得失不萦于怀-浮力教案

小学六年级数学知识点归纳
六年级上册
知识点概念总结
1.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
2.分数乘法的计算法则：
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分 数乘分数，用分子相
乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。
3.分数乘法意义
分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简 便运
算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。
4.分数乘整数：数形结合、转化化归
5.倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。
6.分数的倒数
找一个分数的倒数，例如34 把34这个分数的分子和分母交换位置，把原来
的分子做分母，原来的分母做分子。 则是43。34是43的倒数，也可以说43是
34的倒数。
7.
整数的倒数

找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即121 ，再把121这个分数
的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。 则是112 ，
12是112的倒数。
8.小数的倒数：

普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25 ，把0.25化成分数，即14 ，再把
14这 个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则
是41
9.用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25 ，10.25等于4 ，所以0.25
的倒数4 ，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。
10.分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。
11.分数除法计算法则： 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

1

12 .分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因
数求另一个因数。
13.分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单
位1用除 法。
14.比和比例：
比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以
用一句话概括： 比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；比
例，由至少两个称为比的式子由等 号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：
a:b=c:d）。

所以，比和比例 的联系就可以说成是：比是比例的一部分；而比例是由至少两个
比值相等的比组合而成的。表示两个比相 等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4
项,前项后项各2个.
15.比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。
比的性质用于化简比。
比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。

比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。
16.比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于
解比例。

2

17.比和比例的区别
(1)意义、项数、各部分名称不同。比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和
后项。 如：a:b 这是比 比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和
两个内项。 a:b=3:4 这是比例。
(2)比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。比的性质： 比的前项和
后项都乘 或除以一个不为零的数。比值不变。比例的性质：在比例里，两个外项的乘
积等于两个内项的乘积相等。 比例的性质用于解比例。联系： 比例是由两个相等的
比组成。
18.比和比例的意义 < br>比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的式
子是叫做比例。比 是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，
有四项。因此，比和比例的意义也有所 不同。 而且，比号没有括号的含义 而另一种
形式，分数有括号的含义！
19.比和比例的联系：
比和比例有着密切联系。 比是研究两个量之间的关系，所以它有两 项；比例是
研究相关联的两种量中两组相对应数的关系，所以比例是由四项组成。 比例是由比
组成的，如果没有两种量的比，比例就不会存在。比例是比的发展，如果把比例式中
右边的比看成一个数 ，比和比例此时又可以统一起来。 如果两个比相等，那么这两
个比就可以组成比例。成比例的两个比的比值一定相等。

3

20.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

21.圆心：圆任意两条对称轴的交点为圆心。 注：圆心一般符号O表示
22.直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表
示。
23.半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆 的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径 是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d2。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
24.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
25.圆周率：圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数 ，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环
小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值， π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
26.圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2;，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也
相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，
所对的弦心距也相 等。
27.周长计算公式

4

（1）已知直径：C=πd
（2）已知半径：C=2πr
（3）已知周长：D=cπ
（4）圆周长的一半:12周长(曲线)
（5）半圆的周长：12周长+直径（π÷2+1）
28.面积计算公式：
（1）已知半径：S=πr
（2）已知直径：S=π(d2)
（3）已知周长：S=π[c÷(2π)]
29.百分数与分数的区别

2
2
2
（1）意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表 示
两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。因此，百分数后面不能带单位名称。
分数是“ 把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。分数还可以表
示两数之间的倍数关系.
（2）应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比
较。而分数 常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。
（3）书写形式不同。百分数通常不写成分数形式 ，而采用百分号“%”来表示。因
此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数 的分子可以是
自然数，也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数 、假分数、带分数，计算
结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。 任何
一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的
意 义.
（4）百分数不能带单位名称；当分数表示具体数时可带单位名称。
30.百分数应用

百分数一般有三种情况： ①100%以上，如：增长率、增产率等。 ②100%以下，
如：发芽率、成长率等。 ③刚好100%，如：正确率，合格率等。
31.百分数的意义

百分数只可以表 示分率，而不能表示具体量,所以不能带单位。百分数概念的形
成应以学生实际生活中的事例或工农业生 产中的事例引入。

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32.日常应用

每天 在电视里的天气预报节目中，都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降
水概率等，提示大家提前做好 准备，就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有
五~六级大风，降水概率是10%，早晚应增加 衣服。20%、10%让人一目了然，既清楚又
简练。

知识点扩展
1.圆的定义
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆
心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，
简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫 做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小
于半圆的弧称为劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。连接 圆上任意两点的线段叫做
弦。圆中最长的弦为直径。
3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的 角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别
与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.内 心和外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
过三角形的三个顶点的 圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的 图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个
扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
6.圆的种类 ：（1）整体圆形，（2）弧形圆，（3）扁圆，（4）椭形圆，（5）缠丝
圆，（6）螺旋圆，（7） 圆中圆、圆外圆，（8）重圆，（9）横圆，（10）竖圆，（11）
斜圆。
7.圆和其他图 形的位置关系：
圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，
则PO是点到圆心的距 离），P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO=r；P在⊙O内，0≤
PO8.百分数的由来

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200多年前，瑞士数学家欧拉， 在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根
绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来 表示它。如果我们把它分成
三等份，每份是73米，就是一种新的数，我们把它叫做分数。而后，人们在 分数的
基础上又以100做基数，发明了百分数。









六年级下册
知识点归纳总结
1.负数：负数是数学术语，指小于0的实数，如−3。
任何正数前加上负号都等于负数。在 数轴线上，负数都在0的左侧，所有的负数都比
自然数小。负数用负号“－”标记，如−2，−5.33 ，−45，−0.6等。
2.正数：大于0的数叫正数(不包括0）
若一个数大于零（>0 ），则称它是一个正数。正数的前面可以加上正号“+”来
表示。正数有无数个，其中分正整数,正分数 和正无理数。
3.正数的几何意义:数轴上0右边的数叫做正数
4.数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。

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5.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。
6.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
即AG矩形的一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。
其中AG叫做圆柱的轴，A G的长度叫做圆柱的高，所有平行于AG的线段叫做圆柱的母
线，DA和
D'G
旋转形 成的两个圆叫做圆柱的底面，DD'旋转形成的曲面叫做圆柱的侧
面。

7.圆柱的 体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。设一个圆柱底面半径
为r，高为h，则体积V：V =πrh ；如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh
8.圆柱的侧面积：圆柱的侧面积=底面的周长*高，S侧=Ch （注：c为πd)
圆柱的 两个圆面叫做底面（又分上底和下底）；圆柱有一个曲面，叫做侧面；两个底
面之间的距离叫做高（高有 无数条）。

