好听的音乐-雨夜

长方体和正方体的表面积和体积
小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、 圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的
变形，养成“数、形”结 合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，
正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
1.充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
2.把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
3.若把几个长方体 拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起
来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方 体，应把它们最大的面拼
合起来。

在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这 样一些情况：把一个物体
变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入< br>水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1.将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3.①物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
②物体沉入水中，水面上升部分 的体积等于物体的体积。把物体从水中
取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在 水中的情况。
4.求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。
5.求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止
思维定。

【题型一：切1·切1个】
1.一个零件形 状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少
平方厘米？（单位：厘米）















2.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去 一块后（如下左图），
剩下部分的表面积和体积各是多少？

【题型一：切2·切多个】
1.有一个长8厘米，宽1 厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切
掉一个正方体（如上右图），求切掉正方体后的表面 积和体积各是多少？










2.将一个长3米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了 0.36 平方分
米，这根木料的体积是多少立方分米？










3.一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它 锯成棱长为2厘米的正方体若干
块，表面积增加多少平方厘米？

4.有一个棱长是1 米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，
表面积增加多少平方米？












5.一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的
小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？










6.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长 方体钢材，从钢材的一端锯下一个
最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？

7. 有 一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长
方体，表面积最多增加多少平方 分米？









【题型二·挖】
1.从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高 2厘
米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？【开放题型】


①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。


图27--1




②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。



图27--2




③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方
厘米。

图27--3

2.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。











3.有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的
体积和表面积 吗？（单位：厘米）










4.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的< br>正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？

5.有一个棱长是4厘米的正方 体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的
正方体体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体 积和表面积各是多少？











【题型三·拼】
1.把19个棱长为3厘米的正方体重叠起 来，如图27-4所示，拼成一个立体图
形，求这个立体图形的表面积。

【解析】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、
左、前三个方向观察，每个方向上的 小正方体各面就组合成
了如下图形（如图27-5所示）。





图27—4
从上往下看
从左往右看从前往后看

图27—5

而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立 体图
形的表面积可采用（S上+S左+S前）×2来计算。
（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2
=（81+72+90）×2
=243×2
=486（平方厘米）
答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。

2.把两个长、宽 、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大
长方体，这个大长方体的表面积最少是多 少平方厘米？
【解析】
把两个相同的大长方体拼成一个大长方体，
需要把两个相 同面拼合，所得大长方体的表面积就减少了两个拼合面的面积。
要使大长方体的表面积最小，就必须使两 个拼合面的面积最大，
即减少两个9×7的面。
（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2
=（63+36+28）×4—126
=508—126
=382（平方厘米）
答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。

3.用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形的表
面积？





图27—6





4.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积
比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？

5.一个正方体和一个长方体拼 成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原
来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的 表面积是多少平方厘米？














6. 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是
厘米，求大长方体的表面积。


















288立方

【题型四：扩大或增加】
1.一个长方体，如果长增加2 厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘
米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则 体积增加96立方里，求
原长方体的表面积。
【解析】
我们知道：体积=长×宽×高；
由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40 ÷2=20（平方厘米）；
由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平 方厘米）；
由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148
（平方 厘米）。即
40÷2=20（平方厘米）
90÷3=30（平方厘米）
96÷4=24（平方厘米）
（30+20+24）×2
=74×2
=148（平方厘米）
答：原长方体的表面积是148平方厘米。

< br>2.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘
米，则体积增加 65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。
原来厂房体的表面积是多少平方厘米？

3.一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘 米和2厘米的长方体后，
便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来厂房体的体积是多少
立方厘米？




4.有一个厂房体如下图所示，它的 正面和上面的面积之和是209。如果它的长、
宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？


宽

长

高






【题型五：找不变量】
1.有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水， 乙水箱空着。从里面量，甲水箱长
40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24 厘米，深25
厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少
厘米 ？







2. 有两个水池， 甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长
6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水 池中抽一部分水到乙水池，使两个
水池中水面同样高。问水面高多少？

3.一个 棱长是12厘米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长18厘米、
宽10厘米的长方体鱼缸里，水 有多深？






4.一个正方体玻璃缸， 棱长4分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为
20平方分米的长方形水槽中，槽里的水面高多 少分米？






5. 一个长20分米、 宽15分米的长方体容器内，有20分米深的水，现在在水
中沉入一个棱长30厘米的长方体铁块，这时 容器内的水深多少分米？

6.在一只长2 5厘米，宽20厘米的玻璃缸中，有一块棱长10厘米的正方体铁块，
这时水深15厘米，如果把这块铁 块从缸中取出来，缸中的水深多少厘米？





【题型六：熔铸】
把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。
1.将表面积 分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方
体熔成一个大正方体（不计损耗） ，求这个大正方体的体积。











2.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米 、54平方厘米和294
平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。







3.将表面积分别为216平方厘米 和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长
方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它 的高。

【题型七：沉浮】
1. 有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长 分别为6米、3米、2米。把两
堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米 。如
果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？
【解析】
中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。
两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米，
两堆碎石的体积就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。
把它沉到大 水池里，水面升高部分的体积也就是0.7立方米，再除以它的底面
积就能求得升高了多少厘米。
3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）
0.7÷6的平方=7360（米）=1又1718（厘米）
答：大水池的水面升高了1又1718厘米。



2.一个底面 半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都
是8厘米、高是15厘米的一块铁块 ，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？
【解析】
在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中 ，还是部分沉入水中。如果铁块是全
部沉入水中，排开水的体积是8×8×15=960（立方厘米）。 而现在瓶中水深是
8厘米，要淹没15厘米高的铁块，水面就要上升15—8=7（厘米），需要排开水的体积是（3.14×10×10—8×8）×7=1750（立方厘米），可知铁块是部
分在 水中。
当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是3.14×10×10—8×
8=25 0（平方厘米）。水的形状变了，但体积还是3.14×10×10×8=2512（立
方厘米）。水的 高度是2512÷250=10.048（厘米），上升10.048—8=2.048
（厘米）

3.14×10×10×8÷（3.14×10×10—8×8）—8
=2512÷250—8
=10.048—8
=2.048（厘米）
答：水面上升了2.048厘米。



3、一个长20分米、宽 15分米的长方体容器内，有20分米深的水，现在在水
中沉入一个棱长30厘米的长方体铁块，这时容 器内的水深多少分米？







4.有一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面
高10厘米。放进一 个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这
时水面高多少厘米？







5.一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5 厘米，玻璃杯内侧的底面积市2平方
里。在这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块 ，这时水
面高多少厘米？

6.在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长 100
厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水50厘米深。
现在把 铁棍轻轻地向上方提起24厘米，露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少
厘米？



【题型八：涂色】
1.一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中:
三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个？

1）（