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第八章 立体几何
第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积
第一部分 五年高考荟萃
2009年高考题
一、选择题
1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.
2

23
B.
4

23
C.
2


【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,
圆柱的底面半径为1,高为2,体积为
2

,四棱锥的底面
边长为
2
，高为
3
，
2323
D.
4



33
2



2

所以体积为

1
3

23
2
23

3
2
2
侧(左)视图
所以该几何体的体积为
2


23
.
3
2
正(主)视图


答案:C
【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,
由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地
计算出.几何体的体积.

2
俯视图
2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c
m
）为
（A）48+12
2
（B）48+24
2
（C）36+12
2
（D）36+24
2











3.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P- GAC体积之比为
（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2
4.在区间[-1，1]上随机取一个数x，
cos

x1
的值介于0到之间的概率为( ).
22
1212
A. B. C. D.
323

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【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即
x[ 1,1]
时,

区间长度为1, 而
cos

2


x
2


2
, ∴
0cos

x
2
1


x111
的值介于0到之间的区间长度为,所以概率为.故选C
2222
答案 C
【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由 自变量x的取值范围,得到函
数值
cos

x
的范围,再由长度型几 何概型求得.
2
1
。则该集合体
2
5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
的俯视图可以是

答案: C
6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体
的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“

”的面的方位是
A. 南 B. 北
C. 西 D. 下
解：展、折问题。易判断选B

7.如图，在半径为3的球面上有
A,B,C
三点，
ABC90

,BABC
，
球心
O
到平面
ABC
的距离是
32
，则
B、C
两点的 球面距离是
2
A.

4

B.

C. D.
2


3
3
答案 B
8．若正方体的棱长为
2
，则以该正方体 各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
A.
2
223
B. C. D.
3
633
答案 C 9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长
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为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）
答案 B
二、填空题
10..图是一个几何体的三视图，若它的体积是
33
，则a=_______
答案
3

11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
33
，则
a
__________

12．若某几何体的三视图（单位：
cm
）如图所示，则此几何体的体积是
cm
．
答案 18
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为
1339
，上面的长方体体积为
3
3319
，因此其几 何体的体积为18
13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为
m

3
答案 4
14. 直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA
1
2
,
BAC120
，则此球的表面积等于 。
解:在
ABC
中
ABAC2
,
BAC120
, 可得
BC23
,由正弦定理,可得
ABC

外接圆半径r=2, 设此圆圆心为
O

，球心为
O
，在
RTOBO

中，易得球半径
R5
，
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故此球的表面积为
4

R20

.
2
15．正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
内接于半径 为
2
的球，若
A,B
两点的球面距离为

，则正三棱
柱的体积为 ．
答案 8
16．体积为
8
的一个正 方体，其全面积与球
O
的表面积相等，则球
O
的体积等于 ．
答案
86



17．如图球O的半径为2，圆< br>O
1
是一小圆，
OO2
，A、B
1
是圆
O
1
上两点，若A，B两点间的球面距离为
答案

2
2

，则
AO
1
B
= .
3

18.已知三个球的半径
R
1
，
R
2
，
R
3
满足
R
1
2R
2
 3R
3
，则它们的表面积
S
1
，
S
2
，< br>S
3
，
满足的等量关系是___________.
答案
S
1
2S
2
3S
3

S
1< br>R
4
，则它们的半径之比
1
=_____________. S
2
R
2
19.若球O
1
、O
2
表示 面积之比
答案 2
三、解答题
20．（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥
PEFGH
， 下半部分是长方体
ABCDEFGH
。图5、图6分别是该标识墩的正（主）
视图和 俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线
BD
平面
PEG
.
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【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.