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2

特征：圆柱的底面都是圆，并且大小一样。
9.圆锥解析几何定 义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆
锥。
10.圆锥立体 几何定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成
的面所围成的旋转体叫做圆 锥。该直角边叫圆锥的轴 。

11.圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥 的体积。一个圆锥的体积
等于与它等底等高的圆柱的体积的13。
根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh），得出圆锥体积公式：V=13Sh

S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径

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12.圆锥体展开图的绘制：
圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的
底 面）组成。(如右图）在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a（母线长）和d（底
面直径）

13.圆锥的表面积：
一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积。

圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。
S=πR
2
(n360)+ πr
2
或(12)αR
2
+πr
2
(此n为角度制,α为弧 度制,α=π(n180)
14.圆柱与圆锥的关系：与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
体积和高相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍。
体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍。
底面积和高不相等的圆柱圆锥不相等。

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15.生活 中的圆锥：生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子。圆锥在日常生活
中也是不可或缺的。
16.比的意义
（1）两个数相除又叫做两个数的比
（2）“：”是比号，读 作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后
项。比的前项除以后项所得的商，叫做 比值。
（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
（5）比的后项不能是零。
（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后 项相当于分母，比值相当于分
数值。
17.比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以 相同的数（0除外），比值不变，这叫做比
的基本性质。
18.求比值和化简比：求比值 的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整
数，也可以是小数或分数。
根据 比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、
后项是互质的数。
19.比例尺：图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距
离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
20.按比例分配：
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配 。这种分配的
方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
21.比例的意义：比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
22.比例的性质 ：在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。

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23.解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何 三项，就可以求出这个数比例中
的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
2 4.成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中
相对应的两个 数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做
正比例关系。用字母表示y x=k(一定）
25.成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两 种量中
相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用
字母表示x×y=k(一定)
26.统计表：把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况 、说明问题，这样的表格
就叫做统计表。
27.统计组成部分：一般分为表格外和表格内 两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明
和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四 个方面。
28.统计种类：
单式统计表：只含有一个项目的统计表。
复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
百分数统计表：不仅表明各统计项 目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分
比的统计表。
29.统计表制作步骤：
（1）搜集数据
（2）整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。
（3）设计草表：要根 据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏
各需几格，每格长度。
（4）正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统
计表的名称 和制表日期。
30.统计图：用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
31.条形统计图
（1）用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直 条，然后把这些
直线按一定的顺序排列起来。
（2）优点：很容易看出各种数量的多少。注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
（3）取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定

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（4）复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日
期 下面注明图例。
（5）制作条形统计图的一般步骤:
a) 根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
b) 在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。
c) 在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示
多少。
d) 按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。
32.折线统计图
（1）用一个单 位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次
连接起来。
（2） 优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。注意：
折线统计图的横轴 表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份
的间隔来确定。
（3）制作折线统计图的一般步骤:
a) 根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
b) 在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。
c) 在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示
多少。
d) 按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。
33.扇形统计图
（1）用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
（2）优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
（3）制扇形统计图的一般步骤：
a) 先算出各部分数量占总量的百分之几。
b) 再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。

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c) 取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各
个扇形。
d) 在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜
色或条纹把各个扇形区别开。

小学数学总复习专题讲解及训练

模拟试题
一、圆柱体积
1、求下面各圆柱的体积。
（1）底面积0.6平方米，高0.5米


（2）底面半径是3厘米，高是5厘米。


（3）底面直径是8米，高是10米。


（4）底面周长是25.12分米，高是2分米。


2、有两个底面积相 等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的47。第一个圆柱的体
积是24立方厘米，第二个圆柱的的体 积比第一个圆柱多多少立方厘米？



3、在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？




14

4、牙膏出口处直径为5毫米，小红每 次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。这支牙膏可用36
次。该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6 毫米，小红还是按习惯每次
挤出1厘米长的牙膏。这样，这一支牙膏只能用多少次？

5、一根圆柱形钢材，截下1.5米，量得它的横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米
钢重7.8克 ，截下的这段钢材重多少千克？（得数保留整千克数。）



6、把一个 棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多
少立方分米？

7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这
个圆 柱体积减少多少立方厘米？


二、圆锥体积

1、选择题。
（1）一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是( )
①
1
a立方米 ② 3a立方米 ③ 9立方米
3
（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是
( )立方米
① 6立方米 ② 3立方米 ③ 2立方米
2、判断对错。
（1）圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍 ………（ ）
（2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比
是2 ：1 ………（ ）
（3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米
………（ ）
3、填空

15

（1）一个圆柱体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方厘米。
（2）一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方厘米。
（3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。圆柱的体积是（ ）
立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。
4、求下列圆锥体的体积。
（1）底面半径4厘米，高6厘米。



（2）底面直径6分米，高8厘米。



（3）底面周长31.4厘米，高12厘米。



5、一个圆锥 形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。这堆沙约重
多少吨？



6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长12.56米，高1.2米，如果每立方米 小麦重750
千克，这堆小麦重多少千克？




7、 一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高
6厘米的圆锥形的容器 内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？





参考答案：
一、圆柱体积
1、求下面各圆柱的体积。
（1）底面积0.6平方米，高0.5米 0.6 × 0.5 = 0.3（立方米）
（2）底面半径是3厘米，高是5厘米。 3.14 ×3
²
× 5 = 141.3（立方厘米）
（3）底面直径是8米，高是10米。 3.14 ×（8÷2）
²
×10 = 502.4（立方米）

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（4）底面周长是25.12分米，高是2分米。
3.14 ×（25.12÷3.14÷2）
²
× 2 = 100.48（立方分米）
< br>2、有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的47。第一个圆柱的体
积是24立 方厘米，第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？
底面积相等的两个圆柱，第一个圆柱的高 是第二个圆柱的47，第一个圆柱的体积
也就是是第二个圆柱的47。
24 ÷ 47 – 24 = 18（立方厘米）
答：第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多18立方厘米。

3、在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？
3.14 ×（0.8÷2）
²
× 2 × 60 = 60.288（立方米）
答：那么1分钟流过的水有60.288立方米。

4、牙膏出口处直径为5毫米， 小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。这支牙膏可用36
次。该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径 改为6毫米，小红还是按习惯每次
挤出1厘米长的牙膏。这样，这一支牙膏只能用多少次？
牙膏体积：1厘米 = 10毫米
3.14 ×（5÷2）
²
× 10 × 36 = 7065（立方毫米）
7065 ÷ [3.14 ×（6÷2）
²
× 10] = 25（次）
答：这样，这一支牙膏只能用25次。
5、一根圆柱 形钢材，截下1.5米，量得它的横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米
钢重7.8克，截下的这段钢 材重多少千克？（得数保留整千克数。）
1.5米 = 150厘米
3.14 ×（4÷2）
²
× 150 × 7.8 = 14695.2（克）= 14.6952（千克）≈15（千克）
答：截下的这段钢材重15千克。

