autocad2006-锲而不舍金石可镂

体积和表面积、容积的区别

表面积 体积 容积
意义 六个面的面积之和 物体所占空间的（ ）。 容器所能（ ）物体的
（ ）。

计算长、宽、高（特殊长、宽、高或底面积和高①长、宽、高②放入物体

需要①正方体可知道一（或横截面的面积和长前液体的体积和放入液体

的元个面的面积②想对方体的长） 后的体积③拿出物体前和

素 面是正方形的长方拿出物体后液体的体积
区别
体可知道底面周长
和高）
计算规则物体： 计算方法 规则物体：
公式长方体： 长方体：V=a×b×h 长方体：V=abh
和方S长=2×a×b+ 2×a正方体：V=a×a×a 正方体：V=a
3
法 ×+2×b×h 但需要从里面测量
S正=a×a×6 不规则物体：
排水法
常用cm
2
dm
2
m
2
cm
3
dm
3
m
3


L mL
单位
计算有多少个面积单有多少个体积单位？ 有多少个容积单位
结果位？
实质
实际①表面积？ ①体积？ ①容积？
应用②共用多少铁皮？ ②空间的大小？ ②升？
题问③贴纸的面积？ ③需要三合土、砂石多少③最多能装水多少？
题明③涂漆的总面积？ 立方米？
显特
征
6个面、5个面、4和露出面的个数无关，只容器中物体的体积，可以
个面的总面积 根据长、宽、高或底面积为液体的体积，也可是固
和高计算物体中包含多体的体积
少个体积单位

表面积实际问题解决技巧：
①抓典型特征
含有“求布料、贴纸、玻璃、瓷砖、铁皮、涂料的多少”等关键词，一定是求表面积的问题。
②判读面的个数。
首先找题中是否含有：“无盖、上下面不贴等关键词，如果无盖，就是计算 五个面的总面积，上
下面不贴就是求前后、左右四个面的面积。
其次根据问题的实际情况判断 ，如游泳池和鱼缸就不算上面，衣柜和洗衣机罩就不算底面等，即
求5个面的总面积。烟囱给长（高）的 数值，一般左右（或上下）是空的，就是求四个面的总面

积。
表面积典型实际问题：
类型一：计算长方体的五个面的总面积。（无底或无盖）
计算公式：S长=a×b+ 2×a×+2×b×h
技巧：记住求6个面长方体表面积的计算 公式，当少算上面的面积或下面的面积时，就把2个长
乘宽的面，只算一个。正方体就只算5个正方形的 面。

类型二：计算长方体的四个面的总面积。（无上下底）


类型三：拼接或截断计算变化之后的物体的表面积。
计算方法：拼接：原来的总面积- 重叠处减少的总面积。
截断：原来的总面积+增加的面积。
类型四：凹凸问题
1. 凹陷问题
计算方法：在顶点处凹陷，各个面平移后，原来的表面积不变。
在面的中间处凹陷，原来的表面积+凹陷处立体图形周围四个面的面积。
计算技巧：凸起时计算表面积，要把原来几个物体的表面积之和去掉两个重合面的面积。
类型五：折叠问题
解题技巧：
①折叠问题求长方体的表面积，可不需折叠后再求长方体的表面积。
②折叠问题求长方体的表面积，如果未指定面，则表面积和长方体的长、宽、高数值的顺序无关。
③可设定长、宽、高的数值顺序，再进行计算。
（1）.一块长方形铁皮，长40cm,宽3 0cm,像下图这样从4个角各剪掉一个边长为5厘米的正方形，
然后做成盒子，这个盒子的表面积是多 少平方厘米？



解题技巧：
40cm
30cm

方法一：
盒子的长=长-2×正方形的边长
盒子的宽=宽-2×正方形的边长
盒子的高=正方形的边长
盒子的表面积=盒子的长×盒子的宽+盒子的长×盒子的高×2+盒子的宽×盒子的宽×2
方法二：盒子的表面积=长方形的面积-正方形的面积×4
（2）小明从一个长方体纸盒上撕 下两个相邻的面（展开后如图，单位：厘米），这个纸盒的面积
是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。





6


前

右


5


3

解题技巧：本题尽管未给出长方体的另6个面，但根据本题的条件，立起来的长度为高，数值为
6，标注“前”字的面中的“5”为长方体的长，标注“右”字的面中的“3”为长方体的宽。





（3）.学校大门前有5级台阶，每级台阶长6米，宽0. 4米，高0.2米。给这些台阶上铺地砖，
至少需要铺多少平方米地砖？










解题技巧：台阶铺瓷砖之处为盒子的长×盒子的宽×4+盒子的长×盒子的高×5
体积实际问题解决技巧：
①抓典型特征
A含有“立方米，立方分米，立方厘米，体 积是多少，能截多少块木块，能装沙子多少吨，能装

砂石多少方、铸造、锻造、水面升高 、水面下降”等关键词，一定是求体积的问题。
B
含有“最大容积是多少升、可乘水多少， 能装多少水，能装多少沙子，能装汽油多少升、净含量
是多少”，一般就是求容积的问题。
体积典型实际问题：
1. 直接计算体积.
（1）已知长、宽、高求长方体体积或已知正方体的棱长，求正方体的体积：
①早在夏朝，中国人就已经掌握了存储冰块的技术,一块棱长30cm 的正方体冰块，它的体积是多
少立方厘米?
②
一个长方体的无盖水族箱，长是6m,宽是60cm,高是1.5m，它的体积是多少?