（２）该安全标识墩的体积为：
VV
PEFGH
V
ABCDEFGH



1
40
2
6040
2
20320003200064000


cm
2


3
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,
PO
平面EFGH ,
POHF

又
EGHF

HF
平面PEG
又
BDPHF

BD
平面PEG；

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2005—2008年高考题
一、选择题
1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示
A，B，C< br>分别是
△GHI
三边的中点）
得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的 侧视图（或称左视图）为（ ）
H
B
A
I
C
G
侧视
D
F
图1
答案 A
2.（2 008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为
7
，在该几何体的正视图中，这条棱的投
影是长为
6
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b
的线段，则a+b的最大值为（ ）
A．
22
B．
23
C．
4
D．
25

E
F
图2
B
A
C
B

D
E
E
A． B．
E
C．
E
D．

B
B
B

E
答案 C
【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图
设长方体的高宽高分别为
m,n,k
，由题意得
k
n
m< br>m
2
n
2
k
2
7
，
m
2
k
2
6
n1

1k
2
a
，
1m
2
b
，所以
(a
2
1)( b
2
1)6

a
2
b
2
8，
∴(ab)
2
a
2
2abb
2
8 2ab8a
2
b
2
16

ab4
当且仅当
ab2
时取等号。
3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A.9π B.10π
C.11π D．12π











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答案 D
【解析】 考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个
圆柱组合而成的，其表面及 为
S4

1
2


1
2
22

1312

.

3. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），
可得这个几何体的体积是（ ）




10

20



10


2020
20

正视图 侧视图
俯视图

Ａ．
4000
3
8000
3
cm
Ｂ．
cm
Ｃ．
2000cm
3
Ｄ．
4000cm
3

33
答案 B
4. （2007 陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个
顶点在该球的一个大圆上 ，则该正三棱锥的体积是（ ）
333
33
B． C． D．
3412
4
答案 B
A．
5.（2006安徽）表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体
积为
A．
12
22
2



B．

C．

D．
3
3
3
3
答案 A
3a
2
【解析 】此正八面体是每个面的边长均为
a
的正三角形，所以由
823
知，
4
a1
，则此球的直径为
2
，故选A。
32

，那么正方体的棱长等于（ ） 6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是
3
A.2
2
B.
答案 D
【解析】正方体外接球的体积是
234243
C. D.
333
32

，则外接球的半径R=2 ，正方体的对角线的长为4，
3
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棱长等于
43
，选D.
3
7.（ 2006湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成
的角是60°则该截面的面积是 ( )
A．π B.2π C.3π D.
23


答案 A
【解析】过半 径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，
则截面圆的半径是
1
R=1，该截面的面积是π，选A.
2
8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶
3
B. 1∶3 C. 1∶3
3
D. 1∶9
答案 C
【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为
1
3
a
，它的外接球的 半径为
a
，
2
2
故所求的比为1∶3
3
，选C.
9.（2005全国卷Ⅰ）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为

，则球 的表面积
为 ( )
A.
82

B.
8

C.
42

D.
4


答案 B
10.（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且
ADE、BCF
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 ( )
A.
C.
2

3
4

3


B.
D.
3

3
3

2
二、填空题
11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
底面周长为 3，则这个球的体积为 ．
答案
9
，
8
4


3
2
【解析】令球 的半径为
R
，六棱柱的底面边长为
a
，高为
h
，显然有a()R
，且
h
2
2
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
3
2
9

a
1
44
ah

V6

3
R1
 V

R

.
2


48

33

6a3

h3



12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱 的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为
3
，底面周长为3，那么这个球的体积为_________
答案
4


3
1
， 故其主对角线为１，从而球的直径
2
【解析】∵正六边形周长为３，得边长为
2R< br>
3

2
1
2
2

∴
R1
∴球的体积
V
4

.
3
13. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
答案
14π

14.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm
2
.
答案
242

15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
PABCDEF
，则此正六棱
锥的侧面积是________．
P




C
D

B


E

A
F
答案
67

【解析 】显然正六棱锥
PABCDEF
的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面
边 长为2，又正六棱锥
PABCDEF
的高依题意可得为2，依此可求得
67
.
第二部分 三年联考汇编
2009年联考题
一、选择题
1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）




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1
3
1
3
a
B．
a

62
2
3
5
3
C．
a
D．
a

36
A．
答案 D
2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a
2
,则左视图的面积为（ ）

A．2a B．a
22
a
a
3
2
2
C．
3a
D．
a

4
答案 C
3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，
则组成此几何体的长方体木块块数共有( )