6、 把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多
少立方分米？
3.14 ×（6÷2）
²
× 6 = 169.56（立方分米）
答：这个圆柱的体积是169.56立方分米。

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7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94 .2平方厘米。这
个圆柱体积减少多少立方厘米？
底面周长： 94.2÷3 = 31.4厘米
3.14 ×（31.4÷3.14÷2）
²
× 3 = 235.5（立方厘米）
答：这个圆柱体积减少235.5立方厘米。
二、圆锥体积
1、选择题。
（1）一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是( ② )
①
1
a立方米 ② 3a立方米 ③ 9立方米
3
（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是
( ③ )立方米
① 6立方米 ② 3立方米 ③ 2立方米
2、判断对错。
（1）圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍 ………（ × ）
（2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比
是2 ：1 ………（ √ ）
（3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米
………（ × ）
3、填空
（1）一个圆柱体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（ 6 ）立方厘米。
（2）一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（54）立方厘米。
（3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。圆柱的体积是
（ 108 ）立方厘米，圆锥的体积是（ 36 ）立方厘米。
4、求下列圆锥体的体积。
（1）底面半径4厘米，高6厘米。
（2）底面直径6分米，高8厘米。
1
×3.14 ×4
²
×6 = 100.48（立方厘米）
3
1
×3.14×（60÷2）
²
×8 = 7536（立方厘米）
3
（3）底面周长31.4厘米，高12厘米。
1
×3.14×（31.4÷3.14÷2）
²
×12 = 314（立方厘米）
3
5、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重 1.8吨。这堆沙约重
多少吨？
1
×3.14 ×2
²
×1.5×1.8 = 11.304（吨）
3
答：这堆沙约重11.304吨。

6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周 长12.56米，高1.2米，如果每立方米小麦重750
千克，这堆小麦重多少千克？

18

1
×3.14×（12.56÷3.14÷2）
²
×1.2 ×750 = 3768（千克）
3
答：这堆小麦重3768千克。

7 、一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高
6厘米的圆锥形的容 器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？

5 × 4 × 3 = 60（立方厘米）
60
× 3 ÷ 6 = 30（平方厘米）
答：这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米







小学数学总复习专题讲解及训练（六）

主要内容
比例的意义和基本性质

学习目标
1、使学生初步理 解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩
小，初步体会图形的相似，进一步发 展空间观念。
2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的“项”、“内项”
和“外项”；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。
3、使学生在认识 比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，
增强用数和图形描述现实问题的意 义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的
积极情感。

考点分析
1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。
2、表示两个比相等的式子叫做比例。
3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫 做比例的外项，中间的两项叫做
比例的内项。
4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
5、根据比例的基 本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一
个未知项。求比例的未知项，叫做解 比例。

典型例题
例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）
A B
C

19

（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。这< br>两个长方形的长有什么关系？宽呢？
（2）如果要把长方形A按 1:2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少？
分析与解：（1）长方形B的长是长方形A 的2倍，宽也是长方形A的2倍。或者说长方
形B和长方形A长的比是2:1，宽的比也是2:1。 < br>把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形的长和宽与原来
长方形的比是2:1，就是 把长方形A的长和宽按2:1的比进行放大。
（2）把长方形A按1:2的比缩小后为长方形C，长、 宽缩小为原来的
1
，图
2
C的长是0.75厘米，图C的宽是0.5厘米。
由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。

例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）
先按3:2的比画出长方形A放大后的图 形B，再按1:2的比画出长方形A缩小后的图形
C。（1）图B的长、宽各是几格？（2）图C呢？（ 3）观察这三幅图形，你有什么发现？











分析与解：（1）按3:2的比将长方形A放大 ，即将长方形A的长与宽分别扩大1.5倍，
那么图B的长为6×1.5 = 9格，宽为4×1.5 = 6格。（2）按1:2的比将长
方形A缩小，即将长方形A的长与宽分别缩小到原来的
























































































































































































A
B
C
1
，那么图C的长为
2
6÷2 = 3格，宽为4÷2 = 2格。（3）从 这三幅大小不同的图形上可以看出，
放大或缩小后的图形与原来的图形比较，大小虽变了，但形状不变， 而且各
条边长度的变化都符合指定的比。

点评：按比例放大图形或缩小图形，关键 是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定
好每条边的长度，画出图形就行了。

例3、（将两个相等比写成一个等式）
图B是由图A放大后得到的，你能分别写出这两幅图中 各自的长与宽的比吗？比较写出
的两个比，你有什么发现？

B

20

A
3厘米
6厘米
4厘米
8厘米

分析与解：（1）图A中长与宽的比是4:3； 图B中长与宽的原始比是8:6，而8:6化简
后就是4:3。
（2）这两个比化简后都是4:3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。
即
4:3 = 8:6或
48
= ，都读作：4比3 等于 8比6。
36

例4、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。
（1） 5 ：6 和15 ：18 （2） 0.2 ：0.1 和 3 ：1
（3）
131
1
： 和 1.2 ：0.8 （4） 6 ：2 和 ：
388
2
分析与解：分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相 等就不能组成
比例。
（1） 因为5 ：6 =
55
，15 ：18 = ，所以5 ：6 = 15 ：18。
66
（2） 因为0.2 ：0.1 = 2， 3 ：1 = 3，所以 0.2 ：0.1 和 3 ：1不能
组成比例。
11
1331
： = ， 1.2 ：0.8 = ，所以 ： = 1.2 ：0.8。
33
2222
3131
（4） 6 ：2 = 3， ： = 3，所以6 ：2 = ：。
8888
（3） 因为
点评：判断两个比能不能组成 比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比
值相等就能组成比例，否则就不行。这样解题的 依据是比例的意义。

例5、（比例的各部分名称和比例的基本性质）
一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。你能根据数量间的关系写出比例吗？

分析与解：（1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。 3.6 ：3 = 4.8 ：
4
（2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。 3.6 ：4.8 = 3 ：
4
（3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。 3 ：3.6 = 4 ：
4.8
介绍“项”：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间 的
两项叫做比例的内项。例如：
3.6 ：3 = 4.8 ：4
内项
外项

21

观察题中的三个比例，你有什么发现？
3.6 ：3 = 4.8 ：4 3.6 ：4.8 = 3 ：4 3 ：3.6 = 4 ：4.8

（1）3.6和4可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。
（2）3.6 × 4 = 3 × 4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。
（3）如果把3.6 ：3 = 4.8 ：4改写成分数形式
3.64.8
= ，等号两边的分子、
34
分母分别交叉相乘，结果也相等。
（4）如果用字母表示比例的四个项，即 a : b = c : d，
那么这个规律可表示成ad = bc 或 bc = ad。
（5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。




