盂兰节-关于学习的座右铭

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长方体和正方体的表面积和体积

知识框架
立体图形 示例

一、立体图形的体积计算常用公式：
表面积公式

长方体


体积公式 相关要素
三要素：
a
、
b
、
Vabh

Vsh

S = 2(ab+bc+ac)



h

二要素：s、
h

体

S = 6a
2

Va
3

一要素：
a

二要素：s、
h

Vsh


二、立体几何相关数学方法：
接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减
计算.
1. 视图法：主要适用于求体积木塔建图形的表面积计算.以及染色问题或计数问题，
从上、 前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面.
2. 片法：适用于求具有穿孔结构或部 结构的立体图形的体积计算,将立体图形沿某个
方向切成多片，化立体为平面.


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重难点
难点：三视图法、孔结构



重点：长方体与体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用．
例题精讲
米．

【例 1】
一个大体、四个中体、四个小体拼成 如图的立体图形，已知大、中、小三个体的棱长
分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的 表面积是________平方厘

【巩固】如图，棱长分别为
1
厘米、2
厘米、
3
厘米、
5
厘米的四个体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
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【例 2】
两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把 它们拼在一起
可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是________平方厘米。





【巩固】一个体木块，棱长是15．从它的八个 顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、
7、8的小体．这个木块剩下部分的表面积最少是多 少？

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【例 3】< br>有一塔形几何体由若干个体构成，构成方式如下图所示，上层体下底面的四个顶点是
下层体上底面 各边的中点．已知最底层体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层体
的底面面积)超过39，则该塔形中体的个数至少是________．



【巩固】有
n
个同样大小的体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面 就是原体的底
面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么
n
为多少？

【例 4】
边长为1厘米的体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这 个立体图形
的表面积是多少平方厘米？
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【巩固】按照上题的堆法一直堆到
N
层(
N 3
)，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则
N
的最小值是多少？




【例 5】
从一个棱长为10厘米的形木块中挖去一个长10 厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方
体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
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图1 图2 图3 图
4


【巩固】如图所示，一个
555
的立方体，在一个方向上开 有
115
的孔，在另一个方向上
开有
215
的孔，剩余部分 的表面积为多少？

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【例 6】
有一个棱长为
5cm
的体木块，从它的每个面看都有一 个穿透的完全相同的孔(右上
图)，求这个立体图形的、外表面的总面积．


【巩固】 如图所示，一个
555
的立方体，在一个方向上开有
11 5
的孔，在另一个方向上
开有
215
的孔，在第三个方向上开有
315
的孔，剩余部分的体积是多少？表面
积为多少？
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【例 7】
一个
555
的立方体 ，在三个方向上分别开有如图所示打通的孔，剩余部分的表面积
为多少？



【巩固】一个
555
的立方体，在三个方向上分别开有如图所示打通的 孔，剩余部分的表面积
为多少？

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【例 8】
如图，底面积为100平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面 上漂浮着一块棱长为5厘
米的体木块，木块浮出水面的高度是2厘米。若将木块从容器中取出，水面将下 降
________厘米。


【巩固】 如图，长30厘米，宽30厘米 ，高40厘米的长方体容器中装有水，水面上漂浮着一
个篮球，篮球在水面下的体积360立方厘米，是 若将篮球从容器中取出，水面将下降
________厘米。
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【例 9】
如图，有一个棱长为10厘米的 体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米
的形孔（边平行于体的棱），且穿透．另有一长方 体容器，从部量，长、宽、高分别
为15厘米、12厘米、9厘米，部有水，水深3厘米．若将体铁块平 放入长方体容器
中，则铁块在水下部分的体积为 立方厘米．


【巩固】上题中若原有水深2厘米，其他条件不变，水面应上升_______厘米。


【例 10】
如图，原体的棱长为12厘米，沿图中的线将体切掉正面的部分，求剩 下不规则立体
图形的体积．
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【巩固】 如图，体的棱长为
6cm
，连接体其中六条棱的中点形成一个正 六边形，而连接其中
三个顶点形成一个正三角形．体夹在六边形与三角形之间的立体图形有 个面，它的体
积是
cm
3
．


第9题


课堂检测

【例 1】
边长分别是3、5、8的三个体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？

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2. 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，求该图形的表面积。


3. 如图所示，一个
555
的立方体，在一个方向上开有
115
的孔，在 第三个方向上开有
315
的孔，剩余部分的表面积为多少？


4. 如图，是一个体，将体的
A
、
C
、
B
、
D

四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知
体的边长为3，求正 四面体的体积.




A
C
A′
B
D
B′
D′C′
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家庭作业

1. 一个 长方体的长、宽、高恰好是3个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱
长之和的数值的2倍 ，那么这个长方体的表面积是（ ）
A. 74 B. 148 C. 150 D. 154

【例 1】
如图，25块边长为1的体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木

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【例 2】
现有一个棱长为1厘米的体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体，三个长宽为1
厘米高为3厘米的 长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、
侧面所看到的图形．试利用下 面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其
表面积．
例：
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上
侧
前
上面所看
到的图形
前面所看
到的图形
侧面所看
到的图形

【例 3】
如图所示，一个
555
的立方体，在一个方向上开有
115
的孔，在另一个方向上
开有
315
的孔，在第三个方向上开 有
225
的孔，剩余部分的表面积为多少？


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【例 4】
边长4 0厘米立方体容器中装有水，水面上漂浮着一个体积为7200立方厘米的篮球，
篮球在水面下的体积1 200立方厘米，是若将篮球按至刚好一半在水面下，水面将上升________
厘米。

【例 5】
连接体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）。已知体之边长为
12 cm
，请问正
八面体之体积为多少立方厘米？
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第4题




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