③建 筑工地要挖一个长50m、宽30m、深50cm的长方体土坑，一共要挖出多少方的土?（在工程
上， 1m
3
的土、沙、石等均简称“1方”。）



④红星村要修一条长1800m，宽12m的公路，要先铺10cm厚的三合土，再铺6cm后的沙石。需要
三合土、沙石各多少立方米？

⑤花园小区为居民新安装了50个休息的凳子，凳面 的长、宽、高分别是100cm、45cm、4.5cm.凳
腿的长、宽、高分别是45cm、5cm、 35cm.这些凳子一共至少用了混凝土多少方?






⑥长方体木块被平均分为4段，求每块木头的表面积是多少平方分米？

4.8dm
2dm
1dm
2. 计算体积实际问题的变式练习.
（1）
求小正方体拼成的正方体或长方体的体积：

①每个小正方形棱长为1厘米，分别计算下列长方体的体积。



②.把2块棱长为1.5dm的正方休木块拼成一个长方体。这个长方体的体积是多少?




（2）已知长方体的底面正方形的边长，或底面积和高，或底面周长， 求正方
体或长方体的体积：

①已知底面正方形的边长和长方体的长：
一个 长方体纸盒，长7m，横截面是一个正方形，边长为5分米。
这个长方体纸盒表面积是多少？




②已知横截面的边长和长方体的长：有一根长0.5米的方木料，横截 面的边长为2厘米，这根方
木，平放时占地面积有多大？体积是多少？

③已知横截 面的面积和长方体的长：家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是2.4dm
2
,< br>长是3m。这些木料一共是多少方?


④已知增加的横截面的总面积和长方 体的长：一个底面是正方形的长方体木料，长是5米，把它
截成4段，表面积增加36平方米，求长方体 的体积？

⑤已知底面正方形的周长和长方体的长：一个长方体底 面为周长12厘米的正方形，高为3分米，
它的体积是多少？



（2）已知正方体的棱长和（或体积）和长方体的长、宽、高中的两个，求长
方体的另一个数据及长方 体的体积：
①一个长方体和一个正方体的楼长总和相等。已知正方体的棱长为7dm，长方体的宽、高 分别为
5dm.4dm,那么长方体的长是多少分米? 它们的体积相等吗?

②把 一个棱长8dm铁块铸成一个长10dm，宽4dm的长方体，铸成的这个长方体铁块的高是多少分
米？

（2）与体积有关的其他问题：
①已知长方体的体积，长和宽，求长方体的高：
学校运来7.6m
3
的沙子，铺在一个长5m.宽38dm的沙坑里，可以铺多厚？


②
大体积分成小体积，求块数：
A儿童节前，全市的小学生代 表用楼长3cm的正方体塑料排插积术在广场中央搭起了一面长6m、
高2.7m、厚6cm的奥运心愿 墙。这面墙一共用了多少块积木?



B一个长6dm，宽4dm，高5dm的长方体盒子，最多能放多少块棱长为2dm的正方体木块？
③体积和物体尺寸大小的比较：
容积计算典型实际问题
（1）直接计算规则物体的容积：
①
A
一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长是
6 dm
。此容器最大容积是多少升
?

B一个木盒从外面和里面测量尺寸如下图，计算这个长方体的容积。






40cm
30cm
10cm
20cm
50cm
70cm
②2块棱长是3dm的正方体木块刚好能够放是进一个长方体纸箱内，纸箱的容积是多少?
③A某健身馆计划新建一个游泳池，该游泳池的长是25m，宽12m，深1.4m. 如果游泳池全装满
水，能装多少升水？
B一长方体游冰池,长30米,宽10米,深1.6米 ,池的四壁和地面用瓷砖砌,如果雨季用来储水,最
多可乘多少水？
C5某辆汽车的油箱是长 方体，长０.８米，宽０.５米，高０.３米，这个油箱最多能装汽油多少
升？如果每１００升汽油能行 驶７.５千米，这箱汽油最多能行驶多少千米？

④.一种牛奶的包装盒如图，它的净含量是否存在虚假?为什么?


12cm
牛奶

净含量
780ml
2.
计算不规则物体的体积。

球的体积是多少立方分米？
6.5cm
10cm
①.一个长方体水箱，长8分米，宽5分米，水深4分米。把 一个铁球浸没在水中，水面升高到6分米。这个铁

②A一个长5分米，宽2分米，高4分米的长方体水缸里注入了15厘米深的水。 将一块石头放入水中后，水位
上升到18厘米，这些石头的体积是多少dm3？



B一个正方体玻璃容器棱长2dm，向容器中到入6L水，再把一块石头放入水中。这时量得 容器内水深17 cm。
石头的体积是多少立方厘米？














C.珊瑚石的体积是多少？








③下面中，大球的体积是多少？小球的体积是多少？