例6、（比例基本性质的应用）根据2 × 7 = 1.4 × 10这个等式写出几个比例。

分析与解：根据比例的基本性质，可以得出2和7、1.4和 10这两组数要么同时是比例
的外项，要么同时是比例的内项。
1.4 : 2 = 7 : 10 1.4 : 7 = 2 : 10
10 : 2 = 7 : 1.4 10 : 7 = 2 : 1.4
2 : 1.4 = 10 : 7 2 : 10 = 1.4 : 7
7 : 1.4 = 10 : 2 7 : 10 = 1.4 : 2

点评：像这样的比例一共可以写8个。但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么 同
时为外项，而1.4和10这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。

例7、（按比例放大的含义）
王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么
发现？

4厘米

5厘米

分析与解：按比例放大就是把原图 形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相
关线段的厘米数是可以组成比例的。两张图片长的比 与宽的比可以组成比
例，两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。
12.5 : 5 = 宽 : 4 或 12.5 : 宽 = 5 : 4

例8、（解比例）上图中宽是多少厘米？

分析与解：在解比例时，根据比例的基本 性质把比例转化为积相等的式子，然后再根据
等式的性质来解答。

22

解：设宽是ⅹ厘米。
12.5 : 5 = ⅹ : 4

5ⅹ = 12.5 × 4 ┈┈ 根据比例的基本性质
5ⅹ = 50

ⅹ = 10

答：放大后图片的宽是10厘米。

点评：像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。
同学们，你会解答
12.55
= 这个比例吗？试试看吧！
4



小学数学总复习专题讲解及训练（六）

模拟试题

1、一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1 : 3的比缩小后，新图片的长是（ ）
厘米，宽是（ ）厘米，这张图片（ ）不变，大小（ ）。
2、一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（ ）的比放大后，边长变为30厘
米。
3、按2 : 1的比画出平行四边形放大后的图形，按1 : 3的比画出长方形缩小后的图形。

















4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？
6∶10和9∶15 20∶5和4∶1 5∶1和6∶2
5、在2∶5、12∶0.2、310∶15 三个比中，与5.6∶14 能组成比例的一个比是( )。
6、在比例里，两个（ ）的积和两个（ ）积相等。
7、如果A×3=B×5，那么A∶B= ( ) ∶ ( )。
8、从6、24、20、18与5这五个数中选出四个数组成一个比例是：
( ) ∶ ( ) = ( ) ∶ ( )。

23

9、根据3×8 = 4×6写成的比例是（ ）、（ ）或（ ）。
10、甲数的25% 等于乙数的75%，那么甲数与乙数的比是（ ）∶（ ）。


13、解比例
ⅹ∶3 =
7
8
∶
1
4

9
x
=
4.5
0.8

1
6
∶
2
5
=
1
2
∶x

3
4
∶ x = 3∶12
31.3x
8
∶ x = 5％∶0.6
18
=
3.6

14、在一个比例里，两个外项的积是30，已知一个内项是10，另一个内项是（ ）。
24

参考答案：

1、一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1 : 3的比缩小后，新图片的长是（ 4 ）
厘米，宽是（ 3 ）厘米，这张图片（ 形状 ）不变，大小（ 变了 ）。
2、一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（ 3 : 1 ）的比放大后，边长变为
30厘米。
3、按2 : 1的比画出平行四边形放大后的图形，按1 : 3的比画出长方形缩小后的图形。

















4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？
6∶10和9∶15 20∶5和4∶1 5∶1和6∶2
（1） 因为6 ：10 =
33
，9 ：15 = ，所以6 ：10 = 9 ：15。
55
（2） 因为20 ：5 = 4，4 ：1 = 4，所以20 ：5 = 4 ：1。
（3） 因为5 ：1 = 5，6 ：2 = 3，所以5 ：1 和 6 ：2不能组成比例。

5、在2∶5、12∶0.2、31∶15 三个比中，与5.6∶14 能组成比例的一个比是(2∶5 )。
6、在比例里，两个（ 外项 ）的积和两个（ 内项 ）积相等。
7、如果A×3=B×5，那么A∶B= ( 5 ) ∶ ( 3 )。
8、从6、24、20、18与5这五个数中选出四个数组成一个比例是：
( 6 ) ∶ ( 24 ) = ( 5 ) ∶ ( 20 )。 6×20 = 24×5 可组成8个比例
9、根据3×8 = 4×6写成的比例是（ 3 ：4 = 6 ：8 ）、（ 3 ：6 = 4 ：8 ）
或（ 4 ：3 = 8 ：6 ）。可组成8个比例

10、甲数的25% 等于乙数的75%，那么甲数与乙数的比是（ 3 ）∶（ 1 ）。


25

解：设平行四边形的高是ⅹ厘米。
36 : 24 = 24 : ⅹ

36ⅹ = 24 × 24 ┈┈ 根据比例的基本性质
36ⅹ = 576

ⅹ = 16
答：平行四边形的高是16厘米。


解：设梯形的上底是ⅹ厘米，高是Y厘米。
18 : 27 = 10 : ⅹ 18 : 27 = 12 : Y

18ⅹ = 27 × 10 18 Y = 27 × 12
18ⅹ = 270 18 Y = 324
ⅹ = 15 Y = 18

答：梯形的上底是15厘米，高是18厘米。
13、解比例
ⅹ∶3 =
7194.5121
8
∶
4

x
=
0.8

6
∶
5
=
2
∶x
ⅹ =
21
2
ⅹ = 1.6 ⅹ = 1.2

331.3x
4
∶ x = 3∶12
8
∶ x = 5％∶0.6
18
=
3.6

ⅹ = 3 ⅹ = 4.5 ⅹ = 0.26
14、在一个比例里，两个外项的积是30，已知一个内项是10，另一个内项是（ 3
26

）。

小学数学总复习专题讲解及训练（七）

主要内容
比例尺、面积变化、确定位置

学习目标
1、使学生在具体情境中理解比 例尺的意义，能看懂线段比例尺。会求一幅图的比例尺，
能按给定的比例尺求相应的实际距离或图上距离 ，会把数值比例尺与线段比例尺进
行转化。
2、使学生在经历“猜想－验证”的过程中，自主发现平面图形按比例放大后面积的变
化规律。
3、在解决问题的过程中，进一步体会比例以及比例尺的应用价值，感知不同领域数学
内容的内 在联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略。
4、使学生在具体情境中 初步理解北偏东（西）、南偏东（西）的含义，初步掌握用方向
和距离确定物体位置的方法，能根据给定 方向和距离在平面图上确定物体的位置或
描述简单的行走路线。
5、使学生在用方向和距离确 定物体位置的过程中，进一步培养观察能力、识图能力和
有条理的进行表达的能力。发展空间观念。 < br>6、使学生积极参与观察、测量、画图、交流等活动，获得成功的体验，体会数学知识
与生活实际 的联系，拓展知识视野，激发学习兴趣。