A．3块 B．4块 C．5块 D．6块
答案 B
4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都 是面积为
角为
60

的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）
A.
23
B.
43

C . 4 D. 8


答案 C
5. （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( )
A．
3
B．



a
3
，且一个内
2
正视图 侧视图

俯视图

3
6

2
C．
36
D．
34
r
答案 C
6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正

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视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面
积为( )











5


2
C．
4

D．
5


A．Z
2

B．
答案 B
7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右
图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )

A．
9
与
13
B．
7
与
10


C．
10
与
16
D．
10
与
15






主视图 俯视图
答案 C
8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的
表面积是( )


2

1






2








主视图

2
俯视图
左视图
A.
(2042)cm
2
B.21 cm
C.
(2442)cm
2
D. 24 cm
答案 A
9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得几何体的表面积是( )

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A.22

B.12

C.4

＋24 D.4

＋32
答案 D
二、填空题
10.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
2

11.（2009南京一模）如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，D为棱
AA
1
的中点，若截 面
A1
C1


BC
1
D
是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 .
D
B1
答案
83

12.（2009广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)
如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm
2
.








答案 80
5
5


8
正(主)视图
A
C
B
第（11）题


5



8
侧(左)视图

5




8
俯视图




13.(2009珠海二模)一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形， 俯视图
为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．
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答案 2
9月份更新
一、选择题
1.（2009滨州一模）设

、

是两个不同的平面，
l、m
为两条不同的直线，命题p：若平
面



，
l

，
m

，则lm
；命题q：
l

，
ml
，
m

，则



，
则下列命题为真命题的是 （ ）
A．p或q B．p且q
C．┐p或q D．p且┐q
答案C
2.（2009聊城一模）某个几何体的三视图如图所示，则该
几何体的体积是 （ ）
A．
23
B．
3

D． C．
33

4
33

2
答案B
3.（2009临沂一模）一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面
积与体积分别为
A、
72,3
B、
82,3
C、
72,
33
D、
82,

22
答案C
4.（2009青岛一模）如右图，一 个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图
都是边长为
2
的正三角形,其俯视图轮廓 为正方形，则其体积是
A．
3

B.

42

C．

43

D.

8

633
3
主视图
左视图
答案C
5.（2009上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是………………………………………（ ）
A．
10π
B．
11π

C．
12π
D．
13


答案C


俯视图


2
3


2 2
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
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6.（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的
体积等于
(A) 4 (B) 6
(C) 8 (D)12
答案A
7.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接
球的表面积为 （ ）
A．
3

B．
2


C．
16


3
D．以上都不对
答案C



二、填空题
1.（2009上海八校联考）已知一个球的球心
O
到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于
此球半径的一半，若
ABBCCA 3
，则球的体积为________________。
答案

32


3

2.（2009上海青浦区）如图，用一平面 去截球所得截面的面积为
2

cm
2
，已知
球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 cm
3
.
答案
43


三、解答题
1.（2009上海普陀区） 已知复数
z
1
cosxi
，
z
2
1sin xi
（
i
是虚数单位），且
z
1
z
2
5
.当实数
x

2

,2

时，试用列举法表示满足条件的
x
的取值集合
P
.
解：如图， 设
BC
中点为
D
，联结
AD
、
OD
. < br>由题意，
OBOC2
,
BOC60
,所以
△OBC
为
等边三角形，
故
BC2
，且
OD3
.
又
S
△ABC
A
理第11题
O
第19题图
B
A
C
1
BCAD3AD3
，
2
所以
AOAD
2
OD
2
6
.
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O
第19题图
B
D
C

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而圆锥体的底面圆面积为
S

OC4

,
所以圆锥体体积
V
2
146
S
△ABC
AO

.
33
2.（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A
1< br>B
1
C
1
中,∠ABC=90°, AB=BC=1.
(1)求异面直线B
1
C
1
与AC所成角的大小；
(2)若直线A
1
C与平面ABC所成角为45°,
求三棱锥A
1
-ABC的体积.
（1）因为
BCB
1
C
1
，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线
B
1
C1
与
AC
所成角
-------(3分)
∠ABC=90°, AB=BC=1，所以
BCA
即异面直线
B
1
C
1
与
AC
所成角大小为

