
2222
1
22
1
2
）=
x
+_____ __+． ⑵ （0.2
x
+_______）=______+0.4
x+________．
39
1
1
⑶（
x
－2
y
）
2
=
x
2
+（______）+4
y
2
⑷ （___ _）
2
=
a
2
－ 6
ab
+9
b
2

2
4
1、填空：⑴（
x
－
⑸
x
+4
x
+4=（_____ ___） ⑹ （
x
－
y
）（
x
+
y
）（
x－
y
）=______ ___．
2、用完全平方公式计算：
222
（1）（2
x
+3）； （2）（2
x
－3）； （3）（3－2
x
）；







（4）（－2
x
－3）； （5）（－
ab
+








课后反思


课后训练
1、计算： 50.01= 49.9=
2、
x
+k
x
+4是一个完全平方式，则k= 。
3、 已知：x+y=－2，xy=3，求x+y

22、
2
2 2
2
22
2
2
1
22、
）； （6）（7
ab
+2）
3
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22
3、【拼图游戏】现有图1所示的三种规格的硬纸片各若干张，•请你根据二次三项式a+2ab+b，
选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，探究所拼出的正方形的代数意义．
（2）你能根据图 2，谈一谈（a－b）
2
=a
2
－2ab+b
2
吗？















14.2.2 完全平方公式(2)

学习目标:1、完全平方公式和平方差公式的正确运用．
2、添括号法则
学习重点：乘法公式综合应用
学习重点：乘法公式综合应用
课前预习1、⑴平方差公式：
⑵完全平方公式
2、用乘法公式计算：⑴
(53p)
2
； ⑵
(2x7y)
2
；






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⑶
(2a5)
2
；

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⑷
(5ab)(5ab)
⑸ 1、97×2、03 ⑹998






【添括号法则】
问题1：请同学们完成下列运算并回忆去括号法则。
a
+(
b
+
c
)=
a
-(
b
-
c
) =
a
-(
b
+
c
) = < br>问题2：将上列三个式子反过来写，即左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们
可不可 以依照去括号法则总结添括号法则吗？
添括号法则：

练习：1、在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）
a
+
b
-
c
=
a
+( ) (2)
a
-
b
+
c
=
a
-( )
(3)
a
-
b
-
c
=
a
-( ) (4)
a
+
b
-
c
=
a
-( )
2、判断下列运算是否正确；若不对，请改正。
cc
（1）2
a
-
b
- =2
a
-(
b
- ) ( ) (2)
m< br>-3
n
+2
a
-
b
=
m
+(3n
+2
a
-b) ( )
22

(3) 2
x
-3
y
+2=-（2
x
+3
y
-2）( ) （4）
a
-2
b
-4
c
+5=(
a
-2
b
)-(4
c
+5) ( )





当堂检测
例1 计算：⑴ （2
a
+3
b
+4）（2
a
-3
b
-4） ⑵（2
a
+3
b
-4）（2
a
-3
b
+4 ）








2
⑶ （
a
+
b
+
c
）






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2

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总结：⑴、⑵ 题关键在于正确的分组，一般规律是：把 的项分为一组，只有符
号互为 的项分为另一组．
练习1 课本P
111
练习1、2
222
例2 已知
a
+
b
=8，
ab
=－9，求(1)（
a－
b
）的值，（2）
a
+
b
的值。









222
练习2 已知
a
－
b
=－6，
ab
=8，求（1）（
a
+
b
）；（2）
a
+
b 的值






222
总结：该题用到整体代换的数学思想。其中常见的变形有：①
a
+
b
=(
a
+
b
)- ；②a
2
+
b
2
=(
a
-
b
)< br>2
+ ；③ (
a
-
b
)
2
=(
a
+
b
)
2
- ；④ (
a
+
b
)
2
+(
a
-
b
)
2
= 等
当堂检测
2
1、计算（
a
－1）（
a+1）（
a
+1）的正确结果是（ ）．
44422
A、
a
+1 B、
a
－1 C、
a
+2
a
+1 D、
a
－1
22
2、多项式M的计算结果是M=
xy
－2
xy
+1，则M等于（ ）．
2222
A、（
xy
－1） B、（
xy
+1） C、（
x
+
y
） D、（
x
－
y
）
3、下列各式计算中，错误的是（ ）．
A、（
x
+1）（
x
+4）=
x
+5
x
+4 B、（
x
－
22222
11
2
1
4
）（
x
+）=
x－
339
2
C、1－2（
xy
－1）=－2
xy
+4
xy
－1 D、（1+4
x
）（1－4
x
）=1－32
x
+16
x

4、计算： ①（
1212
x
－
y
）2
－（
x
+
y
）
2
②（
m
－
n
－3）
2

4545










③ （2
a
-3
b
+4）（2
a
-3
b
-4） ④（2
a
+3
b
+4）（2
a
-3
b
+4 ）
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课后反思





课后训练
1、①如果
kx36x81
是一个完全平方公式，则
k
的值是 。
②如果
4xkx36
是一个完全平方公式，则
k
的值是 。
③如果
xy4
，那么
(xy)(xy)
的结果是 。
2、已知（
a
+
b
）=5，（
a
-
b
）=3，求
a
+
b
的值．













2
3、计算（
a
+
b
+
c+d
），想一想 ，有什么规律。能推广吗?






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2222
2
2
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