考点分析
1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2、比例尺 =
图上距离
，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。
实际距离
1
）后，放
n
27
3、把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（

< br>大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是n
²
:1（或1:n
²）。
4、知道 了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。
5、根据物体的位置，结 合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。画的
时候先按方向画一条射线，在根据图上距离 找出点所在的位置。
6、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。
典型例题：
例1、（认识比例尺）
王伯伯家有一块长方形的菜地，长40米，宽3 0米。把这块菜地按一定的比例缩小，画
在平面图上长4厘米，宽3厘米。你能分别写出菜地长、宽的图 上距离和实际距离的比
吗？
分析与解：图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同的单位，写出比后再化简。
40米 = 4000厘米 3厘米 = 0.03米
40.033
11
= = =
4000303000< br>10001000
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离 : 实际距离 = 比例尺或
图上距离
= 比例尺
实际距离
1
，仍< br>1000
图上距离和实际距离的比是1:1000，这幅图的比例尺是1:1000，也可写成< br>读作1比1000。
点评：求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。做的时候唯一要注意的 就是末尾0
的问题：一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上2、5个
0； 二是在求比例尺的结果时要注意0的个数。多数一数、想一想，是不会有错
的。

例2、（对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法）
比例尺1:1000表示图上距离是实际 距离的几分之几？实际距离是图上距离的多少倍？
图上1厘米表示实际距离多少米？
分析与解 ：比例尺1:1000表示图上距离是实际距离的
1
，实际距离是图上距离的
1000
1000倍，图上1厘米的距离代表实际距离1000厘米，即10米。
像形如1:1000这样的比例尺叫做数值比例尺。比例尺1:1000还可以这样表
示
0 10 20 30米
，这是线段比例尺，它表示图上1厘米的距离代表
实际距离10米。


例3、一个手表零件长2毫米，画在一幅图上长4厘米，这幅图的比例尺是多少？
错误解法：4厘米 = 40毫米 2 : 40 = 1 : 20
思路分析：无论什 么样的图纸，比例尺始终是图上距离与实际距离的比，根据比例尺的
定义，用“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”去求。
正确解答：4厘米 = 40毫米 40 : 2 = 20 : 1

28

点评：比例尺通常情况下都应该写成前项是1的比。但比例尺 的作用除了把实际距离缩
小，还可以把实际距离扩大，这样比例尺的前项就比后项大，这时后项通常化成
1。在解答时，只要坚持好“图上距离 : 实际距离 = 比例尺”，图上距离在前就
可以了。

例4、（根据比例尺求图上距离或实际距离）
在比例尺是
1
的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.5厘米。两地的实际距离是60000
1
，说明实际距离是图上距离的60000倍。
60000
多少米？
分析与解：方法1：比例尺是
2.5×60000 = 150000（厘米）
150000（厘米）= 1500米


方法2 ：比例尺是
1
，也就是图上1厘米的距离代表实际距离60000
60000
厘米，即600米。
2.5×600 = 1500（米）
方法3：根据
图上距离
= 比例尺，可以用“图上距离 ÷ 比例尺”或“解
实际距离
1
= 2.5×60000 = 150000（厘米）= 1500米
60000
比例”的方法来求实际距离。
2.5 ÷
解：设两地的实际距离是ⅹ厘米。
2.5

=
1

60000
1ⅹ = 2.5 × 60000
ⅹ = 150000
150000（厘米）= 1500米
答：两地的实际距离是1500厘米。

例5、（平面图形按照一定的比放大后，面积扩大了比的平方倍）
下面的大长方形是由一个小 长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，
算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。





分析与解：量得小长方形的长是2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是7.5厘米，宽
是3 厘米。大长方形与小长方形长的比是7.5 : 2.5 = 3 : 1，宽的比是3 :

29

1。
大长方形的面积
7.533
7.5
= = × = 9 : 1 = 3
²
: 1
小长方形的面积
2.511
2.5
答 ：大长方形与小长方形面积的比是9

: 1。








例6、（认识北偏东（西）若干度、南偏东（西）若干度等方向）
如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗？
N
商场 北

45º
60º 书店
0 3 6 9千米
汽车

分析与解：从图上可以看出，以汽车为中心，书店在汽车的东北方向，商场在汽车的西
北方向。
怎样才能更准确地表示它们的位置呢？
东北方向也叫做北偏东方向，书店在汽车的北偏东60º方向。
西北方向也叫做北偏西方向，商场在汽车的北偏西45º方向。

答：书店在汽车的北偏东60º方向，商场在汽车的北偏西45º方向。

例7、（知道了物体的方向和距离，才能确定物体的具体位置）
量出上图中书店到汽车的图上 距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东60º方向的
多少千米处？商场呢？
分析与解： 从图中量得书店和商场到汽车的图上距离分别是1.2厘米和2.3厘米，根据
比例尺，图上距离1厘米 代表实际距离3千米，分别算出实际距离。
1.2 × 3 = 3.6（千米）┄┄┄书店
2.3 × 3 = 6.9（千米）┄┄┄商场

答：书店在汽车北偏东60º方 向的3.6千米处，商场在汽车北偏西45º方向的6.9千米
处。

点评：只有在 方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的位置。确定方向时，
一定要先确定好南或北，再看 是偏东还是偏西，如果图中没有画线，要先连线。

30

算实际距离就根据前面比例尺的相关知识去求。

例8、（辨析）书店在汽车的北偏东60º方向，表示汽车也在书店的北偏东60º方向。
分 析与解：书店在汽车的北偏东60º方向，是以汽车为中心，由北向东旋转60º；而以
书店为中心，汽 车在书店的西南方向，即南偏西60º方向。
书店在汽车的北偏东60º方向，表示汽车在书店的南偏西60º方向。





例9、（根据给定的方向和距离，有序地确定物体的具体位置）
海面上有一座灯塔，灯塔北偏西30º方向30千米处是凤凰岛。
N
北


W西 东E
灯塔
0 10 20 30千米

南
S
你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗？
分析与解：（1）先确定北偏西30º的方向，画一条射线。

N
30º

灯塔


（2）再算出灯塔到凤凰岛的图上距离是多少厘米。
30 ÷ 10 = 3（厘米）

凤凰岛 ● N
30º

灯塔

31

点评：在表示凤凰岛的具体位置时，先要画 出表示方向的射线，再确定灯塔到凤凰岛的
图上距离。且在画表示方向的射线时，应从表示灯塔的点开始 画起，并注意正确
摆好量角器。