4
， -------(2分)

。 -------(1分)
4
（ 2）直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，
A
即为直线A
1
C与平面ABC所
1
1
A平面ABC
，所 以
ACA
成角，所以
A
1
CA

4
。 -------(2分)
得到
AA
------(2分)
Rt

ABC
中，AB=BC=1得到
AC 2
，
Rt

AAC
1
中，
1
AC2
，
所以
V
A
1
ABC

12
S

ABC
AA
1

-------(2分)
36
3.（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体< br>ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中， （如图）
E
是棱
C
1
D
1
的中点，
F< br>是侧面
AA
1
D
1
D
的中心．
（1） 求三棱锥
A
1
D
1
EF
的体积；
求
E F
与底面
A
1
B
1
C
1
D
1所成的角的大小．（结果用反三角函
数表示）
（1）
V
A
1< br>D
1
EF
V
EA
1
D
1
F< br>
A
1
F

D
1
E

B
1
C
1
D
C
B
11
11
．
33
A
（2）取
A
1
D
1
的中点
G
，所求的角的大小等于
GEF< br>的大
小，
A1
D1
B1
E
D
A
C
B
C1
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RtGEF
中
tanGEF
2
2
，所以
EF
与底面
A
1< br>B
1
C
1
D
1
所成的角的大小是
arcta n
．
2
2
4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥
OABC D
中，底面
ABCD
是边长为2的正方形，
OA底面ABCD
，< br>OA2
，
M
为
OA
的中点．
（Ⅰ）求四棱锥
OABCD
的体积；
（Ⅱ）求异面直线OB与MD所成角的大小．





解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形
ABCD
的面积
S4
，………… …………………2分
所以，求棱锥
OABCD
的体积
V
OM
A
B
C
D
18
42
………………………………………4分
33
（Ⅱ）方法一（综合法）
设线段
AC
的中点为
E
，连接
ME
，
则
EMD
为异面直线OC与
MD
所成的角（或其补角） ………………………………..1分
由已知，可得
DE2,EM3,MD5
，
(2)
2
(3)
2
(5)
2

DEM
为直角三角形 …………………………………………………………….2分
tanEMD
DE

EM
2
3
， …………………………………………………………….4分
32
．
EMDa rctan
3
所以，异面直线OC与MD所成角的大小
arctan
32． …………………..1分
3
方法二(向量法)
以AB,AD,AO所在直线为
x,y,z
轴建立坐标系，
则
O(0,0,2),C(2,2,0),M(0,0,1),D(0,2,0)
, ………………………………………………2分
OC(2,2,2)
，
MD(0,2,1)
， …………………………………………………………………………..2分
设异面直线OC与MD所成角为

，
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cos


|OCMD|
|OC| |MD|

15
．……………………………………3分
5
∴
OC与MD所成角的大小为
arccos
15
．………………………… …………………1分
5

2007—2008年联考题

一、选择题
1.(2008江苏省启东中学高三综合测试二)如图在正三棱锥A-BCD中，
E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD
的体积是 （ ）
2233
B. C. D.


12241224
答案 B

2.(2008江 苏省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为1的平面截球体
所得的圆面面积为

，则球的体积为 ( )
A.
A.
8

32

82

B. C. D. 8


3
3
3
答案 A
3. (福建省南靖一中2008年第四次月考) 球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离
都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为
4

，则此球的 体积为


A.
46

B.
43

C.
83

D.
86


答案 D
4.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次 模拟考试)已知
ABC
中，AB=2，BC=1，
ABC120
，
平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥P
—
ABC的体积是 （ ）
A．
5

2

（ ）
B．
5

3
C．
5

4
D．
5

6
答案 D
23
5.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
3
A．

B．2π C．4π
8
3
D．


4
3
答案C
6.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，
侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
答案 A

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