例10、（用方向和距离描述简单的行走路线）
下图是某市旅游1号车行驶的线路图，请根据线路图填空。




（1）旅游1号车从起点站出发，向（ ）行驶到达青水公园，再向（ ）偏（ ）
（ ）的方向行（ ）千米到达抗战纪念碑。
（2）由绿博园向南偏（ ）（ ）的方向行（ ）千米到达购物中心，再向北偏
（ ）（ ）的方向行（ ）千米到达人民公园。
分析与解：先找准方向，再说出具体的路程。（1）旅游1号车从起点站出发，向（ 东 ）
行驶到达青水公园，再向（ 北 ）偏（东）（40º）的方向行（1.8 ）千米到
达抗战纪念碑。
（2）由绿博园向南偏（东）（60º）的方向行（1.7）千米到达购物中心，再向北偏（ 东 ）
（70º）的方向行（1.5）千米到达人民公园。
点评：在进行描述的时候，一定要先说清 楚方向再说路程。说方向的时候为了说清楚，
通常情况下不用东北、西北、东南、西南等说法，而用南偏 东、南偏西、北偏东、
北偏西多少度的说法更为准确。







32

小学数学总复习专题讲解及训练（七）

模拟试题
１、说出下面各比例尺表示的意思。
1∶40000


2、判断：
①小华在绘制学校操场平面图时，用20厘米的线段表示地面上40米的距离，
这幅图的比例尺为1︰2。 ┈┈┈┈ （ ）
②某机器零件设计图纸所用的比例尺为1︰1，
说明了该零件的实际长度与图上是一样的 ┈┈┈┈ （ ）
③一幅图的比例尺是6︰1，这幅图所表示的实际距离大于图上距离。┈┈┈ （ ）
3、选择：
①如果某图纸所用的比例尺小于1，那么这幅图所表示的图上距离（ ）实际距离。
A.小于 B.大于 C.等于
②学校操场长100米，宽60米，在练习本上画图，选用（ ）作比例尺较合适。
A.1︰20 B.1︰2000 C.1︰200
4、一幅地图的线段比例尺是 ，这幅图上3厘米表示实际距离多少千
米？



5、 一种精密零件，画在图上是12厘米，而实际的长度是3毫米。求这幅图的比例尺。



33

6、英华小学有一块长120米、宽80米的长方形操场，画在比例尺为1 ：4000的平面图上，
长和宽各应画多少厘米？


7、在比例尺为1 ：200000的一幅地图上，
A
城和
B
城相距5厘米，两城实际相距多少千
米？


8、 一幅地图的线段比例尺是：
0 40 80 120 160千米，甲乙两城在

这幅地图上相距18厘米，两城间的实际距 离是多少千米？丙丁两城相距660千米，在这幅
地图上两城之间的距离是多少厘米？




9、在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的长是3厘米，宽是2厘米。
（1）求这间教室的图上面积与实际面积。
（2）写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较。

10、下图是按1︰50000的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位置。



电影院
●30º
● ●
40º 广场 公园
● 商店

（1）公园在广场的东面（ ）千米处。
（2）电影院在广场的（ ）偏（ ）（ ）方向（ ）千米处。
（3）商店在广场的（ ）。





34

11、小明家在百货商场的北偏西40°方向2500米处，图书馆在农业银行东 偏南40°方向
1500米处。下面是小明坐出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（ 含
3千米）按起步价9元计算，以后每增加1千米车费就增加2元。请你按图中提供的信
息算一 算，小明一共要花多少元出租车费？

























35

参考答案：

１、说出下面各比例尺表示的意思。
1∶40000 表示图上距离是实际距离的
1
，实际距离是图上距离的40000倍，图
40000
上1厘米的距离代表实际距离4 0000厘米，即400米。
表示图上1厘米的距离代表
实际距离200千米。

2、判断：
①小华在绘制学校操场平面图时，用20厘米的线段表示地面上40米的距离，这 幅图的比例
尺为1︰2。 ┈┈┈┈ （ × ）
②某机器零件设计图纸所用的比例尺为1︰1，说明了该零件的实际长度与图上是一样的。
┈┈┈┈ （ √ ）
③一幅图的比例尺是6︰1，这幅图所表示的实际距离大于图上距离。┈┈┈ （ × ）
3、选择：
①如果某图纸所用的比例尺小于1，那么这幅图所表示的图上距离（ A ）实际距离。
A.小于 B.大于 C.等于
②学校操场长100米，宽60米，在练习本上画图，选用（ B ）作比例尺较合适。
A.1︰20 B.1︰2000 C.1︰200
4、一幅地图的线段比例尺是 ，这幅图上3厘米表示实际距离多少千
米？这幅图上3厘米表示实际距离6千米。

5、 一种精密零件，画在图上是12厘米，而实际的长度是3毫米。求这幅图的比例尺。
图上距离 : 实际距离 = 比例尺
12厘米 = 120毫米 120 : 3 = 40 : 1
答：这幅图的比例尺是40 : 1。

6、 英华小学有一块长120米、宽80米的长方形操场，画在比例尺为1 ：4000的平面图上，
长和宽各应画多少厘米？
长：120米 = 12000厘米 12000 ×
宽：80米 = 8000厘米 8000 ×
1
= 3厘米
4000
1
= 2厘米
4000
36

答：长应画3厘米，宽应画2厘米。

7、在比例尺为1 ：200 000的一幅地图上，
A
城和
B
城相距5厘米，两城实际相距多少千
米？
5 ÷
1
= 1000000厘米 = 10千米
200000
答：两城实际相距10千米。

8、 一幅地图的线段比例尺是：
0 40 80 120 160千米，甲乙两城在

这幅地图上相距18厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城相距660千米，在这幅
地图上两城之间的距离是多少厘米？
18 × 40 = 720千米
660 ÷ 40 = 16.5厘米 或 66000000 ×
1
= 16.5厘米
40 00000
答：两城间的实际距离是720千米，在这幅地图上两城之间的距离是16.5厘米。

9、在一幅比例尺为1:500的平面图上量得一间长方形教室的长是3厘米，宽是2厘米。
（1）求这间教室的图上面积与实际面积。
图上面积：3 × 2 = 6平方厘米
实际长：3 × 500 = 1500厘米 实际宽：2 × 500 = 1000厘米
实际面积：1500 × 1000 = 1500000平方厘米 = 150平方米
答：这间教室的图上面积6平方厘米，实际面积是150平方米。
（2）写出图上面积和实际面积的比。并与比例尺进行比较。
图上面积和实际面积的比是：6 : 1500000 = 1 : 250000
与比例尺进行比较1 : 250000 = （1:500）
²


10、下图是按1︰50000的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位置。




电影院
●30º
● ●
40º 广场 公园
● 商店
（1）公园在广场的东面（ 0.75 ）千米处。
量得公园到广场的图上距离是1.5厘米，1.5 × 50000 = 75000厘米 = 0.75千米

37

（2）电影院在广场的（ 北 ）偏（ 东 ）（ 60º ）方向（ 0.75 ）千米处。
（3）商店在广场的（ 南偏西 50º方向1.5千米处 ）。量得商店到广场的图上距离是3厘米

11、小明家在百货商 场的北偏西40°方向2500米处，图书馆在农业银行东偏南40°方向
1500米处。下面是小明坐 出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含
3千米）按起步价9元计算，以后每增加1 千米车费就增加2元。请你按图中提供的信
息算一算，小明一共要花多少元出租车费？
由图中信息可知小明家到百货商场有2500米，百货商场到农业银行与农业银行到图书
馆都是15 00米，小明坐出租车从家去图书馆一共要行2500 + 1500 + 1500 = 5500米，需要
车费：9 + 2 × （5.5 – 3）= 14元

























38

小学数学总复习专题讲解及训练（八）

主要内容
正比例和反比例

学习目标
1、使学生结 合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两
种相关联的量是否成正比例或反 比例。
2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在
方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个
量的数值。
3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，
感受有效表示数 量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
4、使学生进一步体会数学与日常生活的 密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，
养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心 。

考点分析
1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两 种量中相对应的两
个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关 系可
以用这样的式子来表示：
y
= K（一定）。
x
2、用“描 点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根
据一种量的值，估计另一种量 相对应的值。
3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两< br>个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母 ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以
用这样的式子来表示：ｘｙ = K（一定）。
4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反< br>比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。

典型例题
例1、（正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？

39

时间时 1 2
240
3
360
4
480
5
600
6
720
……
…… 路程千米 120

分析与解：（1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。
（2）从左往右看，时间扩大 ，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也
缩小。所以它们是两种相关联的量。
（3）路程和时间的比值始终不变，
120360
240
= 120， = 120， = 120……
13
2
这个比值就是火车的行驶速度。
通过观察 和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时
间是两种相关联的量，也就是时间变化， 路程也随着变化；第二点路程和
对应的时间的比的比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系：
路程
=
时间
速度（一定）。
具备了这两个条件，我们就可以得到结论 ：行驶的路程和时间成正比例关
系；行驶的路程和时间成正比例的量。

点评：判断 两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看
一种量变化，另一种量是不是 也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比
值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分 别表示两种相关联的量，
用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：
y
= K（一定）。
x

例2、（判断是否成正比例）
练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？
分析与解：根据正比例 的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一定，
那么这两个变量就成正比例，反之，则 不成正比例。
买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关
系：
买练习本的总价
= 练习本的单价（一定）
数量
所以练习本的数量和总价成正比例。



例3、（正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。

时间分
路程千米
1
7
2
14
3
21
4
28
5
35
6
42
7
49
……
……

40

（ 1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描
出其他各点。
（2）连接各点，它们在一条直线上吗？

（3）根据图像判断，列车运行2分半钟 时，行驶的路程是多少千米？行驶30千米大约
需要几分钟？
路程千米

42
35
28
21
14
7 ●A
0
1 2 3 4 5 6 7
时间分

分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间相
对应的数的比值 都是7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条
直线。对照图像，可以根据时间的值估计出路程 的值，也可以根据路程的
值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。
（1）描点、连线如图。

路程千米

42 ●
35 ●
28 ●
21 ●
14 ●
7 ●A
0
1 2 3 4 5 6 7
时间分

（2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。 （3）根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米；行驶30千米大约需
要4.3 分钟。

例4、（辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？

分析与解：圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。

可列表判断。
半径cm
直径cm
周长cm

1
2
6.28
2
4
12.56
3
6
18.84
4
8
25.12
5
10
31.4
6
12
37.68
……
……
……
41

面积cm
²

3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ……
圆的周长和直径的相对应的数 的比值都是3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而圆
的面积和半径的相对应的数的比值是变化的， 所以圆的面积和半径不成正比例。
圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。

例5、（反比例的意义）
下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什
么关系？

每小时加工零件的个数个
加工的时间时
20
12
30
8
40
6
60
4
80 ……
3 ……

分析与解：（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工 的时间两种量。
（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；
从右往 左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所
以它们是两种相关联的量。（3）每小时加 工零件的个数和相对应的加
工的时间的积都始终不变，如20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 ×
6 = 240……而这个积就是这批零件的总个数。
通过观察和计 算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时
间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工 的时间变化而
变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：
每小时加工零 件的个数 × 加工的时间 = 零件的总个数（一定）。
所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的
关系叫做反比例关系。

点评：判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的
两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，
再看它们的乘积是否 一定，进行判断。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分
别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值 ，正比例关系可以用这样的式子来
表示：ｘｙ = K（一定）。

例6、（判断是否成反比例）
总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？
分析与解：根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，
那么这两 个变量就成反比例，反之，则不成反比例。
每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：
每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量（一定）
所以每公顷的产量和公顷数成反比例。

例7、（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。
分析与解：判断两个变量是否成反 比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，
和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比 例。
和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。

42

点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一< br>定，也 不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度
和身高；减数一定，被减数和差等。

例8、（综合题1）
（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？
（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？
分析与解：判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。
（1）因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。
（2）长方形的周长 = （长+宽）× 2 ，长方形的周长一定，长+宽的和一定，
但不是积一定，所以长和宽不成反比例。

例9、（综合题2）
分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。
（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；
（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；
（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。

分析与解：在大米的总千克 数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，
另外两种量可能成正比例关系，也可能成反 比例关系。可以根据数量关系式
来判断。
（1）因为每天吃的千克数 × 天数 = 大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数
一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。
（2）因为
大米的总千克数
= 每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，
天数
大米的总千克数和天数成正比例。
（3）因为
大米的总千克数
= 天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每
每天吃的千克数
天吃的千克数成正比例。











小学数学总复习专题讲解及训练（八）

43

模拟试题
1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？
表格1
数量本
总价元
表格2
单价元
总价元
1.5
6
2
8
3
12
4
16
5
20
6
24
……
……
1
4
3
12
6
24
8
32
10
40
20
80
……
……
表格3 用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
单价元 1.5
数量本 40
2
30
3
20
4
15
5
12
6
10
……
……
2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。
题中（ ）量一定，关系式：（ ）○（ ）＝（ ）（一定），（ ）和（ ）
成（ ）比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需 要640块。如果改用边长0.4米的正
方形地砖，需要Y块。
题中（ ）量一定，关系式：（ ）○（ ）＝（ ）（一定），（ ）
和（ ）成（ ）比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例；
当高一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例；
当侧面积一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中，
当（ ）一定时，（ ）与（ ）成正比例；
当（ ）一定时，（ ）与（ ）成反比例；
6、当 a × b ＝ c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。
( )一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
7、判断。
（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（ ）
（2）、图上距离和实际距离成正比例。（ ）
（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（ ）
（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ ）
（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ ）
（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ ）
（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。 ( )

44

（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( )
（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )
（10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( )
（11）被除数一定，除数和商成反比例。 ( )
（12）圆的周长和它的直径成正比例。 ( )
8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ ）。
（2）、正方形的边长和周长（ ）。
（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ ）。
（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ ）。
（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（ ）。
（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ ）。
9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和
身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？




10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。
造纸时间时
造纸吨数吨
1
1.5
2

3

4

……
……
（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。
吨数吨

6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7
时间时
（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？
（4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？

参考答案：

1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？
表格1
数量本
总价元
1
4
3
12
6
24
8
32
10
40
20
80
……
……

45

41224
= 4， = 4， = 4 ……
136
因为
表格2
单价元
总价元
1.5
6
2
8
3
12
4
16
5
20
6
24
……
……
总价
= 单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。
数量
6812
= 4， = 4， = 4 ……
1.523
因为
总价
= 数量（一定），所以数量一定时，总价和单价成正比例。
单价
表格3 用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
单价元 1.5
数量本 40
2
30
3
20
4
15
5
12
6
10
……
……
1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ，4 × 15 = 60 ……
因为单价 × 数量 = 总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。

2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。
题中（ 纸的总页数 ）量一定，关系式：（ 每本页数 ） × （ 装订本数 ）＝（ 纸
的总页数 ）（一定），（ 每本页数 ）和（ 装订本数 ）成（ 反 ）比例。 < br>3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正
方形地砖，需要Y块。
题中（ 会客室地面面积 ）量一定，关系式：（ 每块砖的面积 ）×（ 砖的块数 ）
＝（ 会客室地面面积 ）（一定）（ 每块砖的面积 ），和（ 砖的块数 ）成（ 反 ）
比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时，（ 侧面积 ）与（ 高 ）成（正）比例；
当高一定时，（ 侧面积 ）与（ 底面周长 ）成（正）比例；
当侧面积一定时，（ 底面周长 ）与（ 高 ）成（ 反 ）比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中，
当（ 除数 ）一定时，（ 被除数 ）与（ 商 ）成正比例；
当（ 被除数 ）一定时，（ 除数 ）与（ 商 ）成反比例；
6、当 a × b ＝ c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。
( c )一定，（ a ）与（ b ）成（ 反 ）比例；
（ a ）一定，（ c ）与（ b ）成（ 正 ）比例；
（ b ）一定，（ c ）与（ a ）成（ 正 ）比例；
7、判断。
（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 （ √ ）
（2）、图上距离和实际距离成正比例。 （ × ）

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（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（ × ）
（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。 （ √ ）
（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。 （ √ ）
（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。 （ × ）
（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。 ( √ )
（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( √ )
（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( × )
（10）正方体的棱长和体积成正比例。 ( × )
（11）被除数一定，除数和商成反比例。 ( √ )
（12）圆的周长和它的直径成正比例。 ( √ )
8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（ 反比例 ）。
（2）、正方形的边长和周长（ 正比例 ）。
（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（ 反比例 ）。
（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（ 反比例 ）。
（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（ 反比例 ）。
（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（ 正比例 ）。
9、 思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和
身高成正比例 。”你认为小张的说法对吗？为什么？
答：小张的说法是错误的，体重和身高不是两种相关联的量，体重和身高不成比例。
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。

造纸时间时
造纸吨数吨
1
1.5
2
3
3
4.5
4
6
……
……





（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。
吨数吨


6 ●
5
●
4
3 ●
2
●
1
0
1 2 3 4 5 6 7
时间时
（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？

47

因为
造纸吨数
= 每小时造纸吨数（一定），所以每小时造纸吨数一 定时，造纸吨数与
造纸时间
造纸时间成正比例。

（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？
根据图像判断，5小时造纸7.5吨



小学数学公式大全
一、小学数学几何形体周长 面积 体积计算公式
长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2
正方形的周长=边长×4 C=4a
长方形的面积=长×宽 S=ab
正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a
三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2
平行四边形的面积=底×高 S=ah
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2
直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2
圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr
圆的面积=圆周率×半径×半径
三角形的面积＝底×高÷2。 公式 S= a×h÷2
正方形的面积＝边长×边长 公式 S= a×a
长方形的面积＝长×宽 公式 S= a×b
平行四边形的面积＝底×高 公式 S= a×h
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2
内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高 公式：V=abh
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 公式：V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 公式：V=aaa
圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr
圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2
圆柱的表（侧）面 积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh
＝2πrh
圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。 公
式：S=ch+2s=ch+2πr2
圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh
圆锥的体积＝13底面×积高。公式：V=13Sh
分数的加、减法则：同分母的分数相加减 ，只把分子相加减，分母不变。异分母
的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

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二、单位换算
（1）1公里＝1千米 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米
＝10毫米
（2）1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方厘米＝100平
方毫米
（3）1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1000
立方毫米
（4）1吨＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤 = 2市斤
（5）1公顷＝10000平方米 1亩＝666.666平方米
（6）1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米
（7）1元=10角1角=10分1元=100分
（8）1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:135781012月 小月(30天)
的有:46911月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小
时 1时=60分
1分=60秒 1时=3600秒
三、数量关系计算公式方面
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工
作时间＝工作效率
6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数
7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数
8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数
9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数
四、算术方面
1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同
第
三个数相加，和不变。
3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4 ．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和
第三个数相乘，它们的积不 变。
5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，
再把两 个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5。
6．除法的性质：在除法里，被除数和 除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商
不变。0除以任何不是0的数都得0。
7．等式：等 号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本
性质：等式两边同时乘以（或除以）一 个相同的数，等式仍然成立。
8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。
9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次 数是一次的等式叫做一
元一次方程式。

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学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
11． 分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分
母的分数相加减，先通分，然 后再加减。
12．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分
母 的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15．分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17．假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大
于或等于1。
18．带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19．分数的基本性质：分 数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），
分数的大小不变。
20．一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
21．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
五、特殊问题
和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
（1）如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
（2）如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
（3）如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

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株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
盈亏问题
(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
流水问题
（1）一般公式：
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
（2）两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
（3）两船同向航行的公式：
后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－5%)
工程问题
（1）一般公式：
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几

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1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间


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